第2讲平面向量基本定理及坐标表示

1、第2讲平面向量基本定理及坐标表示晟新畫纲考向预测1. 了邸平的甚帛定强及用歳比.2. 罕is半血m址的庄交特粥址"塑你段皿” 识川屮林拳示牢面向忙的加淸，曲菸与4.瑾當用莖掾童朮的半面尙呈共线的atft.1寿LT览替平面胃M B唯宝理，问址Nil出,減世.數票向吐的坚忻 平曲量共蜕的蹩桶盘朮+序巻削Eit性适贰的蟋命应川*塔酋孚生的 掘算擢理僅力、廉腿结脊俺力.常与工带闌综令空曹隹.突出向 的xntt敬吐选择锂*填空JS辭式攀直，鸭駅召斗二阳西数综合在 电号介的卅齐岂，届于叩档壮.義养.散学运灯知识厂直倉甌、知识梳理1. 平面向量基本定理如果ei, e2是同一平面内的两个不共线向量，

2、那么对于这一平面内的任意向量a,有且只有一对实数 入，入2,使a= ?iei+ ?2e2.其中，不共线的向量ei, e2叫做表示这一平面内所有向量的一组基 _2. 平面向量的坐标运算(1) 向量加法、减法、数乘向量及向量的模设 a = (xi, yi), b=(X2, y2),则a + b= (xi+ x2, yi+ y2), a b= (xi X2, yi y2,入 a=(入汇入 yi), a|= "x已知？ABCD的顶点A( i, 2) , B(3 , i) , C(5 , 6),则顶点D的坐标为 . * 2 3 4 =5 x , x= i,解析：设 D(x , y),则由 AB

3、= DC,得(4 , i) = (5 x , 6 y),即解得i = 6 y ,y = 5.答案：(i, 5) + y2.(2) 向量坐标的求法 若向量的起点是坐标原点，则终点坐标即为向量的坐标； 设 A(xi, yi), B(x2, y2),则 AB = (x2 xi, y2 yi),|AB= , (x2 X) 2+( y2 yi) 2.3. 平面向量共线的坐标表示设 a = (xi, yi), b=(X2, y2),其中 0, a / b? xiy2 x2yi = 0.常用结论i. 基底需要的关注三点(1) 基底ei, e2必须是同一平面内的两个不共线向量，零向量不能作为基底.(2) 基底

4、给定，同一向量的分解形式唯一.入=，(3) 如果对于一组基底ei,e2,有a=入ei+泌2=piei+底2,则可以得到尼=国.xi + X2 yi + y2 -2_2. 共线向量定理应关注的两点若a = (xi, yi), b= (x2, y2),则a/ b的充要条件不能表示成倉=卷，因为x2，护有可能等于0，应表示为Xi y2 X2yi= 0.(2 )判断三点是否共线，先求每两点对应的向量，然后按两向量共线进行判定.3. 两个结论(1) 已知P为线段AB的中点，若A(xi , yi), B(X2, y2),贝U P点坐标为已知 ABC的顶点 A(xi, yi), B(X2, y2), C(X

5、3, y3),则厶ABC的重心 G的坐标为2m n得 3m+ 2nxi + X2+ X3yi + y2+ y3所以n=-2.走岀误区、思考辨析判断正误(正确的打“V”，错误的打“X”(1)平面内的任何两个向量都可以作为一组基底.若a， b不共线，且？ia+(j)b=尼a +爲b.(3) 平面向量的基底不唯一，只要基底确定后，平面内的任何一个向量都可被这组基底 唯一表示.()X1V1若a = (x1, y” , b= (x2, y2)，贝U a / b的充要条件可表示成疡=；()答案：(1)X (2) V (3) V (4) X、易错纠偏常见误区|K (1)忽视基底中基向量不共线致错;(2) 弄

6、不清单位向量反向的含义出错;(3) 不正确运用平面向量基本定理出错.31.给出下列三个向量：a= ( 2, 3), b = 1, - 2，c = (- 1, 1).在这三个向量中任意取两个作为一组，能构成基底的组数为解析：易知a/ b, a与c不共线，b与c不共线，所以能构成基底的组数为2.答案：22.已知A(-5, 8), B(7, 3),则与向量AB反向的单位向量为解析：由已知得 AB =(12 , - 5),所以|aB|= 13 ,因此与AB反向的单位向量为 AB =12513， 13 .答案：-再5_133.如图，在正方形ABCD 中, E 为 DC的中点，若AE =瓜B+ mAc，则

7、h 的值为> > > 1 > 1 > > 1 > > > 1 >解析：因为 E 为 DC 的中点，所以 AC = AB+ AD = qAB+ qAB+ AD = qAB + DE + AD = qAB+ AE ,即 AE = jAB + AC,所以 X= |, p= 1,所以 H p= |.1 答案：I考点平面向量基本定理的应用（师生共研）如图，在直角梯形 ABCD中，AB = 2AD = 2DC, E为BC边上一点，EBC = 3EC, F为AE的中点，贝y BF =（）A. 3AB ADB . 3AB 2ADc. 3忑 + 3ad

8、D . 3/B + |ad在梯形 ABCD中，AB / CD , AB = 2CD , M , N分别为CD , BC的中点.若AB=瓜M+ pAN，则入 +尸【解析】法一：如图，取AB的中点G,连接DG, CG,则易知四边形 DCBG为平行四边形，所-1 - I - I 1 I -以BC = GD = AD AG = AD |AB ,所以 AE = AB+ BE = AB + 3BC = AB+ 3 AD "AB = 3ABI 1 1 I I I 1 + -AD ,于是 BF = AF AB =-AE AB=： 3AB + 3AD AB = ：AB + ；AD,故选 C.3 II

9、3333法二：BF = BA + AF = BA + |AE 1 1 =一 AB+| AD+|AB+ CE 1 1 1 =AB+ | AD+ |AB+ 3CBT 1 T 1T 1 T T T=-AB+ qAD + &AB + 6(CD + DA + AB)一 3ab+3ad.-T -T -T -T -T -T-T -T-T -T -T-T 1 -T -T(2)因为 AB = AN + NB = AN + CN = AN + (CA + AN) = 2AN + CM + MA = 2AN 4AB AM 所以 Ab= 8An4Am ,所以 x= 4, (i= 8,所以 +尸 4.55555

10、【答案】(1)C (2)4平面向量基本定理应用的实质和一般思路(1)应用平面向量基本定理表示向量的实质是利用平行四边形法则或三角形法则进行向量的加、减或数乘运算.,并运用该基底将条件和结(2)用向量基本定理解决问题的一般思路是先选择一组基底论表示成向量的形式，再通过向量的运算来解决.提醒在基底未给出的情况下，合理地选取基底会给解题带来方便.另外，要熟练运 用平面几何的一些性质定理.1. (2020宝鸡一模)在厶ABC 中, OABC的重心，若BO = T +屁，则2尸()4C.4解析：选D.设AC的中点为D,因为O ABC的重心,所以BO =舟品=2(E3A + AD)3 3|Ab + |x

11、|Ac = 3AB + 3AC,所以=3，尸3，所以入2 尸3，故选 D.2.已知点A, B为单位圆O上的两点，点P为单位圆O所在平面内的一点，且OA与OB 不共线.(1) 在厶OAB中，点P在AB上，且AP = 2PB，若AP= rOB + sOA,求r + s的值;TT T已知点P满足OP= mOA + OB(m为常数),若四边形OABP为平行四边形，求m的值.解：因为AP = 2PB,所以AP = 2/B,3t 2 t t 2 t 2 t所以 AP= 3QB 0A)= 3OB 3OA, 又因为 AP = rOB + sOA,2 2所以 r = 3， s= 3,所以r + s= 0.因为四

12、边形OABP为平行四边形，所以 OB= OP+ OA,又因为 Op = mOA+ OB,所以 OB= Ob+ (m+ 1)OA,依题意OA, OB是非零向量且不共线所以m+ 1 = 0,解得m= 1.考点平面向量的坐标运算(多维探究)角度一已知向量的坐标进行坐标运算羽 ：(1)已知向量 a = (5,2), b= ( 4, 3), c= (x, y)，若 3a 2b+ c= 0，则 c=()A . ( 23 , 12)B. (23 , 12)C. (7 , 0)D . ( 7 , 0)(2)平面直角坐标系xOy 中，已知 A(1, 0) , B(0 , 1) , C( 1, c)(c>0

13、),且|OC|= 2,若OC=?OA+ QB ,则实数H Q的值为.【解析】(1)3a 2b+ c = (23 + x, 12+ y)= 0,故 x= 23 , y= 12 ,故选 A.因为 |OC|= 2,所以 |OC|2= 1 + c2= 4,因为 c>0 ,所以 c= . 3.因为 OC = XDA + QB ,所以(1,.3)=心，0) + Q0 , 1),所以入=1,卩=.3 ,所以入+尸.3 1.【答案】(1)A(2) . 3 1角度二 解析法(坐标法)在向量中的应用a , b , c在正方形网格中的位置如图所示，若c=扫+ pb(入口 R),则'=(2) 在矩形AB

14、CD中，AB = 1, AD = 2，动点P在以点C为圆心且与 BD相切的圆上.若AP = AB + pAD，贝U H卩的最大值为【解析】(1)以向量a和b的交点为原点建立如图所示的平面直角坐标系(设每个小正方形边长为1),则 A(1, - 1), B(6, 2), C(5 , - 1),所以 a = AO = (- 1, 1), b = OB= (6, 2), c= BC =W 6 p= 1 ,(-1, -3) 因为 c= ；a+ pb ,所以(-1, -3) = A(- 1, 1)+唯,2),即解入 + 2 p=- 3 ,得 A 2,p=- 2 ,所以右4.以A为坐标原点,AB , AD所

15、在直线分别为 x , y轴建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0, 0), B(1 , 0), C(1 , 2), D(0, 2),可得直线 BD 的方程为 2x+ y- 2 = 0，点 C 到直 线BD的距离为.'七=* ,圆C:(x-1)2+(y- 2)2=1,因为P在圆C上，所以P(1 +管2/5>->->->->cos e,2 + sin0) , AB =(1 , 0), AD = (0, 2) , AP =4B +pAD =(入，2 口),所以* “1 + cos e =入52 + 5sin e= 2 ii,cos 肯sin e= 2+ sin

16、( e+ ©< 3, tan # 2.【答案】(1)4(2)3ESIIS向量的坐标运算主要是利用加、减、数乘运算法则进行;若已知有向线段两端点的坐标,则应先求出向量的坐标;(1)向量坐标运算的策略解题过程中要注意方程思想的运用及正确使用运算法则.向量问题坐标化当题目条件中所给的几何图形方便建立平面直角坐标系(如矩形、等腰三角形等)时，可建立平面直角坐标系，将向量坐标化，将向量问题转化为代数问题 ，更便于计算求解.1.已知平行四边形 ABCD中，AD = (3, 7), AB = ( 2, 3),对角线AC与BD交于点O,1C. -， 5则CO的坐标为()D . 2,- 5解析:

17、选 D.因为 Ac= Ab+ AD = ( 2, 3) + (3, 7) = (1 , 10),所以 OC = 2aC= |, 5 ,所以CO=2'2.给定两个长度为1的平面向量¥如图所示，点C在以O为圆心的圆弧AB上运动.若 OC = xOA + yOB，其中x, y R，贝U x+ y的最大值为解析:,如图所示，以O为坐标原点，则 A(1, 0), B 2, -2 ,设/ AOC= a0,牙，贝U C(cos a , sin a),cos由OC= xOA + yOB,得sin1a=x y,a=y,所以 x= cos a+sina, y=舒sin a,n所以 x+ y= c

18、os a+ . 3sin a= 2sin a+ 6 ,2n 才、, n n 5 n又 a 0，7，所以 a+ 6 6，n 1所以sin a+ 6 ， 1，故x+ y的最大值为2.答案：2平面向量共线的坐标表示(多维探究)角度一 利用两向量共线求参数或坐标1)，b = (2, 3), c= (-2,A(1, 2), B(2, 1), C(4,(1)(2020开封模拟)已知平面向量a, b, c, a= ( 1,k),若(a+ b) / c,则实数 k =已知梯形 ABCD，其中AB / CD，且DC = 2AB，三个顶点 2),则点D的坐标为【解析】(1)由题意，得 a+ b= (1, 4),由

19、(a+ b) / c,得 1 x k= 4 x ( 2),解得 k= 8.因为在梯形 ABCD中，AB/CD, DC = 2AB,所以DC = 2AB.设点D的坐标为(x, y),则 DC = (4, 2) (x , y)= (4 x , 2 y) , AB = (2 , 1) (1, 2) = (1 , 1),所以(4 x , 2 y)x= 2,故点D的坐标为(2,y= 4,4 x= 2,=2(1 , 1),即(4 x, 2 y)= (2, 2),所以解得2 y= 2,4).【答案】8(2)(2 , 4)角度二利用向量共线求解三点共线问题 答案：12. 已知 a= (1, 0) , b= (

20、2 , 1).(1)当k为何值时，ka b与a + 2b共线？若AB= 2a + 3b , BC = a+ mb且A , B , C三点共线，求 m的值.解：(1)ka b= k(1, 0) (2 , 1)= (k 2, 1), a+ 2b= (1, 0) + 2(2 , 1)= (5 , 2).因为 ka b 与 a+ 2b 共线,所以 2(k 2) ( 1) X 5= 0 ,1即 2k 4 + 5= 0,得 k= 2 -已知向量 OA = (k, 12), OB= (4, 5), OC= ( k, 10),且 A, B, C 三点共线,则k的值是()2A. 3B. 3C.1D. 3323【

21、解析】AB = OB OA= (4 k, 7), AC = OC OA= ( 2k, 2).因为 A, B, C三点共线,所以AB , AC共线，所以2 X (4 k)= 7 X ( 2k),解得k= |.【答案】 AOQEatS(1)两平面向量共线的充要条件有两种形式：若a= (x1, y" , b= (x2 , y2),则a/ b的充要条件是X1y2 X2y1= 0;已知bz 0,贝U a / b的充要条件是 a=力(入 R).(2)利用向量共线的坐标表示既可以判定两向量平行，也可以由平行求参数当两向量的坐标均为非零实数时，也可以利用坐标对应成比例来求解.1. 已知向量 a= (

22、1 , 2) , b = (2 , 2) , c= (1,入).若 c/ (2a + b),贝U =1 解析：2a+ b = (4 , 2),因为 c= (1 ,耳,且 c/(2a+ b),所以 1 X 2= 4人 即 匸法一：因为A, B, C三点共线，所以 AB= BC,即 2a+ 3b= a + mb).2 =入3所以，解得m=-.3= mA.法二：AB = 2a + 3b = 2(1, 0) + 3(2, 1)= (8, 3),BC= a + mb= (1, 0) + m(2, 1) = (2m+ 1, m).因为A, B, C三点共线,所以 AB/ BC所以 8m 3(2m+ 1)=

23、 0,3即2m 3= 0,所以m=平面向量与三角形的0 ABC的重心？0A + 0B + 0C = 0.(3)0 ABC的垂心0A 0B = 0B 0C= 0C0A.0 ABC的内心a0A + b0B + c0C = 0.四心 设0 ABC所在平面上一点，内角 A, B, C所对的边分别为 a, b, c则>->a(1)0 ABC 的外心? |0A|= |0B|= |0C|= 2S、平面向量与三角形的“重心”问题'- 1已知A,B,C是平面上不共线的三点，0为坐标原点，动点P满足0P =(1 ?)0A+ (1 A0B + (1 + 2 A 0C,A R，则点P的轨迹一定经过

24、(A . ABC的内心C.A ABC的重心B . ABC的垂心D . AB边的中点【解析】取AB的中点D,贝U 20D = 0A+ 0B,因为0p= $(1A0A + (1 A0B + (1 + 2 A0C,->1->->0D +所以 0P= §2(1 A0D + (1 + 2 A0C2 （1 X） 1 + 2 入 而 3+ = 1 ,所以P, C, D三点共线,所以点P的轨迹一定经过厶ABC的重心.【答案】 C二、平面向量与三角形的"内心”问题1 -在厶 ABC 中，AB= 5, AC = 6, cos A = ,0 是厶 ABC 的内心，若OP = x

25、OB + yOC,5其中x, y 0 , 1,则动点P的轨迹所覆盖图形的面积为 （）A泌B诬A. 3'3C. 4 .'3D . 6 ；2【解析】 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P的轨迹是以OB, 0C为邻边的平行四边形及其内部，其面积为 BOC面积的2倍.在厶ABC中，设内角A, B, C所对的边分别为 a, b, c,由余弦定理a2= b2+ c2 2bccosA,得 a= 7.设厶ABC的内切圆的半径为r,则|bcsin A = 2（a+ b + c）r,解得r =,所以 Szboc = ax r = 1 x 7X 乎加故动点P的轨迹所覆盖图形的面积为2S* 号.【

26、答案】B三、平面向量与三角形的“垂心”问题釦.已知O是平面上的一个定点,A, B, C是平面上不共线的三个点， 动点P满足OP=Oa + XAB一 +AC),|AB|cos B |AC|cos C （0 ,+ ），则动点P的轨迹一定通过厶 ABC的（）A .重心B .垂心 C .外心D .内心【解析】 因为5p= Oa +AB, ACX t+ t,|AB|cos B |AC|cos C->-> ->ABAC所以 AP= OP OA = X t +,|AB|cos B |AC|cos C所以ABBC AP= BC 入二 +|AB |cos BAC|AC|cos C=X |BC|

27、+ |BC|)= 0,所以BC丄AP,所以点P在BC的高线上，即动点P的轨迹一定通过 ABC的垂心.【答案】B四、平面向量与三角形的 "外心”问题寳-已知在 ABC 中，AB = 1, BC = 6, AC = 2,点 0 ABC 的外心，若AO = xAB+ yAC，则有序实数对(x, y)为()A.C.【解析】取AB的中点M和AC的中点N,连接 OM, ON ,则 Om 丄 ab , On 丄 Ac ,OM = AM AO = 2AB (xAB + yAC)= 2 x AB yAC , ON = AN AO = ?AC (xAB +yAC) = 2 y AC xAB.口 1-&g

28、t; ->由 OM 丄 AB ,得 2 x AB 2x+ y= 0 , 得 yAC AB= 0,/口 1- -由 ON 丄AC ,得 2 y AC2 xAC AB = 0,又因为 BC2= (AC AB)2= AC2 2AC Ab+ AB2 ,AC2+ AB2 BC21 _所以 aC ab=2=- 2,把代入,解得 x= 4 , y= 5.故实数对(x , y)为5 , 4 + x 8y= 0 , .【答案】A1徳演练基础题组练11.在平面直角坐标系中，已知向量a= (1, 2) , a尹=(3 , 1) , c = (x , 3),若(2a+ b) II c ,则 x=()D. 1A2

29、1i解析：选 D.因为 a 2b = (3, 1),所以 a (3, 1)= qb,则 b= ( 4, 2).所以 2a+ b =(2, 6).又(2a + b)/ c,所以一6= 6x, x = 1故选 D.2. （2020安徽合肥第一次质检）设向量a = （ 3, 4），向量b与向量a方向相反，且|b| =10,则向量b的坐标为（）C.6,5B. ( 6, 8)D. (6, 8)解析：选D.因为向量b与向量a方向相反，所以可设b = = （ 3人4入），X0,则|b|=1 9*+ 16*= 25= 5|开=5 A 10,所以 入=2,所以 b= (6, 8).故选 D.3. 已知向量AC,

30、 AD和AB在边长为1的正方形网格中的位置如图所示，若AC=瓜B +mad，则h卩等于（）A . 2B . 2C. 3解析：选A.如图所示，建立平面直角坐标系则 AD = (1 , 0), AC = (2 , 2), AB= (1 , 2).t t t2 =入+仏因为 AC= AB+ pAD ,所以(2, 2)= X1 , 2) + 1 , 0)=(卅 m 2 入)，所以解2= 2 入*= 1 ,得所以X+尸2.故选A.p= 3.4. 已知平面直角坐标系内的两个向量a= (m, 3m 4), b= (1, 2)，且平面内的任一向量c都可以唯一地表示成 c=山+ pb(入口为实数)，贝U m的取

31、值范围是()A .(汽 4)B. (4,+ )C. ( a, 4) U (4,+ ) D . ( m,+m )解析：选C.平面内的任意向量 c都可以唯一地表示成 c=扫+ pb,由平面向量基本定理可知，向量a, b可作为该平面所有向量的一组基底，即向量a, b是不共线向量.又因为a=(m, 3m 4), b= (1, 2),贝U m x 2 (3m 4)x 1工 0,即 m 4,所以 m 的取值范围为(一a, 4) U (4, + a).5. 在平面直角坐标系xOy中，已知A(1 , 0) , B(0 , 1) , C为坐标平面内第一象限内的点，且/ AOC=n, |OC|= 2,若 OC =

32、 OA + pOB,贝U H 尸()4A. 2 2B.2C. 2D. 4.2解析：选A.因为|OC|= 2, /aoc=n所以 C(2 ,农),又因为OC = XOA + pOB,所以C.2 ,.2) =£, 0) +2 , 1)=(入 叭所以 后尸二 2,入+ 尸 22.6. (2020湖北荆门阶段检测)在厶AOB中，AC= *AB , D为0B的中点，若DC = ?OA + pB ,贝U入的值为.解析：因为Ac = 5AB ,所以Ac=5(OB OA),因为d为ob的中点，所以 OD =抽,所以 Dc= do + Oc =推+(OA+ AC)= |ob + oA+1(OB OA)

33、=50A10OB ,所 以入=4,尸10，贝V入的值为25.答案:6251故 |0P|='bi 壬.7已知 0 为坐标原点，向量 0A = (1 , 2) , OB= ( 2, 1),若 2AP = AB,则 |OP| =解析：设 P 点坐标为(x , y) , Ab = Ob OA = ( 2, 1) (1, 2) = ( 3, 3) , AP = (xt t2x 2= 3 ,1, y 2),由 2AP = AB得，2(x 1 , y 2) = ( 3, 3),所以解得2y 4 = 3 ,答案：孑&已知A( 3, 0), B(0，侗,O为坐标原点，C在第二象限，且/ AOC

34、= 30° 0C = qA+ 0b，则实数 入的值为.解析：由题意知 0A= ( 3, 0), 0B= (0, .3),则0C= ( 3入羽),由/ AOC= 30。知，以x轴的非负半轴为始边，0C为终边的一个角为150 °所以tan 150° 虽 ?3入即i3£，所以匕1.答案：i9.已知 A( 2 , 4) , B(3 , 1) , C( 3, 4).设AB a , Be b , CA c ,且 CM 3c , CN 2b.(1) 求 3a+ b 3c；(2) 求满足a mb + nc的实数 m , n;求M , N的坐标及向量MN的坐标.解：由已知

35、得 a (5 , 5) , b ( 6, 3) , c (1, 8).(1) 3a + b 3c 3(5 , 5) + ( 6 , 3) 3(1, 8)(15 6 3, 15 3 24) (6 , 42).(2) 因为 mb + nc ( 6m + n , 3m+ 8n),6m+ n 5 ,m 1,所以解得3m + 8n 5 ,n 1.(3) 设0为坐标原点，因为Cm 0M 0C 3c ,所以 0M 3c + 0c (3 , 24)+ ( 3, 4) (0 , 20).所以 M(0 , 20).又因为 CN ON OC 2b ,所以 ON 2b + 0C (12 , 6) + ( 3, 4)

36、(9 , 2),所以 N(9 , 2).所以 MN (9 , 18).10.如图，AB是圆0的直径，C, D是圆O上的点，/ CBA = 60°,/ ABD = 45°, CD =xOA + yBC，求 x+ y 的值.解：不妨设O O的半径为1 ,以圆心O为坐标原点，以OB, OD为x, y轴的正方向，建立如图所示的直角坐标系，贝V A( 1, 0), B(1 , 0), D(0, 1), C 扌,2所以CD =BC =-2 .又 CD = xOA + yBC ,K.0所以所以1=x 2y1 +仝=込22，解得3+ 2 .'3y=所以3 +V33+ 2 逅x+y=

37、厂综合题组练1.已知 P= a|a =( 1, 0)+ m (0, 1) , m R , Q= b|b= (1, 1) + n( 1, 1), n R是两个向量集合，则 P n Q等于()A. (1,1)B. ( 1, 1)C. (1,0)D. (0, 1) 解析：选A.设a = (x, y),贝怦彳®/”；：帽er卜所以集合P是直线x= 1上的点的集合同理，集合Q是直线x+ y = 2上的点的集合，即P= (x, y) |x= + F = x( 1, 0) + y 2,-于, y R , Q =(x，y) |x+ y 2= 0,所以 P nq = (1，1).故选 A.2. (20

38、20包河区校级月考)古希腊数学家欧多克索斯在深入研究比例理论时，提出了分 线段的“中末比”问题：将一线段AB分为两线段AC, CB，合得其中较长的一段 AC是全长与另一段CB的比例中项，即满足ab AC 2AC=匹二亠5二，后人把这个数称为黄金分割数，把点C称为线段AB的黄金分割点，在 ABC中，若点P, Q为线段BC的两个黄金分割点,设APxiAb+ yiAC, Aq=X2AI+y2AC，则X1+ 红(X2y2)C. 5.5+ 1解析：选C.由题意，寸5 1 t t 3 ”5 t t心 AB + BP= AB + 12BC = AB + (AC AB)3 5 T 3 .d5T.5 1 T 3

39、 .5T1 AB+ AC = AB+ AC,t t T T V5 1 t t 5 1 t t 同理，AQ = AB+ BQ = AB+BC= AB + 厂(AC AB)3 .,5 T 5 1 T _AB+ _AC.j 5 13 - 5所以 X1 = y2= 2 , X2= y1 = 2所以X1 +也=耳+严=品X2 y23 ,55 13. (创新型)若a, B是一组基底，向量 y= xa+ y Rx, y R),则称(x, y)为向量丫在基 底a, R下的坐标，现已知向量 a在基底p = (1, 1), q= (2, 1)下的坐标为(一2, 2)，贝U a 在另一组基底 m= ( 1, 1),

40、 n= (1, 2)下的坐标为 .解析：因为a在基底p, q下的坐标为(一2, 2),即 a = 2p + 2q= (2 , 4),令 a = xm + yn= ( x+ y , x+ 2y),x+ y= 2,x= 0,所以即x+ 2y= 4,y= 2.所以a在基底m , n下的坐标为(0, 2).答案：(0, 2)4. 已知非零不共线向量 O)A,觅，若2赤=xOA+ yO)B，且RA=瓜B(入 R)，则点P(x,y)的轨迹方程是.解析：由 PA= 鬲，得O)A OP = ?(ob 6A),即(op=(i+ 30A ?OB.又 2Op = xOa + yOB,x= 2+ 2 入所以消去入得x+ y 2 = 0.y= 2 入答案：x+ y 2 = 05. (一题多解)yc), B(xb, yB),则 xc =I 又 cos( a+ 45°) = 52xB = |OB|cos( a+ 45 °)= 1355= m 5n，m= 4,解得7475=尹n= 4,所以m+n=4+4=3.如图，在同一个平面内，向量OA, OB, OC的模分别为1 , 1, 2 , Oa与OC的夹角为a且 tan a= 7, OB与OC的夹角为 45°.若OC= mOA + nOB(m, n R)，求