第七节抛物线

1、第七节抛物线A组基础题组1. 设抛物线y2=2px的焦点在直线2x+3y-8=0上,则该抛物线的准线方程为()A.x=-1 B.x=-2C.x=-3 D.x=-4答案 D因为抛物线y2=2px的焦点- 在2x+3y-8=0上,所以p=8,所以抛物线的准线方程为x=-4,故选D.2. 过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹方程为()2 2A.y =12x B.y =-12xC.x2=-12y D.x2=12y答案 D由抛物线的定义知，过点F(0,3)且和直线y+3=0相切的动圆圆心的轨迹是以点F(0,3)为焦点,直线y=-3为准线的抛物线,故其方程为x2=12y.3. 已知抛物线

2、G:x2=2py(p>0)的准线与抛物线C2:x 2=-2py(p>0)交于A,B两点,Ci的焦点为F,若厶FAB的面积等于1,则Ci的方程是()2 2 A.x =2y B.x = yC.x2=y D.x2=y答案 A 由题意得F -,不妨设A - - ,B -, Sxfab= X 2pX p=1则p=1,即抛物线C的方程是x2=2y,故选A.4. (2018四川成都检测)已知抛物线C:y2=4x的焦点为F,点A(0,- _).若线段FA与抛物线C相交于点M,则|MF|=()A.-B. C.-D.答案 A如图.由题意得F(1,0),|AF|=2,设|MF|=d,则M到准线的距离为d

3、,M的横坐标为d-1,由厶AMNA AFO可得一一，所以d=,故选A.5. 已知点A(0,2),抛物线C:y2=ax(a>0)的焦点为F,射线FA与抛物线C相交于点M,与其准线方程交于点N.若|FM| : |MN|=1 : 一,则a的值为()A.B.C.1 D.4答案 D依题意，点F的坐标为-，设点M在准线上的射影为K,由抛物线的定义知|MF|=|MK|,|KM| : |MN|=1 : 一，则|KN| : |KM|=2 : 1. v kFN=二-,k fn=-2, -=2,解得a=4.勺>LJ6. 抛物线的顶点在坐标原点，开口向上,其准线经过双曲线一-=1的一个顶点，则此抛物线的标

4、准方程为.解析由题意可设抛物线的标准方程为x2=2py(p>0),因为双曲线的下顶点为(0,-2),所以-_=-2,p=4,抛物线的标准方程为x2=8y.7. (2018沈阳质量检测)已知正三角形AOB(O为坐标原点)的顶点A,B在抛物线y2=3x上，则 AOB勺边长是.答案6 -解析 如图,设厶AOB勺边长为a,则A -,点 A在抛物线 y =3x 上， -a =3X a,a=68. (2018河南新乡二模)已知A(1,y 1),B(9,y 2)是抛物线y2=2px(p>0)上的两点,y 2>屮>0,点F是抛物线的焦点，若|BF|=5|AF|,贝U +y2的值为.答案

5、 10解析 由抛物线的定义可知，9+-=5-,解得p=2,二抛物线的方程为y2=4x,又 A,B两点在抛物线上，二 y1=2,y2=6,二 +y2=22+6=10.9. 已知抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,A是抛物线上一点，横坐标为4,且位于x轴上方,A到 抛物线准线的距离等于5,过A作AB垂直于y轴，垂足为B,OB的中点为M.(1)求抛物线的方程；若过M作MNL FA,垂足为N,求点N的坐标.解析 抛物线y2=2px的准线为x=-,于是4=5, p=2, 抛物线的方程为y2=4x.由题意得 B(0,4),M(0,2).又 F(1,0),二 kFAd./ MNL FA,二 kM=

6、-,直线FA的方程为y=-(x-1),直线MN的方程为y=-x+2,由联立得x二-,y二-， N的坐标为-.10. 已知抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点为F,抛物线C与直线l i：y=-x的一个交点的横坐标为8.(1) 求抛物线C的方程； 不过原点的直线12与l 1垂直，且与抛物线交于不同的两点 A,B,若线段AB的中点为P,且 |OP|=|PB|,求 FAB的面积.解析(1)易知直线与抛物线的一个交点的坐标为(8,-8),(-8) 2=2px 8 2p=8, a 抛物线 C 的方程为 y2=8x.(2) 直线12与l 1垂直,故可设直线12：x二y+m(mM 0),A(x 1,y

7、 1),B(x 2,y 2),且直线12与x轴的交 点为M.由得 y2-8y-8m=0, =64+32m>0m>-2.y1+y2=8,y 1y2=-8m, X1X2二m,由题意可知 OAL OB,： xiX2+yiy2=m8m=0,二 m=8或 m=0舍)，二直线 12：x=y+8,M(8,0).故Sa faB=S fm+Sa fm/ |FM| |y i-y 2|=3-=24B组提升题组1. (2018湖北武汉调研,6)已知不过原点O的直线交抛物线y2=2px(p>0)于A,B两点，若OA,AB的斜率分别为2,6,则OB的斜率为()A.3 B.2C.-2D.-3答案 D由题意

8、可知，直线OA的方程为y=2x,与抛物线方程y2=2px联立得得即A-,则直线AB的方程为y-p=6-,即y=6x-2p,由- 得或所以B -,所以直线OB的斜率ko=-3.故选D.2. (2018福州质量检测)过抛物线C:y2=2px(p>0)的焦点F的直线交C于A,B两点，若|AF|=3|BF|=3,则 p=()A.3B.2 C- D.1答案 C解法一：如图，分别过点A,B作准线I的垂线AA,BB1,垂足分别为A,B1,过点B作BD丄AA于D,BD交x轴于E.由已知条件及抛物线定义得BBi|=|BF|=1,|AA i|=|AF|=3,所以|AD|=3-1=2.在Rt ABD中, 因为

9、|AB|=4,|AD|=2,所以/ ABD=30所以|EF|= -|BF|=-,所以焦点F到准线的距离为-+1二, 即p.故选C.解法二：依题意,直线AB不与x轴垂直,设直线AB的方程为y=k -,将其代入抛物线C的方程 y2=2px 得 k2x2-p(k 2+2)x+=0,设 A(xi,y J,B(x 2,y 2),则 XiX2.因为 |AF|=3|BF|=3,所以 X14=3 =3,即 X1=3-,x 2=1,所以 =,解得 p二.故选 C.3. 在平面直角坐标系xOy中，抛物线y2=2px(p>0)的焦点为F,点A(4,m)在抛物线上，且|AF|=5.(1)求抛物线的标准方程=0?

10、若存在,(2)是否存在直线I,使I过点(0,1),并与抛物线交于B,C两点,且满足求出直线l的方程;若不存在,说明理由.解析 ：点A(4,m)在抛物线上，且|AF|=5, 二 44=5,二 p=2,抛物线的标准方程为y2=4x.存在.理由：由题意可设直线l的方程为x=k(y-1)(k丰0),代入抛物线方程，整理得y2-4ky+4k=0,则 =16k-16k>0? k<0或 k>1,设 Bgy 1),C(x 2,y 2),则 y1+y2=4k,y 1y2=4k,得 X1X2+y1y2=0,所以(k2+1)y iyk 2(y i+y2)+k2=0.则有(k2+1) 4k-k2 4

11、k+k2=0,解得k=-4或k=0(舍去),二直线I存在,其方程为x+4y-4=0.24. 过抛物线C:y =4x的焦点F且斜率为k的直线I交抛物线C于A,B两点,且|AB|=8.(1)求直线I的方程；若A关于x轴的对称点为D,抛物线的准线与x轴的交点为E,求证:B,D,E三点共线.解析(1)F的坐标为(1,0),则I的方程为y=k(x-1),代入抛物线方程y2=4x得k2x2-(2k 2+4)x+k2=0,由题意知 kM 0,且-(2k 2+4) 2-4k2 k2=16(k2+1)>0.设 A(X1,y “,B(x 2,y 2), /. X1+X2=,x 1X2=1,由抛物线的定义知|AB|=x 1+X2+2=8,=6,二 k2=1,即 k=± 1直线l的方程为y=± x -1). 证明：由抛物线的对称性知，D点的坐标