可靠性试验分析与设计3

1、第四章（43）可靠性试验分析与设计三、图估计法 参数统计推断方法大致可分两类，数值分析法和图分析法。图分析法是使用各种座标纸进行分析，这种方法使用方便，直观易懂，容易掌握。它可以起到数值分析起不到的作用。将多种观测的试验数据按照某种理论分布画在在相应的概率纸上，设法拟合一条直线，只要读取这条直线的斜率和截距，就能掌握有关规定分布特征的参数方面的信息。各种分布函数在直角坐标系中是曲线，经坐标变换后，在新坐标下是直线，利用新坐标的变换尺度制成的专用纸，称为概率纸。 这种直接在概率纸上求得参数估计值的方法，称为图估法。1. 分布类型的检验 图估法的优点是可用肉眼判断直线的拟合程度，但在使用初期，有时

2、对与直线拟合的程度似乎信心不足。此外即使有一些使用图估的经验，在画的点与直线有比较大的偏移时，也需要有一定的根据来评价拟合程度的好坏。这种情况下，统计检验法是有用的，如果选择一个合适的置信系数，则可以作出客观的符合常识的判断。下面介绍几种常用的检验方法。（1）.拟合优度检验当不知道产品的寿命分布类型时，首先按子样的试验数据作出分布检验，然后再作参数估计。分布检验的过程：试验数据统计推断产品的寿命分布。推断依据，要进行拟合优度检验。拟合优度检验指的是，观察值分布与先验的或拟合观察值的理论分布之间的符合程度的度量。从总体中抽取一个子样，所得经验分布与总体或多或少存在差异，差异可能来自：a). 假设

3、分布不正确，不是总体分布，偏差较大；b) .假设分布与总体符合，但子样的随机性引起了偏差，但这个偏差比a）要小得多。对上述情况需要确定一个偏差的界限。若子样偏差小于此界限，就认为二者符合。若子样本算出的偏差大于界限值，即不能认为经验分布与总体偏差符合。基于这个思想，设样本偏差为d，另外假设偏差为D(是随机变量)，可以研究这个D的分布，再由D分布计算选择一个界限为，则判别式： 为置信水平，可取等。若，偏差大于临界范围，发生了小概率事件，应该怀疑原假设。判断选择的分布与总体之间差异较大，这种选择应予以拒绝。所以当子样偏差大于 ，则拒绝原假设，否则接受。由此，拟合优度检验的步骤如下：(1).根据假设

4、,引进合适的统计量；(2).确定统计量的精确分布或渐近分布；(3).由样本值算出统计量的计算值；(4).定适当的显著水平；(5).假设的拒绝与接受；由样本计算的统计量,其判别式表示为 当样本计算的统计量在拒绝域范围内或超过临界点的值,则拒绝假设,否则接受假设. 在实际工作中，对于分布的拟合优度检验往往采用最直观的作图法，即，将统计到的经验分布函数，在假设分布的概率纸上描点，若连线为直线趋势，则认为所抽样本服从假设分布，但由于作图连线因人而异，判断往往不太准确，因此也经常用解析检验方法作校核。(2).皮尔逊检验法为了验证统计得到的经验分布和理论分布是否一致，将观测值进行分组，选用统计量 作为经验

5、分布和假设的理论分布之间的差异度，用下式表示： （）式中，m为分组数; 为落入第i组的频数；n为样本容量；为按假设的理论分布计算得到的落入第i组的概率；为第i组的理论频数。可以证明当n足够大时,所设的经验分布与理论分布差异的统计量的渐进分布服从自由度为k=m-1的分布。当所假设的理论分布的参数是用统计得到的样本估计出来时，自由度 k=m-r-1 式中r为所估计的总体分布参数的个数。检验的计算步骤如下：（1） 要求所取的样本数n50,落入每组的频数5，若某组的太小，可合并，减少组数；（2） 将数据分组，统计各组频数，根据分布情况，建立原假设:;（3） 给出显著水平；（4） 按公式,计算落入任一区

6、间的理论概率；（5） 按（）式计算统计量；（6） 根据自由度k和显著水平查分布表，得到值；（7） 作出原假设接受与否的结论。例: 用检验判断某机主油泵的故障分布假设为指数分布是否正确，共统计了81台该泵的故障时间，如下表所示，设显著水平为。 解：主油泵的平均故障间隔时间： 建立原假设：油泵故障为指数分布，可靠度函数： 计算结果见下表：查表得： 结论：接受原假设，油泵故障分布为指数分布，检验是用分区间来考虑经验分布和总体分布之间的差异。 在现场的使用汇总，得到的数据都是具有随机截尾的特性，且样本量都较大。在目前尚未有较合适的方法对这类数据分布拟合优度进行检验的情况下，可试用检验。 前面讲过每一个

7、时间区段（或划分的每一组）内样品的故障概率为，对于完全样本：为每一区段的故障数：但对于不完全样本中随机截尾的情况，样品每一区段的应以下式来计算： 此时，每一区段的故障数为，其中为每一区段开始时的残存样品数。由于检验是一种近似方法，所以样本容量n必须足够大才行。然而，可靠性实验中数据量一般比较小，安全地满足近似条件有困难，所以在使用中注意到，降低条件后检验精度要大幅度降低。样本容量小于30时，下面的K-S检验方法是有效的。 （3）柯尔莫哥洛夫斯米尔诺夫（K-S）检验法a). 用于完全样本的K-S检验作原假设：经验分布等于理论分布，即。将与的最大偏差作为理论分布与经验分布的差异度，K-S方法认为样

8、本小，累积分布折线上的点不会偏离母体累积分布函数太远，于是提出假设检验的统计量为由于都是t的单调函数，所以偏差的上确界可在n个点处找，即它是在子样的每个次序统计量上求样本的经验分布函数和假设的理论分布之间的偏差，计算的表达式为：显然，反映了相差距离的远近，可见K-S方法是一种非参数的假设检验。可以证明，如果是连续函数，则当时，概率的关系有专门的表可查（这种表称为极限分布表）。进行检验时，根据经验分布和假设的理论分布之间的最大偏差计算 如果给定置信水平，则由极限分布表查出最接近于的数值所对应的值，比较是否小于，若小于则接受原假设，否则拒绝。例：某批产品抽样100件进行寿命试验，根据经验知其总体分

9、布服从平均寿命为200h的指数分布，从100件样品的试验结果作原假设：，由计算得到（根据寿命数据计算累积失效分布，再与理论分布的值逐一比较得到最大值），当给定置信度10.9时，问原假设是否成立。解：由10.9查表得到，又有 因为，通过原假设。说明该批产品服从平均寿命为200h的指数分布。b）用于截尾样本的K-S检验对于定数截尾试验：检验的统计量为其中r为截尾数，为第r个故障产品的故障时间，满足关系式临界值，对于不同的值可查专门的可靠性试验用表。当>时将拒绝原假设。 当定时截尾试验时，上边的式中由定时截尾时间来代替，然后作同样的假设判别。3、威布尔分布的图估计前面已知，两参数的威布尔分布其

10、故障概率为： 这种分布在直角坐标纸上是一条曲线，但经变换坐标（即上式两边取对数后），得其中：，其分布在坐标下是一条直线，其斜率是m，纵截距是-B，根据上述原理，可设计一种特殊的坐标纸，即威布尔概率纸，来进行参数估计。威布尔概率纸的横坐标有两种：X尺和t尺，X尺是等距尺，t尺是对数尺；同样在纵轴上也有两种尺，即Y尺和F(t)尺，Y尺是等距尺，F(t)尺是双对数尺。图4.18威布尔概率纸有了概率纸后，具体图估过程如下：(1).在概率纸上描点 根据子样故障时间 ，算出累积故障概率当子样数时： ， 其中为时刻前的累积故障数；当子样数时，利用中位秩估计，使用时可查可靠性试验用表中的中位秩表，也可用下列近

11、似公式计算： 或 对于小样本情况，有时也用平均秩法 最后把各点描在威布尔概率纸上，概率纸一般采用双坐标纸。(2).配置回归直线 如是威布尔分布，凭目视，可配置一条直线。 注意到：各点分布在直线附近，且回归直线上下点数大致相等，直线与各点的偏差综合要尽可能地小（最小二乘原理）。特别直线的中段（3070）F段）点子与直线的偏差尽可能地小，而两头可不必要求太严。若威布尔概率纸上的最大值为100，若子样大于100时，可作如下变换：其中，改变了比例，尺度缩小了倍，但回归直线斜率不变。而分布真正的尺度参数为。 (3).参数的估计在威布尔概率纸上有一个小圆圈，它的座标为，称为的估计点，过点作一条平行于回归方

12、程的平行线，这条平行线的方程为，这条直线与Y轴的交点为。在纸上读出回归直线与Y轴交点坐标为b，由交点（0，b）再引平行线与Y尺相交，由可知，当，故尺度参数，或按对应t轴的刻度即为，轴的刻度即为。(4). 平均寿命特征寿命的估计 设回归直线与轴交点则有 ， ，而因此只要在概率纸上读出回归直线与轴的交点横坐标a，代入指数函数得前面已知，威布尔分布的平均寿命为 ，知道了和m就可通过查伽马函数表得到平均寿命值。另外可见只是形状参数m的函数，因此另在威布尔概率纸上做了两把尺：尺和，可利用它们求的估计值。 通过m点做回归直线的平行线，该线与和尺的交点乘以的估计值，即可得到平均寿命和的估计值。， ?例：威布

13、尔分布概率纸检验的例子如一厂生产的二极管，在高温下做存储寿命试验，设试样18只，在规定失效标准后。进行定周期测试，观察时间和失效数如下：测试时间（h）10050010002000350050005500失效数1122311试问，这批二极管在高温下的寿命是否为威布尔分布？解：（1）.整理数据 由于是定周期测试，获得的是一组数据，对于分组数据，规定用时间区间的组中值作为该组失效产品的失效时间代表，如时间区间为，则失效时间（组中值）， 由失效数计算累积失效数： ， 失效概率估算时， 对于小样本情况，在实际中可用如下估计公式 或通过查中位秩表：这一列，然后整理成下表：数据整理表测试时间组组中值失效数累

14、积失效数5011430012975024201500263127503947425011053525011158（2）描点、检验、配置直线注意到：有时威布尔纸横座标是由为止，如很小，则直接适用；若大了，要移位。寿命试验一般都是几千小时以上，因此可以在刻度（横坐标上）乘上，这种可以使，本例中，第一个组中值是50，则取2，横坐标从，相当于移了两个数量级。将7点描在概率纸上，基本上是一条直线附近，可认为寿命是服从威布尔分布的。图估法描出，凭目测是否为直线，常因人而异，不太精确。为了求出较为精确的直线，通常可用相关系数作分布检验，用最小二乘法求回归直线。4、对数正态分布的图估计(1).概率纸的构造 对数正态分布的故障概率密度函数及分布函数分别： 对数正态分布函数是一条曲线，也是单调函数，因此其反函数也存在。令：，上式可转换成 则，在座标系（对数正态概率纸）上是一条上升直线，此直线的斜率为在概率纸上有两种刻度，即尺与尺。X尺是等距尺，t是对数尺；同样在纵轴