工程力学13综述

1、工程力学学习目标熟悉应力状态的相关概念掌握掌握平面应力状体分析（解析法、图解法）了解空间应力状体分析了解广义胡可定律13-1 引言引言一、引言一、引言1 1、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？、铸铁与低碳钢的拉、压、扭试验现象是怎样产生的？M低碳钢低碳钢铸铁铸铁PP铸铁拉伸铸铁拉伸 P铸铁压缩铸铁压缩MP2、复杂应力状态怎样建立强度条件？、复杂应力状态怎样建立强度条件？MPt ts sFst ts ss ss sMt t ;maxmaxttss强度条件如何建立？强度条件如何建立？简单应力状态的强度条件：简单应力状态的强度条件：弯扭组合变形弯扭组合变形强度条件如何建立？强度条件如何建

2、立？AFmaxsFsFst同一点在斜截面上时：同一点在斜截面上时：ss2cosst2sin2zMsF哪一个面上哪一个面上哪一点哪一点？ 哪一点哪一点哪个方向面？哪个方向面？二、一点的应力状态二、一点的应力状态 三、单元体三、单元体：单元体单元体围绕被研究点截取一尺寸为无限小围绕被研究点截取一尺寸为无限小 的正六面体。的正六面体。 单元体的性质单元体的性质a a、各表面上应力均匀分布；、各表面上应力均匀分布； b b、平行平面上应力相等。、平行平面上应力相等。ysxsyxtxyz0yztzytzxtxztzszszxtzytysyztyxtxsxztxytxyt五、主单元体、主面、主应力：五、主

3、单元体、主面、主应力：主单元体主单元体( (Principal bidy) )： 各侧面上剪应力均为零的单元体。各侧面上剪应力均为零的单元体。主面主面( (Principal Plane) )： 剪应力为零的截面。剪应力为零的截面。主应力主应力( (Principal Stress ）：）： 主面上的正应力。主面上的正应力。s s1 1s s2 2s s3 3s sxs sys sz主应力排列规定：主应力排列规定：s s1 1s s2 2s s3 3xyzs sxs sys sz单向应力状态（单向应力状态（Unidirectional State of Stress）：）： 一个主应力不为零的

4、应力状态。一个主应力不为零的应力状态。 二向应力状态（二向应力状态（Plane State of Stress）：）： 一个主应力为零的应力状态。一个主应力为零的应力状态。三向应力状态（三向应力状态（ ThreeDimensional State of Stress）：）： 三个主应力都不为零的应力状态。三个主应力都不为零的应力状态。As sxs sxt tzxs sxs sxBt txz轴向拉伸AFNs扭 转pITt弯曲变形zZIyMsbISFZzs*t二向和三向应力状态实例二向和三向应力状态实例sA = sp Dt=Ps =pD4ts =?2N=pDlN = stls =pD2tssss二

5、向应力状态三向压缩13-2 平面应力状态应力分析平面应力状态应力分析等价等价s sxt txys syxyzxys sxt txys syO平面平面应力状态应力状态：仅在微体四个侧面上作用有应力，且其作用：仅在微体四个侧面上作用有应力，且其作用 线均平行于微体不受力表面的应力状态。线均平行于微体不受力表面的应力状态。 平面平面应力分析的解析法应力分析的解析法问题：问题：建立建立 s s , , t t 与与 s sx , , t tx , s sy , , t ty 间的关系间的关系问题符号规定：符号规定： 方位方位角角 以以 x 轴为始边、轴为始边、 者为正者为正 切应力切应力 t t 以企

6、图使微体沿以企图使微体沿 旋转者为正旋转者为正方位用方位用 表示；表示；应力为应力为 s s , , t t 斜截面：斜截面：/ z 轴；轴；0)sinsind()cossind( )coscosd()sincosd(d 0n s s t t s s t ts s AAAAAFyyxx， 0)cossind()sinsind( )sincosd()coscosd(d 0t s s t t s s t tt t AAAAAFyyxx， t tt t s s s ss s cos )sin(sincos22yxyx t t t t s ss st t 22sincoscos )sin(yxyx 利

7、用三角函数公式利用三角函数公式)2cos1(21cos2 )2cos1(21sin2 2sincossin2 并注意到并注意到 化简得化简得yxtttsssss2sin2cos)(21)(21xyxyxtsst2cos2sin)(21xyxx xy ysxs syt tyxt txy绕绕微元顺时针方向微元顺时针方向转动为正；反之为负。转动为正；反之为负。角：角：由由x x 轴正向逆时针转轴正向逆时针转到斜截面外法线时为正；反到斜截面外法线时为正；反之为负。之为负。s sy as att txyntxsyxtxtsssss2sin2cos)(21)(21xyxyxtsst2cos2sin)(21

8、xyxtsssss2sin2cos)(21)(21xyyxyx 确定正应力极值tsss2cos22sin)(xyyxdd设0 0 时，上式值为零，即02cos22sin)(00tssxyyx022cos2sin22000 xyyx）（即0 0 时，切应力为零yxxysst22tan0 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大正应力和最小正应力所在平面。应力和最小正应力所在平面。 所以，最大和最小正应力分别为：所以，最大和最小正应力分别为： 22max4212xyyxyxt ts ss ss ss ss s 22min4212xyyxyxt

9、ts ss ss ss ss s 主应力按代数值排序：1 2 30dd:1t令xyyxtss22tan1222x yyxminmaxt ts ss st tt t ）（00145 , 4与主平面成即极值切应力所在平面p 切切应力极值和方向应力极值和方向 由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大切由上式可以确定出两个相互垂直的平面，分别为最大切应力和最小切应力所在平面。应力和最小切应力所在平面。tsst2cos2sin)(21xyyxyxxys ss st t 22tan0试求试求（1 1） 斜面上的应力；斜面上的应力； （2 2）主应力、主平面；）主应力、主平面； （3 3）绘出主应力单

10、元体。）绘出主应力单元体。例题：例题：一点处的平面应力状态如图所示。一点处的平面应力状态如图所示。 ys s xs sxyt t。30MPa，60 xsMPa,30 xyt,MPa40ys已知已知解：解： （1 1） 斜面上的应力斜面上的应力tsssss2sin2cos22xyyxyx)60sin(30)60cos(2406024060MPa02. 9tsst2cos2sin2xyyx)60cos(30)60sin(24060MPa3 .58ys s xs sxyt t（2 2）主应力、主平面）主应力、主平面2yxssxyyx22)2(tssmaxsMPa3 .682yxssxyyx22)2(

11、tssminsMPa3 .48MPa3 .48, 0MPa,3 .68321sssys s xs sxyt t主平面的方位：主平面的方位：yxxysst22tan06 . 0406060,5 .1505 .105905 .150ys s xs sxyt t代入代入 表达式可知表达式可知 s s主应力主应力 方向：方向：1s5 .150主应力主应力 方向：方向：3s s5 .1050（3 3）主应力单元体：）主应力单元体：ys s xs sxyt t5 .151s3s 某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已某单元体应力如图所示，其铅垂方向和水平方向各平面上的应力已知，互相垂直

12、的二斜面知，互相垂直的二斜面abab和和bcbc的外法线分别与的外法线分别与x x轴成轴成30300 0和和60600 0角，角，试求此二斜面试求此二斜面abab和和bcbc上的应力。上的应力。MPa20MPa10MPa30abc1n s2yxssss2cos2yxt2sinx2nMPa32. 223010060s0120cos230100120sin2023010030s060cos23010060sin20MPa32.42MPa20MPa10MPa30abc1n tss2sin2yxt2cosx03060sin230100t060cos20MPa33. 12n060120sin230100

13、t0120cos20MPa33. 1006030ssyxssMPa40在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其正应力在二向应力状态下，任意两个垂直面上，其正应力的和为一常数。的和为一常数。解：解：确定危险点并画其原始确定危险点并画其原始 单元体单元体求极值应力求极值应力0yxssPxyWTtt22minmax22xyyxyxtssssss）（tt2xyt txyCt tyxMCxyOt txyt tyx 纯剪切与扭转破坏纯剪切与扭转破坏破坏分析破坏分析ttsstt22minmax2xyyx）（tssts3210；4522tan00 yxxy0 022tan11tssxyyxMPa200;MPa2

14、40:ssts低碳钢MPa300198;MPa960640MPa28098:bbcbttss灰口铸铁低碳钢低碳钢铸铁铸铁 分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢分析轴向拉伸杆件的最大切应力的作用面，说明低碳钢拉伸时发生屈服的主要原因。拉伸时发生屈服的主要原因。低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。低碳钢拉伸时，其上任意一点都是单向应力状态。xs ss ss sxy 2ss2cos2yxt2sinxsss2cos22xx tss2sin2yxt2cosxst2sin2x0452045xss2045xstmaxt 低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿低碳钢试样拉伸至屈服时表面沿450出现滑

15、出现滑移线，是由最大切应力引起的。移线，是由最大切应力引起的。材料力学tsssss2sin2cos2)2(xyyxyxtsst2cos2sin2xyyxtsssss2sin2cos22xyyxyxtsst2cos2sin2xyyx(1)(2)材料力学xyyxyx2222)2()2(tsstsssstRcxyyx22)2(tss2yxss建立应力坐标系，如下图所示，建立应力坐标系，如下图所示，（注意选好比例尺）（注意选好比例尺）二、应力圆的画法二、应力圆的画法在在坐标系内画出点坐标系内画出点A( (s s x，t txy)和和B (s sy，t tyx) AB与与s s 轴的交点轴的交点C便是圆

16、心。便是圆心。以以C为圆心，以为圆心，以AC为半径画为半径画圆圆应力圆；应力圆；s sxt txys syxyOns s t t Os s t t CA(s sx ,t txy)B(s sy ,t tyx)x2 nD( s s , t t s sxtxys syxyOnst OstCA(s sx ,t txy)B(s sy ,t tyx)x2 n D( s , t 点面对应应力圆上某一点的坐标值对应着单元体某一方向面上的正应力和切应力； 转向对应半径旋转方向与斜截面法线旋转方向一致；二倍角对应半径转过的角度是斜截面旋转角度的两倍。s sxtxys syxyOnst OstC D(s sx ,t

17、 txy) D(s sy ,t tyx)x2 n E( s , t 2a0ABFE点的坐标是2sin2sin2cos2cos)22cos(000CECEOCCEOCOF2sin2cos2cos2sin)22sin(000CECECEFE因CE和CD为圆周的半径，有22cos2cos00yxCACDCEssxyADCDCEt002sin2sin代入，可求得：ttssstssss2cos2sin22sin2cos22xyyxxyyxyxFEOF22minmax22xyyxyxROCtssssss）（半径22minmaxminmax22xyyxRtsssstt）（半径OCstA(s sx ,t tx

18、y)B(s sy ,t tyx)x2 1 1mintmaxt2 0 0s1s2s3yxxsst22tan0 xyyxtss22tan1材料力学t tsocad1s2st tso1s3st tso2s3ss s3例例 用求图示单元体的主应力及主平面的位置。用求图示单元体的主应力及主平面的位置。(单位：单位：MPa)4532532595150ABs s 1s s2解：解：主应力坐标系如图主应力坐标系如图AB的垂直平分线与的垂直平分线与s s 轴的交点轴的交点C便是便是圆心，以圆心，以C为圆心，为圆心，以以AC为半径画为半径画圆圆应力圆应力圆0s s1s s2BAC2s0s s t t (MPa)(

19、MPa)O20MPa)325,45(B)325,95(A在在坐标系内画出点坐标系内画出点s s3s s1s s2BAC2s0s s t t (MPa)(MPa)O20MPa主应力及主平面如图020120321sss3004532532595150s s 10s s2ABtsst2cos2sin2xyyx4532532595150解法2解析法：分析建立坐标系如图xyyxyttsMPa325MPa45?xs222122xyyxyxtssssss）（60MPa325MPa956060tsxyO 图示为一矩形截面铸铁梁，受两个横向力作用。（1 1）从梁表面的）从梁表面的A A、B B、C C三点处取出

20、的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。三点处取出的单元体上，用箭头表示出各个面上的应力。（2 2）定性地绘出）定性地绘出A A、B B、C C三点的应力圆。三点的应力圆。（3 3）在各点的单元体上，大致地画出主平面的位置和主应力的方向。）在各点的单元体上，大致地画出主平面的位置和主应力的方向。（4 4）画图表示梁破坏时裂缝在）画图表示梁破坏时裂缝在B B、C C两点处的走向。两点处的走向。BACB1sBCACBtsFFaaABC13-4 复杂应力状态的最大应力复杂应力状态的最大应力1s2s3sst1 1、空间应力状态、空间应力状态s3s1s2s2s1s3t tsIIIIIIs3s2s1I平行

21、于1的方向面其上之应力与1无关，于是由2 、 3可作出应力圆 I平行于2的方向面其上之应力与2无关，于是由1 、 3可作出应力圆 II平行于3的方向面其上之应力与3无关，于是由1 、 2可作出应力圆 IIIIIs2s1 s3s3IIIs2s1材料力学s1s2s3IIIIIIt ts弹性理论证明，图弹性理论证明，图a任意一点单元体内任意截面上的应任意一点单元体内任意截面上的应力对应着图力对应着图b的应力圆上或阴影区内的一点。的应力圆上或阴影区内的一点。图图a图图b单元体内的极值应力单元体内的极值应力tmax3min1max31max ,2sssssst，s s1s s2xyzs s31s2s3s

22、st1. 1. 基本变形时的胡克定律基本变形时的胡克定律xxE s s Exxys s xsyx1 1）轴向拉压胡克定律）轴向拉压胡克定律横向变形横向变形2 2）纯剪切胡克定律）纯剪切胡克定律xyxyGtxytxyzs sx13-5 广义广义胡克定律胡克定律xyzt t x y2 2、三向应力状态的广义胡克定律、三向应力状态的广义胡克定律叠加法叠加法2s3s1s32111sssE1s2s3s1E1sE2sE3s2s3s1s32111sssE13221sssE21331sssE0 0 0yzzxxy，3、复杂状态下的应力 - 应变关系(广义胡克定律)依叠加原理,得:zyxzyxxEEEEssss

23、ss1 xzyyEsss1yxzzEsss1GxyxytGyzyztGzxzxtzyxxEsss1 yxzs sxs sys szt txyt tyxt tyzt tzyt tzxt txz135 强度理论概述强度理论概述一、基本变形下的强度条件max,maxssAFN（拉压）（拉压）maxmaxsszWM（弯曲）（弯曲）（正应力强度条件）（正应力强度条件）*maxttzzsbISF（弯曲）（弯曲）（扭转）（扭转）maxmaxttpWT（切应力强度条件）（切应力强度条件）式中式中,nuss失效正应力:usnutt失效切应力:ut（通过试验测定）（通过试验测定）基本变形下危险点的应力状态：s单向

24、应力状态纯剪切应力状态二、怎样s三、三、 塑性屈服（流动）塑性屈服（流动）材料产生显著的塑性变形。材料产生显著的塑性变形。(1) 脆性断裂脆性断裂 材料在没有明显的塑性变形情况下材料在没有明显的塑性变形情况下发生突然断裂。发生突然断裂。即即关于材料破坏或失效原因的假设。关于材料破坏或失效原因的假设。材料不论处于什么应力状态下，材料不论处于什么应力状态下，引起失效的因引起失效的因素是相同的素是相同的，也就是，造成失效的原因与应力状态，也就是，造成失效的原因与应力状态无关，便可由拉伸试验的结果建立复杂应力状态下无关，便可由拉伸试验的结果建立复杂应力状态下的强度条件。的强度条件。135常用的强度理论

25、常用的强度理论 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于最大拉应力达到了材料的极限应力u。 ussmaxs1s2s3su= sbbssu) 0( 11maxsss 最大拉应力理论b1s ss s bb1nsss局限性：1、未考虑另外二个主应力影响，、未考虑另外二个主应力影响，2、对没有拉应力的应力状态无法应用，、对没有拉应力的应力状态无法应用，如：单向压缩、三向压缩。如：单向压缩、三向压缩。实验表明：实验表明：此理论对于大部分脆性材料此理论对于大部分脆性材料受拉应力作用时，结果与实验相符合，如受拉应力作用时，结果与实验相符合，如铸铁拉伸、扭转。铸铁拉伸、扭转。铸铁拉伸铸铁拉伸铸铁扭

26、转铸铁扭转最大伸长线应变理论（第二强度理论） 无论材料处于什么应力状态,只要发生脆性断裂,都是由于最大伸长线应变达到了极限值u。 umaxs1s2s31max最大伸长线应变理论)(1321sssEs= sbEbusu1nbssss)(321即即)(321ssssEEbssss)(1 321即： 局限性：局限性： 材料在二向或三向受拉时，应比单向拉伸更安全，在二向或三向受拉时，应比单向拉伸更安全，但实验结果并非如此。但实验结果并非如此。 )(321ssss实验表明：实验表明：此理论适用于以压应力为主的情况。此理论适用于以压应力为主的情况。如，石料或混凝土受轴向压缩，如，石料或混凝土受轴向压缩，铸

27、铁受拉压二向应力，且压应力较大时。铸铁受拉压二向应力，且压应力较大时。 关于的强度理论最大切应力理论最大切应力理论（第三强度理论）（第三强度理论） 无论材料处于什么应力状态无论材料处于什么应力状态,只要发只要发生生塑性屈服塑性屈服,都是由于都是由于最大切应力最大切应力达到了达到了材料的极限值材料的极限值u。sttmax231maxs ss st t 2sssts1s2s3s= sss31s ss ss s ss31nssss实验表明：实验表明：此理论对于塑性材料的屈此理论对于塑性材料的屈服现象能够得到较为满意的解释。服现象能够得到较为满意的解释。局限性：局限性： 2、不能解释三向均匀受拉下可、

28、不能解释三向均匀受拉下可能发生断裂的现象。能发生断裂的现象。1、未考虑、未考虑 的影响，试验证的影响，试验证实最大影响达实最大影响达15%。2s低碳钢拉伸低碳钢拉伸低碳钢扭转低碳钢扭转vdududvv（第四强度理论）（第四强度理论）s= ss)2(612ssEvdus213232221)()()(21sssssss ss213232221)()()(21nsssssssss1s2s3213232221d)()()(61ssssssEv强度条件 sssssss213232221)()()(21实验表明：实验表明：对塑性材料，此理论比第三强度理对塑性材料，此理论比第三强度理论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。论更符合试验结果，在工程中得到了广泛应用。11ssr)(3212ssssr2132322214)()()(21sssssssr强度理论的统一表达式：强度理论的统