2020学年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学文

1、2020年普通高等学校招生全国统一考试（江苏卷）数学文一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共计70分.1.(5分)函数y=3sin(2x+)的最小正周期为 .解析：函数表达式为y=3sin(2x+)，=2，可得最小正周期T=|=|=答案：2.(5分)设z=(2-i)2(i为虚数单位)，则复数z的模为 .解析：z=(2-i)2=4-4i+i2=3-4i.所以|z|=5.答案：5.3.(5分)双曲线的两条渐近线方程为 .解析：双曲线的a=4，b=3，焦点在x轴上，而双曲线的渐近线方程为y=±x，双曲线的渐近线方程为.答案：4.(5分)集合-1，0，1共有 个子集.解析：因为集合-1

2、，0，1，所以集合-1，0，1的子集有：-1，0，1，-1，0，-1，1，0，1，-1，0，1，共8个.答案：8.5.(5分)如图是一个算法的流程图，则输出的n的值是 .解析：当n=1，a=2时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=8，n=2；当n=2，a=8时，满足进行循环的条件，执行循环后，a=26，n=3；当n=3，a=26时，不满足进行循环的条件，退出循环故输出n值为3答案：36.(5分)抽样统计甲、乙两位射击运动员的5此训练成绩(单位：环)，结果如下：则成绩较为稳定(方差较小)的那位运动员成绩的方差为 .解析：由图表得到甲乙两位射击运动员的数据分别为：甲：87，91，90，89，93

3、；乙：89，90，91，88，92；，.方差=4.=2.所以乙运动员的成绩较稳定，方差为2.答案：2.7.(5分)现在某类病毒记作XmYn，其中正整数m，n(m7，n9)可以任意选取，则m，n都取到奇数的概率为 .解析：m取小于等于7的正整数，n取小于等于9的正整数，共有7×9=63种取法.m取到奇数的有1，3，5，7共4种情况；n取到奇数的有1，3，5，7，9共5种情况，则m，n都取到奇数的方法种数为4×5=20种.所以m，n都取到奇数的概率为.答案：.8.(5分)如图，在三棱柱A1B1C1-ABC中，D，E，F分别是AB，AC，AA1的中点，设三棱锥F-ADE的体积为V

4、1，三棱柱A1B1C1-ABC的体积为V2，则V1：V2= .解析：因为D，E，分别是AB，AC的中点，所以SADE：SABC=1：4，又F是AA1的中点，所以A1到底面的距离H为F到底面距离h的2倍.即三棱柱A1B1C1-ABC的高是三棱锥F-ADE高的2倍.所以V1：V2=1：24.答案：1：24.9.(5分)抛物线y=x2在x=1处的切线与两坐标轴围成三角形区域为D(包含三角形内部和边界).若点P(x，y)是区域D内的任意一点，则x+2y的取值范围是 .解析：由y=x2得，y=2x，所以y|x=1=2，则抛物线y=x2在x=1处的切线方程为y=2x-1.令z=x+2y，则.画出可行域如图

5、，所以当直线过点(0，-1)时，zmin=-2.过点()时，.答案：.10.(5分)设D，E分别是ABC的边AB，BC上的点，AD=AB，BE=BC，若=1+2(1，2为实数)，则1+2的值为 .解析：由题意结合向量的运算可得=，又由题意可知若=1+2，故可得1=，2=，所以1+2=答案：11.(5分)已知f(x)是定义在R上的奇函数.当x0时，f(x)=x2-4x，则不等式f(x)x 的解集用区间表示为 .解析：作出f(x)=x2-4x(x0)的图象，如图所示，f(x)是定义在R上的奇函数，利用奇函数图象关于原点对称作出x0的图象，不等式f(x)x表示函数y=f(x)图象在y=x上方，f(x

6、)图象与y=x图象交于P(5，5)，Q(-5，-5)，则由图象可得不等式f(x)x的解集为(-5，0)(5，+).答案：(-5，0)(5，+)12.(5分)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为(ab0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2，若d2=，则椭圆C的离心率为 .解析：如图，准线l：x=，d2=，由面积法得：d1=，若d2=，则，整理得a2-ab-=0，两边同除以a2，得+()-=0，解得.e=.答案：.13.(5分)在平面直角坐标系xOy中，设定点A(a，a)，P是函数y=(x0)图象上一动点，若点P，A之间的最短距离

7、为2，则满足条件的实数a的所有值为-1或.解析：设点P，则|PA|=，令，x0，t2，令g(t)=t2-2at+2a2-2=(t-a)2+a2-2，当a2时，t=a时g(t)取得最小值g(a)=a2-2，解得；当a2时，g(t)在区间2，+)单调递增，t=2，g(t)取得最小值g(2)=2a2-4a+2，解得a=-1.综上可知：a=-1或.答案：-1或.14.(5分)在正项等比数列an中，a6+a7=3，则满足a1+a2+ana1a2an的最大正整数n的值为 .解析：设正项等比数列an首项为a1，公比为q，由题意可得，解之可得：a1=，q=2，故其通项公式为an=2n-6.记Tn=a1+a2+

8、an=，Sn=a1a2an=2-5×2-4×2n-6=2-5-4+n-6=.由题意可得TnSn，即，化简得：2n-1，即2n-1，因此只须n，即n2-13n+100，解得 n，由于n为正整数，因此n最大为的整数部分，也就是12.答案：12二、解答题：本大题共6小题，共计90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.15.(14分)已知=(cos，sin)，=(cos，sin)，0.(1)若|-|=，求证：；(2)设=(0，1)，若+=，求，的值.解析：(1)由给出的向量的坐标，求出的坐标，由模等于列式得到coscos+sinsin=0，由此得到

9、结论；(2)由向量坐标的加法运算求出+，由+=(0，1)列式整理得到，结合给出的角的范围即可求得，的值.答案：(1)由=(cos，sin)，=(cos，sin)，则=(cos-cos，sin-sin)，由=2-2(coscos+sinsin)=2，得coscos+sinsin=0.所以.即；(2)由得，2+2得：.因为0，所以0-.所以，代入得：.因为.所以.所以.16.(14分)如图，在三棱锥S-ABC中，平面SAB平面SBC，ABBC，AS=AB，过A作AFSB，垂足为F，点E，G分别是棱SA，SC的中点.求证：(1)平面EFG平面ABC；(2)BCSA.解析：(1)根据等腰三角形的“三线

10、合一”，证出F为SB的中点.从而得到SAB和SAC中，EFAB且EGAC，利用线面平行的判定定理，证出EF平面ABC且EG平面ABC.因为EF、EG是平面EFG内的相交直线，所以平面EFG平面ABC；(2)由面面垂直的性质定理证出AF平面SBC，从而得到AFBC.结合AF、AB是平面SAB内的相交直线且ABBC，可得BC平面SAB，从而证出BCSA.答案：(1)ASB中，SA=AB且AFSB，F为SB的中点.E、G分别为SA、SC的中点，EF、EG分别是SAB、SAC的中位线，可得EFAB且EGAC.EF平面ABC，AB平面ABC，EF平面ABC，同理可得EG平面ABC又EF、EG是平面EFG

11、内的相交直线，平面EFG平面ABC；(2)平面SAB平面SBC，平面SAB平面SBC=SB，AF平面ASB，AFSB.AF平面SBC.又BC平面SBC，AFBC.ABBC，AFAB=A，BC平面SAB.又SA平面SAB，BCSA.17.(14分)如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0，3)，直线l：y=2x-4.设圆C的半径为1，圆心在l上.(1)若圆心C也在直线y=x-1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使MA=2MO，求圆心C的横坐标a的取值范围.解析：(1)联立直线l与直线y=x-1解析式，求出方程组的解得到圆心C坐标，根据A坐标设出切线的方程，由圆心到切线

12、的距离等于圆的半径，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，确定出切线方程即可；(2)设M(x，y)，由MA=2MO，利用两点间的距离公式列出关系式，整理后得到点M的轨迹为以(0，-1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，由M在圆C上，得到圆C与圆D相交或相切，根据两圆的半径长，得出两圆心间的距离范围，利用两点间的距离公式列出不等式，求出不等式的解集，即可得到a的范围.答案：(1)联立得：，解得：，圆心C(3，2).若k不存在，不合题意；若k存在，设切线为：y=kx+3，可得圆心到切线的距离d=r，即=1，解得：k=0或k=-，则所求切线为y=3或y=-x+3；(2)设点M(x，y)，由MA=

13、2MO，知：=2，化简得：x2+(y+1)2=4，点M的轨迹为以(0，-1)为圆心，2为半径的圆，可记为圆D，又点M在圆C上，圆C与圆D的关系为相交或相切，1|CD|3，其中|CD|=，13，解得：0a.18.(16分)如图，游客从某旅游景区的景点A处下山至C处有两种路径.一种是从A沿直线步行到C，另一种是先从A沿索道乘缆车到B，然后从B沿直线步行到C.现有甲、乙两位游客从A处下山，甲沿AC匀速步行，速度为50m/min.在甲出发2min后，乙从A乘缆车到B，在B处停留1min后，再从匀速步行到C.假设缆车匀速直线运动的速度为130m/min，山路AC长为1260m，经测量，cosA=，cos

14、C=(1)求索道AB的长；(2)问乙出发多少分钟后，乙在缆车上与甲的距离最短？(3)为使两位游客在C处互相等待的时间不超过3分钟，乙步行的速度应控制在什么范围内？解析：(1)作出相应的图形，根据cosC的值，求出tanC的值，设出BD表示出DC，由cosA的值，求出tanA的值，由BD表示出AD，进而表示出AB，由CD+AD=AC，列出关于k的方程，求出方程的解得到k的值，即可确定出AB的长；(2)设乙出发xmin后到达点M，此时甲到达N点，如图所示，表示出AM与AN，在三角形AMN中，由余弦定理列出关系式，将表示出的AM，AN及cosA的值代入表示出MN2，利用二次函数的性质即可求出MN取最

15、小值时x的值；(3)由(1)得到BC的长，由AC的长及甲的速度求出甲到达C的时间，分两种情况考虑：若甲等乙3分钟，此时乙速度最小，求出此时的速度；若乙等甲3分钟，此时乙速度最大，求出此时的速度，即可确定出乙步行速度的范围.答案：(1)cosA=，cosC=，tanA=，tanC=，如图作BDCA于点D，设BD=20k，则DC=15k，AD=48k，AB=52k，由AC=63k=1260m，解得：k=20，则AB=52k=1040m；(2)设乙出发xmin后到达点M，此时甲到达N点，如图所示，则AM=130xm，AN=50(x+2)m，由余弦定理得：MN2=AM2+AN2-2AM·AN

16、cosA=7400x2-14000x+10000，其中0x8，当x=min时，MN最小，此时乙在缆车上与甲的距离最短；(3)由(1)知：BC=500m，甲到C用时为1260÷50=(min)，若甲等乙3分钟，则乙到C用时为+3=(min)，在BC上同时为(min)，此时乙的速度最小，且为500÷=29.07(m/min)；若乙等甲3分钟，则乙到C用时为-3=(min)，在BC上用时为(min)，此时乙的速度最大，且为500÷=44.64(m/min)，则乙步行的速度控制在29.07，44.64范围内.19.(16分)设an是首项为a，公差为d的等差数列(d0)，S

17、n是其前n项和.记bn=，nN*，其中c为实数.(1)若c=0，且b1，b2，b4成等比数列，证明：Snk=n2Sk(k，nN*)；(2)若bn是等差数列，证明：c=0.解析：(1)写出等差数列的通项公式，前n项和公式，由b1，b2，b4成等比数列得到首项和公差的关系，代入前n项和公式得到Sn，在前n项和公式中取n=nk可证结论；(2)把Sn代入中整理得到bn=，由等差数列的通项公式是an=An+B的形式，说明，由此可得到c=0.答案：(1)若c=0，则an=a1+(n-1)d，.当b1，b2，b4成等比数列时，则，即：，得：d2=2ad，又d0，故d=2a.因此：，.故：(k，nN*).(2

18、)=. 若bn是等差数列，则bn的通项公式是bn=An+B型.观察式后一项，分子幂低于分母幂，故有：，即，而，故c=0.经检验，当c=0时bn是等差数列.点评：本题考查了等差数列和等比数列的性质，考查了等差数列的前n项和，考查了学生20.(16分)设函数f(x)=lnx-ax，g(x)=ex-ax，其中a为实数.(1)若f(x)在(1，+)上是单调减函数，且g(x)在(1，+)上有最小值，求a的取值范围；(2)若g(x)在(-1，+)上是单调增函数，试求f(x)的零点个数，并证明你的结论.解析：(1)求导数，利用f(x)在(1，+)上是单调减函数，转化为-a0在(1，+)上恒成立，利用g(x)在(1，+)上有最小值，结合导数知识，即可求