专题六 第1讲 直线与圆

1、第1讲直线与圆考情解读考查重点是直线间的平行和垂直的条件、与距离有关的问题直线与圆的位置关系(特别是弦长问题)，此类问题难度属于中等，一般以选择题、填空题的形式出现，有时也会出现解答题，多考查其几何图形的性质或方程知识1直线方程的五种形式(1)点斜式：yy1k(xx1)(直线过点P1(x1，y1)，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)(2)斜截式：ykxb(b为直线l在y轴上的截距，且斜率为k，不包括y轴和平行于y轴的直线)(3)两点式：(直线过点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，且x1x2，y1y2，不包括坐标轴和平行于坐标轴的直线)(4)截距式：1(a、b分别为直线的横、纵截距

2、，且a0，b0，不包括坐标轴、平行于坐标轴和过原点的直线)(5)一般式：AxByC0(其中A，B不同时为0)2直线的两种位置关系当不重合的两条直线l1和l2的斜率存在时：(1)两直线平行l1l2k1k2.(2)两直线垂直l1l2k1·k21.提醒当一条直线的斜率为0，另一条直线的斜率不存在时，两直线也垂直，此种情形易忽略3三种距离公式(1)A(x1，y1)，B(x2，y2)两点间的距离：|AB|.(2)点到直线的距离：d(其中点P(x0，y0)，直线方程：AxByC0)(3)两平行线间的距离：d(其中两平行线方程分别为l1：AxByC10，l2：AxByC20)提醒应用两平行线间距离

3、公式时，注意两平行线方程中x，y的系数应对应相等4圆的方程的两种形式(1)圆的标准方程：(xa)2(yb)2r2.(2)圆的一般方程：x2y2DxEyF0(D2E24F>0)5直线与圆、圆与圆的位置关系(1)直线与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法(2)圆与圆的位置关系：相交、相切、相离，代数判断法与几何判断法.热点一直线的方程及应用例1(1)过点(5,2)，且在y轴上的截距是在x轴上的截距的2倍的直线方程是()A2xy120B2xy120或2x5y0Cx2y10Dx2y10或2x5y0(2)“m1”是“直线xy0和直线xmy0互相垂直”的()A充分不必要条件B必要不

4、充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件思维启迪(1)不要忽略直线过原点的情况；(2)分别考虑充分性和必要性答案(1)B(2)C解析(1)当直线过原点时方程为2x5y0，不过原点时，可设出其截距式为1，再由过点(5,2)即可解出2xy120.(2)因为m1时，两直线方程分别是xy0和xy0，两直线的斜率分别是1和1，两直线垂直，所以充分性成立；当直线xy0和直线xmy0互相垂直时，有1×1(1)×m0，所以m1，所以必要性成立故选C.思维升华(1)要注意几种直线方程的局限性点斜式、两点式、斜截式要求直线不能与x轴垂直而截距式方程不能表示过原点的直线，也不能表示垂直于坐标轴的

5、直线(2)求解与两条直线平行或垂直有关的问题时，主要是利用两条直线平行或垂直的充要条件，即“斜率相等”或“互为负倒数”若出现斜率不存在的情况，可考虑用数形结合的方法去研究已知A(3,1)，B(1,2)，若ACB的平分线方程为yx1，则AC所在的直线方程为()Ay2x4Byx3Cx2y10D3xy10答案C解析由题意可知，直线AC和直线BC关于直线yx1对称设点B(1,2)关于直线yx1的对称点为B(x0，y0)，则有，即B(1,0)因为B(1,0)在直线AC上，所以直线AC的斜率为k，所以直线AC的方程为y1(x3)，即x2y10.故C正确热点二圆的方程及应用例2(1)若圆C经过(1,0)，(

6、3,0)两点，且与y轴相切，则圆C的方程为()A(x2)2(y±2)23B(x2)2(y±)23C(x2)2(y±2)24D(x2)2(y±)24(2)已知圆M的圆心在x轴上，且圆心在直线l1：x2的右侧，若圆M截直线l1所得的弦长为2，且与直线l2：2xy40相切，则圆M的方程为()A(x1)2y24B(x1)2y24Cx2(y1)24Dx2(y1)24思维启迪(1)确定圆心在直线x2上，然后待定系数法求方程；(2)根据弦长为2及圆与l2相切列方程组答案(1)D(2)B解析(1)因为圆C经过(1,0)，(3,0)两点，所以圆心在直线x2上，又圆与y轴相

7、切，所以半径r2，设圆心坐标为(2，b)，则(21)2b24，b23，b±，所以选D.(2)由已知，可设圆M的圆心坐标为(a,0)，a>2，半径为r，得解得满足条件的一组解为所以圆M的方程为(x1)2y24.故选B.思维升华圆的标准方程直接表示出了圆心和半径，而圆的一般方程则表示出了曲线与二元二次方程的关系，在求解圆的方程时，要根据所给条件选取适当的方程形式解决与圆有关的问题一般有两种方法：(1)几何法，通过研究圆的性质、直线和圆、圆与圆的位置关系，进而求得圆的基本量和方程；(2)代数法，即用待定系数法先设出圆的方程，再由条件求得各系数(1)已知圆C：x2(y3)24，过点A(

8、1,0)的直线l与圆C相交于P、Q两点，若|PQ|2，则直线l的方程为()Ax1或4x3y40Bx1或4x3y40Cx1或4x3y40Dx1或4x3y40(2)已知圆C的圆心与抛物线y24x的焦点关于直线yx对称，直线4x3y20与圆C相交于A，B两点，且|AB|6，则圆C的方程为_答案(1)B(2)x2(y1)210解析(1)当直线l与x轴垂直时，易知x1符合题意；当直线l与x轴不垂直时，设直线l的方程为yk(x1)，线段PQ的中点为M，由于|PQ|2，易得|CM|1.又|CM|1，解得k，此时直线l的方程为y(x1)故所求直线l的方程为x1或4x3y40.故选B.(2)设所求圆的半径是r，

9、依题意得，抛物线y24x的焦点坐标是(1,0)，则圆C的圆心坐标是(0,1)，圆心到直线4x3y20的距离d1，则r2d2()210，故圆C的方程是x2(y1)210.热点三直线与圆、圆与圆的位置关系例3如图，在平面直角坐标系xOy中，点A(0,3)，直线l：y2x4.设圆C的半径为1，圆心在l上(1)若圆心C也在直线yx1上，过点A作圆C的切线，求切线的方程；(2)若圆C上存在点M，使|MA|2|MO|，求圆心C的横坐标a的取值范围思维启迪(1)先求出圆C的圆心坐标，再利用几何法求出切线斜率；(2)将|MA|2|MO|化为M点坐标满足的条件后，可知点M是两圆的交点解(1)由题设，圆心C是直线

10、y2x4和直线yx1的交点，解得点C(3,2)，于是切线的斜率必存在设过A(0,3)的圆C的切线方程为ykx3，由题意，1，解得k0或，故所求切线方程为y3或3x4y120.(2)因为圆心在直线y2x4上，所以圆C的方程为(xa)2y2(a2)21.设点M(x，y)，因为|MA|2|MO|，所以2 ，化简得x2y22y30，即x2(y1)24，所以圆心M在以D(0，1)为圆心，2为半径的圆上由题意，点M(x，y)在圆C上，所以圆C与圆D有公共点，则21|CD|21，即13.由5a212a80，得aR；由5a212a0，得0a.所以圆心C的横坐标a的取值范围为.思维升华(1)讨论直线与圆及圆与圆

11、的位置关系时，要注意数形结合，充分利用圆的几何性质寻找解题途径，减少运算量研究直线与圆的位置关系主要通过圆心到直线的距离和半径的比较实现，两个圆的位置关系的判断依据是两圆心距离与两半径差与和的比较(2)直线与圆相切时利用“切线与过切点的半径垂直，圆心到切线的距离等于半径”建立切线斜率的等式，所以求切线方程时主要选择点斜式过圆外一点求解切线段长可转化为圆心到圆外点距离，利用勾股定理处理(1)(2014·重庆)已知直线axy20与圆心为C的圆(x1)2(ya)24相交于A，B两点，且ABC为等边三角形，则实数a_.(2)两个圆C1：x2y22axa240(aR)与C2：x2y22by1b

12、20(bR)恰有三条公切线，则ab的最小值为()A6 B3 C3 D3答案(1)4±(2)C解析圆心C(1，a)到直线axy20的距离为.因为ABC为等边三角形，所以|AB|BC|2，所以()21222，解得a4±.(2)两个圆恰有三条公切线，则两圆外切，两圆的标准方程为圆C1：(xa)2y24，圆C2：x2(yb)21，所以|C1C2|213，即a2b29.由()2，得(ab)218，所以3ab3，当且仅当“ab”时取“”所以选C.1由于直线方程有多种形式，各种形式适用的条件、范围不同，在具体求直线方程时，由所给的条件和采用的直线方程形式所限，可能会产生遗漏的情况，尤其在

13、选择点斜式、斜截式时要注意斜率不存在的情况2确定圆的方程时，常用到圆的几个性质：(1)直线与圆相交时应用垂径定理构成直角三角形(半弦长，弦心距，圆半径)；(2)圆心在过切点且与切线垂直的直线上；(3)圆心在任一弦的中垂线上；(4)两圆内切或外切时，切点与两圆圆心三点共线；(5)圆的对称性：圆关于圆心成中心对称，关于任意一条过圆心的直线成轴对称3直线与圆中常见的最值问题圆上的点与圆外点的距离的最值问题，可以转化为圆心到点的距离问题；圆上的点与直线上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到直线的距离问题；圆上的点与另一圆上点的距离的最值问题，可以转化为圆心到圆心的距离问题4过两圆C1：x2y2D1xE

14、1yF10，C2：x2y2D2xE2yF20的交点的圆系方程为x2y2D1xE1yF1(x2y2D2xE2yF2)0.5两圆相交，将两圆方程联立消去二次项，得到一个二元一次方程，即为两圆公共弦所在的直线方程.真题感悟1(2014·江苏)在平面直角坐标系xOy中，直线x2y30被圆(x2)2(y1)24截得的弦长为_答案解析圆心为(2，1)，半径r2.圆心到直线的距离d，所以弦长为22.2(2014·课标全国)设点M(x0,1)，若在圆O：x2y21上存在点N，使得OMN45°，则x0的取值范围是_答案1,1解析如图，过点M作O的切线，切点为N，连接ON.M点的纵坐

15、标为1，MN与O相切于点N.设OMN，则45°，即sin ，即.而ON1，OM.M为(x0,1)，x1，1x01，x0的取值范围为1,1押题精练1在直角坐标系xOy中，已知A(1,0)，B(0,1)，则满足|PA|2|PB|24且在圆x2y24上的点P的个数为_答案2解析设P(x，y)，则由|PA|2|PB|24，得(x1)2y2x2(y1)24，xy2，满足条件的点P的个数转化为直线xy2和圆x2y24的交点个数，<2，直线与圆相交，点P有2个2如果圆C：x2y22ax2ay2a240与圆O：x2y24总相交，则实数a的取值范围是_答案2<a<0或0<a&l

16、t;2解析将圆C：x2y22ax2ay2a240变形为(xa)2(ya)24，可知圆心为C(a，a)，半径为r2.圆O：x2y24的圆心为O(0,0)，半径为R2.当两圆总相交时|Rr|<|OC|<rR，即0<<4，解得2<a<0或0<a<2.3若圆x2y2r2(r>0)上有且只有两个点到直线xy20的距离为1，则实数r的取值范围是_答案(1，1)解析注意到与直线xy20平行且距离为1的直线方程分别是xy20和xy20，要使圆上有且只有两个点到直线xy20的距离为1，需满足在两条直线xy20和xy20中，一条与该圆相交且另一条与该圆相离，所

17、以<r<，即1<r<1.(推荐时间：60分钟)一、选择题1直线l1：kx(1k)y30和l2：(k1)x(2k3)y20互相垂直，则k等于()A3或1 B3或1C3或1 D3或1答案C解析若k1，直线l1：x3，l2：y满足两直线垂直若k1，直线l1，l2的斜率分别为k1，k2，由k1·k21得k3，综上k1或k3.2若P(2，1)为圆(x1)2y225的弦AB的中点，则直线AB的方程是()Axy30B2xy30Cxy10D2xy50答案A解析圆的圆心为C(1,0)由圆的性质知，直线PC垂直于弦AB所在的直线，则kAB，即kAB1.又点P(2，1)是弦AB的中

18、点，由直线的点斜式方程得直线AB的方程为y(1)x2，即xy30.故选A.3若圆O：x2y24与圆C：x2y24x4y40关于直线l对称，则直线l的方程是()Axy0Bxy0Cxy20Dxy20答案C解析圆x2y24x4y40，即(x2)2(y2)24，圆心C的坐标为(2,2)直线l过OC的中点(1,1)，且垂直于直线OC，易知kOC1，故直线l的斜率为1，直线l的方程为y1x1，即xy20.故选C.4若直线ykx2k与圆x2y2mx40至少有一个交点，则m的取值范围是()A0，) B4，)C(4，) D2,4答案C解析由yk(x2)得直线恒过定点(2,0)，因此可得点(2,0)必在圆内或圆上

19、，故有(2)2022m40m4.又由方程表示圆的条件，故有m24×4>0m<4或m>4.综上可知m>4.故选C.5动圆C经过点F(1,0)，并且与直线x1相切，若动圆C与直线yx21总有公共点，则圆C的面积()A有最大值8B有最小值2C有最小值3D有最小值4答案D解析设圆心为(a，b)，半径为r，r|CF|a1|，即(a1)2b2(a1)2，即ab2，圆心为(b2，b)，rb21，圆心到直线yx21的距离为d1，b2(23)或b2，当b2时，rmin×412，Sminr24.6设P为直线3x4y30上的动点，过点P作圆C：x2y22x2y10的两条切

20、线，切点分别为A，B，则四边形PACB的面积的最小值为()A1 B. C2 D.答案D解析依题意，圆C：(x1)2(y1)21的圆心是点C(1,1)，半径是1，易知|PC|的最小值等于圆心C(1,1)到直线3x4y30的距离，即2，而四边形PACB的面积等于2SPAC2×(|PA|·|AC|)|PA|·|AC|PA|，因此四边形PACB的面积的最小值是，故选D.二、填空题7已知直线l1与圆x2y22y0相切，且与直线l2：3x4y60平行，则直线l1的方程是_答案3x4y10或3x4y90解析依题意，设所求直线l1的方程是3x4yb0，则由直线l1与圆x2(y1)

21、21相切，可得圆心(0，1)到直线3x4yb0的距离为1，即有1，解得b1或b9.因此，直线l1的方程是3x4y10或3x4y90.8(2014·湖北)直线l1：yxa和l2：yxb将单位圆C：x2y21分成长度相等的四段弧，则a2b2_.答案2解析依题意，不妨设直线yxa与单位圆相交于A，B两点，则AOB90°.如图，此时a1，b1，满足题意，所以a2b22.9(2013·湖北)已知圆O：x2y25，直线l：xcos ysin 1(0<<)设圆O上到直线l的距离等于1的点的个数为k，则k_.答案4解析圆心O到直线l的距离d1，而圆O半径为，所以圆O上

22、到l的距离等于1的点有4个10已知A(2,0)，B(0,2)，实数k是常数，M，N是圆x2y2kx0上两个不同点，P是圆x2y2kx0上的动点，如果M，N关于直线xy10对称，则PAB面积的最大值是_答案3解析依题意得圆x2y2kx0的圆心(，0)位于直线xy10上，于是有10，即k2，因此圆心坐标是(1,0)，半径是1.由题意可得|AB|2，直线AB的方程是1，即xy20，圆心(1,0)到直线AB的距离等于，点P到直线AB的距离的最大值是1，PAB面积的最大值为×2×3.三、解答题11(1)求圆心在x轴上，且与直线yx相切于点(1,1)的圆的方程；(2)已知圆C过点P(1

23、,1)，且与圆M：(x2)2(y2)2r2(r>0)关于直线xy20对称，求圆C的方程解(1)根据题意可设圆心(a,0)，则1a2，即圆心为(2,0)，半径r，则所求圆的方程为(x2)2y22.(2)设圆心为C(a，b)，则所以又P(1,1)在圆上，所以圆C的方程为x2y22.12已知圆M的方程为x2y22x2y60，以坐标原点O为圆心的圆O与圆M相切(1)求圆O的方程；(2)圆O与x轴交于E，F两点，圆O内的动点D使得|DE|，|DO|，|DF|成等比数列，求·的取值范围解(1)圆M的方程可整理为(x1)2(y1)28，故圆心M(1,1)，半径R2.圆O的圆心为O(0,0)，因为|MO|<2，所以点O在圆M内，故圆O只能内切于圆M.设圆O的半径为r，因为圆O内切于圆M，所以|MO|Rr，即2r，解得r.所以圆O的方程为x2y22.(2)不妨设E(m,0)，F(n,0)，且m<n.由解得或故E(，0)