分式的运算技巧

1、v1.0可编辑可修改分式概念A形如 B A、B是整式,B中含有字母的式子叫做分式.其中A叫做分式的分子,B叫做分式的分母.且当分式的分子的次数低于分母的次数时,我们把这个分式叫做真分式； 当分式的分子的次数高于分母的次数时,我们把这个分式叫做假分式.A注意：判断一个式子是否是分式,不要看式子是否是百的形式,关键要满足：分式的分母中必须含有字母,分子分母均为整式.无需考虑该分式是否有意义,即分母是否为零.由于字母可以表示不同的数,所以分式比分数更具有一般性.方法：数看结果,式看形.分式条件：1 .分式有意义条件：分母不为 0.2 .分式值为0条件：分子为0且分母不为0.3 .分式值为正负数条件：

2、分子分母同号得正,异号得负.4 .分式值为1的条件：分子=分母工0.5 .分式值为-1的条件：分子分母互为相反数,且都不为0.代数式分类整式和分式统称为有理式.带有根号且根号下含有字母的式子叫做无理式.无理式和有理式统称代数式.分式的根本性质v1.0可编辑可修改分式的分子和分母同时乘以(或除以)同一个不为0的整式,分式的值不变.用式子表示为：A _AC _且2cB BxC BC (a,b,c 为整式,且 b、c0)运算法那么约分根据分式根本性质,可以把一个分式的分子和分母的公因式约去,这种变形称为分式的约分.约分的关键是确定分式中分子与分母的公因式.约分步骤：1 .如果分式的分子和分母都是单项

3、式或者是几个因式乘积的形式,将它们的公因式约去.2 .分式的分子和分母都是多项式,将分子和分母分别分解因式,再将公因式约去.公因式的提取方法： 系数取分子和分母系数的最大公约数,字母取分子和分母共有的字母,指数取公共字母的最小指数,即为它们的公因式.最简分式：一个分式不能约分时, 这个分式称为最简分式.约分时,一般将一个分式化为最简分式.通分：异分母的分式可以化成同分母的分式,这一过程叫做通分.分式的乘法法那么:(1)两个分式相乘,把分子相乘的积作为积的分子,把分母相乘的积作为积的分母.(2)两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.v1.0可编辑可修改X 用字母表示为： :

4、分式的加减法法那么:同分母分式的加减法法那么：I同分母的分式相加减,分母不变,把分子相加减.用字母表示为：a c ad be ad±bc一 + 4 异分母分式的加减法法那么：异分母的分式相加减,先通分,化为同分母的分式,然后再按同分母分式的加减法法那么 进行计算.分式的除法法那么：两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.c a d adI2j- p-内除以一个分式,等于乘以这个分式的倒数：高 飞 乘方分子乘方做分子,分母乘方做分母,可以约分的约分,最后化成最简:v1.0可编辑可修改分式方程的意义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程.分式方程的解法：(1)去分母(方程

5、两边同时乘以最简公分母,将分式方程化为整式方程)(2)按解整式方程的步骤求出未知数的值(3)验根(求出未知数的值后必须验根,由于在把分式方程化为整式方程的过程中,扩大了未知数的取值范围,可能产生增根).分式方程解法的归纳：解分式方程的根本思路是将分式方程化为整式方程,具体做法是“去分母,即方程两边同乘最简公分母,这也是解分式方程的一般思路和做法.【根底精讲】一、分式的概念1、正确理解分式的概念：【例 1】有理式(1) 1 ；(2) -;(3) 2xyL- ;(4)3x-y ; (5)- ; (6)-x2x l3x1v1.0可编辑可修改中,属于整式的有： ;属于分式的有： 2、判断分式有无意义关

6、键是看分母是否为零 . , x 2(1)例如,当x为 时,分式 有意义.x 2 x 3错解：x 3时原分式有意义.(2)不要随意用“或与“且.例如 当x 时,分式 6 f 不有意义错解：由分母口,得其或工"3、注意分式的值为零必受分母不为零的限制.当x_时,分式 上有意义.当x_时,分式 工无意义.当x_时,分式-一1值为0. -x1-x1x1二、分式的根本性质：1、分式的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的整式,分式的值不变(1)分式的根本性质是分式恒等变形的依据,它是分式的约分、通分、化简和解分式方程基 础,因此,我们要正确理解分式的根本性质,并能熟练的运用它.理解分式的根

7、本性质 时,必须注意：分式的根本性质中的 A、R M表示的都是整式.在分式的根本性质中,M能0.分子、分母必须“同时乘以 MW 0),不要只乘分子(或分母).性质中“分式的值不变这句话的实质,是当字母取同一值(零除外)时,变形前后分式 的值是相等的.但是变形前后分式中字母的取值范围是变化的.(2)注意：v1.0可编辑可修改根据分式的根本性质有：分式的分子、分母与分式本身的符号,改变其中任何两个, 分式的值不变.分式的根本性质是一切分式运算的根底,分子与分母只能同乘以或除以同一个不等于零的整式,而不能同时加上或减去同一个整式【例3】以下变形正确的选项是A, ca b;Bc【例4】如果把分式5x2

8、x y中的x, y都扩大3倍,那么分式的值一定A.扩大3倍B.扩大9倍C.扩大6倍D.不变2、约分约分是约去分式的分子与分母的最大公约式,约分过程实际是作除法目的在于把分式化为最简分式或整式,根据是分式的根本性质【例25】1化简当 a2巳的结果为A.(2)化简xy 2y4x的结果4A. xx 2B.C.(3)化简6x2x 69的结果是B.3、通分通分的依据是分式的根本性质,确定:x2 92C.x2 92D.通分的关键是确定最简公分母.最简公分母由下面的方法1最简公分母的系数,取各分母系数的最小公倍数;2最简公分母的字母,取各分母所有字母的最高次哥的积三、分式的运算1、分式运算时注意:v1.0可

9、编辑可修改(1)注意运算顺序.例如,计算计算的法那么进行.错解：原式(3 a) 二.,应根据同一级运算从左到存依次3 a11丁 (1 a)(1ar(2)通分时不能丢掉分母.例如,计算x 1 ,出现了这样的解题错误：原式,不要同解方程的去分母相混淆;=x x 11 .分式通分是等值变形,不能去分母(3)无视“分数线具有括号的作用：分式相减时,假设分子是多项式,其括号不能省略.(4)最后的运算结果应化为最简分式.2、分式的乘除注意分式的乘除法应用关键是理解其法那么.(1)先把除法变为乘法；(2)接着对每个相乘的分式的分子、分母进行因式分解,当然有乘方运算要先算乘方,然后同其它分式进行约分；(3)再

10、把每个分式的分子与分子相乘、分母与分母相乘；(4)最后还应检查相乘后的分式是否为最简分式.3、加减的加减1)同分母分式加减法那么：分母不变,分子相加减.2)异分母分式加减法那么：运算步骤：先确定最简公分母；对每项通分,化为分母相同；按同分母分式运算法那么进行；注意结果可否化简,化为最简.4、分式的混合运算注意分式的混合运算的顺序： 先进行乘方运算,其次进行乘、除运算,再进行加、减运算, 遇有括号,先算括号内的.如果分式的分子或分母中含有多项式,并且 能分解因式,可先 分解因式,能约分的先约分,再进行运算 .v1.0可编辑可修改【例6】计算:(1)2(2) -xx 2;x 2(3) 1 2 -_

11、1x 4(4) 1 1 3,那么代数式 2x 14xy 2y 的值x x 2 x 2xx yx 2xy y分式运算中的技巧与方法在分式运算中,假设能认真观察题目结构特征,灵活运用解题技巧,选择恰当的运算方法,常常收到事半功倍的效果.现就分式运算中的技巧与方法举例说明.整体通分法2例1.化简：-a-1a 1分析 将后两项看作一个整体,那么可以整体通分,简捷求解.22解： -a-1= (a+1)=a 1 a 1222a (a 1)(a 1)_a (a 1) _ 1a 1 a 1a 1 a 1逐项通分法,“1例2 .计算2b 72a b4b3a4 b4分析：注意到各分母的特征,联想乘法公式,适合采用

12、逐项通分法解:2b22a b4b34,4a b一.3(a b) (a b) 2b4b3 2, 22, 24, 4a b a b a bv1.0可编辑可修改32b 2b 4b72-272-4-4ababab222232b(a b ) 2b(a b ) 4b4, 44, 4a ba b4 b34b344=0a b a b先约分,后通分22a 6 a a 4例3.计算：a2+aa 2a a 4a 4分析：分子、分母先分解因式,约分后再通分求值计算解:242,一a 6a a 4 a(a 6) (a 2)( a 2) a 6 a+= + =+ 222a2 2a a2 4a 4 a(a 2) (a 2)2

13、 a 2 a2 2a 4 c-=22 a 2四、整体代入法1 12x 5xy 2y “例 4. 一+ =5 求的值x yx 2xy y解 法 122x 5xy 2y _ yx 2xy y 1 y2112(-)5x ._ xy111八-2xxy522 5 5 = 55 27解法 2:由 工+工=5彳导, y =5, x+y=5xyx yxy=5xy w 0,. 所 以2x 5xy 2 y _ 2(x y) 5xy _ 2 5xy 5xy _ 5xy _ 5x 2xy y (x y) 2xy 5xy 2xy 7xy 7v1.0可编辑可修改五、运用公式变形法2一 .41例5.a -5a+1=0 ,计

14、算a + a解：由条件可得 a*0, a+ =5a.4,1. 2. 1 . 2 , a + =(a + ) -2 = (a +a a1) 2-2 2-2=(5 2-2) 2-2=527 a六、设辅助参数法b c a c a b 、上好例6.=,计算:a b c(a b)(b c)(c a)abc加、几 b c a c a b , 解： 设 = = =k,贝U b+c=ak；abca+c=bk； a+b=ck；把这3个等式相加得 2(a+b+c)= (a+b+c)k假设 a+b+c=0, a+b= -c,贝U k= -1假设 a+b+cw0,贝U k=2(a b)(b c)(c a) ak bk

15、 ck 3=kabcabc当k=-1时,原式=-1当k=2时,原式=8七、应用倒数变换法a. a2.例7. =7,求 2一 的值a a 1 a a 1解：由条件知aw0,-一上=,即a+1=8a 7 a 742.a a 122-=a +a1 一 1、2115+1=(a+ -) -1 =a a 4910v1.0可编辑可修改a2_492=a a 1 15八、取常数值法例 8.：xyz w 0,x+y+z=0, 计算 >yz +z +- x y z解：根据条件可设 x=1,y=1,z=-2.那么 Jz+Jz + JynT.当然此题也可以设为其他适宜的常数.x y z九、把未知数当成数法一 一a

16、2 b2 c2例 9. 3a-4b-c=0,2a+b-8c=0,计算：ab bc ac解：把c当作数,用 c表示a,b得,a=3c, b=2c2,222a b c 14c14 2ab bc ac 11c11十、巧用因式分解法222例10.a+b+c=0,计算 一a+2b+2c2a bc 2b ac 2c ab解：. a+b+c=0,a=-b-c,b=-a-c,c=-a-b2a2+bc=a2+a2+bc=a2+a(-b-c)+bc=(a-b)(a-c)同理可得 2b2+ac=(b-c)(b-a),2c2+ab=(c-a)(c-b)2. 22a , b , c21 _2_ 22a bc 2b ac

17、 2c ab2. 22a 1ble(a-b)(a-c) (b-c)(b-a) (c-a)(c-b)11v1.0可编辑可修改a2b2+c2_ a2(b c) b2(a c) c2(a b)(a-b)(a-c) (a-b)(b-c) (c-a)(c-b) (a b)(a c)(b c)a2(b c) b2a b2c c2a c2b _ a2(b c) a(b c)(b c) bc(b c)(a b)(a c)(b c)(a b)(a c)(b c)2(b c)(a ab ac bc)_(a b)(a c)(b c) _1(a b)(a c)(b c)(a b)(a c)(b c)分式运算的几种技巧

18、二x 1 x2 2x1、先约分后通分技巧例1计算x2 3x 2 + x2 4分析：不难发现,两个分式均能约分,故先约分后再计算x 1x(x 2)解：原式 _ (x 1)(x 2) + (x 2)(x 2)1 x x 1_ x2 + x2=x22 2x2 3x 3 x2 5x 712、别离整数技巧例2计算x2 3x 2 - x2 5x 6 - x2 4x 3分析：两个分式的分子、分母不能约分,如把分子突出分母,别离整数方法可使计算化简. 22(x 3x 2) 1 (x 5x 6) 11解：原式 二 x2 3x 2-x2 5x 6- x2 4x 3111=1+ x2 3x 2 -1- x2 5x

19、6 - x2 4x 3111_ (x 1)(x 2) - (x 2)(x 3) - (x 1)(x 3)12v1.0可编辑可修改x 3 (x 1) (x 2)=(x 1)(x 2)(x 3) = (x 1)(x 2)(x 3) =- (x 1)(x 2)(x 3)1233、裂项相消技巧例3计算x(x 1) + (x 1)(x 3) + (x 3)(x 6)111 分析：此类题可利用n(n m) = m ( n - m)裂项相消计算.1231解：原式=(x-x1)+2 (x1-x3)+3(x3-x6)116=x - x 6 = x(x 6)12214、分组计算技巧例4计算a 2 + a 1 -

20、a 1 - a 2分析：通过观察发现原式中第一、四项分母乘积为a2-4,第二项、第三项分母乘积为a2-1 ,采取分组计算简捷.1122解：原式=(a 2 - a 2)+(a 1-a1)4412=a2 4 + a2 1 = (a2 4)(a2 1)15、变形技巧例5 x2-3x+1=0 ,求x2+ y2的值.x工分析：将两边同除以x (xW0)可变出x+ x ,然后利用完全平方公式的逆用可求出1x2+ /的值.x解：由x2-3x+1=0 ,两边同除以x (xw0),得11x-3+ x =0,即 x+ x =313v1.0可编辑可修改11所以 x2+ x2 = (x+ x ) 2-2=3 2-2=

21、7二、分式求值中的整体思想例1假设分式一22y223y的值为1_4y2 6y-的值为1A、1 B 、-1解：由2y23y 7 412=_ 得 2y +3y+7=82y2+3y=1 ,4y2+6y=2 所以214y6y 1 2 1=1,应选A例2 1 +1=4,那么a b4a 3ab 4b3a 2ab 3b分析：由可得到a+b与ab的关系式,所求式通过分解因式可得到用a+b与ab的表达式,然后将 a+b用ab代换即可求出所求式的值.a b解：由得 =4- a+b=4abab4a 3ab 4b _ 4(a b) 3ab _ 4?4ab 3ab _ 193a2ab 3b 3(a b) 2ab 3?4

22、ab 2ab 10点评:此题还可以将所求式分子、分母同除以ab得到4cJ1、 c34() 3a ab32"1b aa然后将式代入求值,这种方法也是常用的一种方法.例3 a2-3a+1=0 ,求2-a一的值.a 114v1.0可编辑可修改解：由a2-3a+1=0知aw0,将等式两边同除以a得a-3+ =0, a+ =3所以 az-=a2+= (a+1) 2-2=32-2=7a=a a aa 1 7点评：所求式的倒数与式有联系时,先求所求式的倒数,再得所求式. 11a2土 = a土 一2干2这一变换在以后经常用到同学们务必掌握.aa例4 1 + 1 =1 ,- a b 6 b1 11+-

23、=-,c 9a1,求15abc的值.分析：将所求式分子、分母同除以ab ac bcabc可得到一1,只要将式变换出11+ 1+1即可.abc解：由于1+1二1, a b 6二9,a c 151 -=,将、左、右分别相加,得2(1+1+1)abc= 1+1+29 151 1 131+ -=c 180所以abcab acbc 1二 180131例5有一道题:“先化简再求值:4x-)x 1-,其中x= J2022 ,小明做 1题时把“ x=2022错抄成了x二,2022 ,但他的计算结果也是正确,请你通过计算解释这是怎么回事解析：首先对原分式进行化简,再根据化简结果说理.152x 1-2"

24、 )-2"x 1 x 1由于当x72022和2_(x 1) 2x 2(x(x 1)(x 1)x <2022 时,1) (x 1)2 2x x2 1.1的值都是2022,所以小明把v1.0可编辑可修改“x二 必08错抄成了 “ x= J2022,计算结果也是正确的1例6 x2-3x+1=0 ,求x2+ y 的值.x1分析：将两边同除以x (xW0)可变出x+ x(,然后利用完全平方公式的逆用可求出1x2+ 72的值.x解：由x2-3x+1=0 ,两边同除以x (xw0),得11_L 1x-3+ x =0,即 x+ x =3 所以 x2+ 2 =x+ x2-2=32-2=7 x三、

25、分式运算新型题例2请利用上一和这三个分式组成一个算式,来表示其中两个分m3 m3 m 9式的商减去第三个分式的差,并化简.解析：此题为开放性问题,答案不唯一.按题目的要求可得到 10多个不同的算式,选取其中一个进行化简即可,但一般应选择一个计算较简便的算式,以减少运算量,提升正确率.局 3 m 13 m 31如,+=m 9 m 3 m 3 (m 3)(m 3) m m 3_31_ 3 m 1 生生,、了,口:.m(m 3) m 3 m(m 3) m温馨提示：这类开放型问题有利于思维水平和创新意识的培养,已成为各类测试的热点,但所考查的知识却是我们所熟悉的 .a 21例3先化简代数式 -a+ -

26、1一,然后选取一个适宜 的a值,代入求值.a 2 a 2 a2 4解析：此题用“适宜二字设置了一个“陷阱,解题时必须明确“适宜在题中的含16v1.0可编辑可修改义,即选取的a的值不但要使原式有意义,而且还要尽量使运算简便.原式=迫一2)一空一2) (a2 4) (a 2)(a 2)=a(a 2) 2(a 2) a2 4.由题意知,a的值不能取2和-2,所以当a =0时,原式=4.温馨提示：此题既检测了同学们分析问题的水平 ,又考查了识别隐含信息的水平 ,题目 的形式也表达了鼓励解题者的主动参与意识.这类题目也是近年出现的热点题型 ,为我们提供了较为广阔的思考空间,但所选字母的值应彳证原式有意义

27、 ,以防掉入解题“陷阱.一、开放性问题例1在以下三个不为零的式子x2 4, x2 2x, x2 4x 4中,任选两个你喜欢的式子组成一个分式是,把这个分式化简所得的结果是 .分析：此例是答案不唯一的开放题,分式由学生自主构造,题型新奇活泼,呈现出人 性化与趣味化.解：此题存在6种不同的结果,任选其一即可(D(3)(5)x2 4 x 21,一；x2 2x xx2 2x xx2 4x 4 x 22x4x 4 x 2x2 4,x 2(6)(2)(4)x2 4 x 2 . ,x2 4x 4 x 22x 2x xx2 4 ,x 22x 4x 4 x 2x2 2x , x说明：其实解决此题的关键就是分式的

28、约分,但它又不完全等同于分式的约分,它需 要我们先构造出分式后再约分,让我们在分析探索后解决问题,而不是直接把问题摆在我 们面前.二、探索运算程序例2任意给定一个非零数,按以下程序计算,最后输出的结果是()17m 寸平方I -*lmv1.0可编辑可修改A . mB. m 2 C . m+1 D . m -1分析：此题设计新奇,意在创新,明确计算程序是正确解答此题的前提2解：计算程序可表示为：m一m 2 ,化简：原式=m m 12=m-1+2=m+1,应选mmC.说明：这是一道比拟容易的题,但要注意其运算的顺序,否那么就会出现错误的答案.三、自选数值求解x 1例3化简1 并选择你最喜欢的数代入求

29、值.x 1 x x分析：这是近年来出现的一种新题型,具有一定的灵活性.此题从难度上来说并不大, 但是要注意混合运算的运算顺序,运算结果要化成最简形式.在选取x的数值时,一定要保证原式有意义,而且尽量使运算简便为好.x Ei x 1 x 11 x(x 1)r解：原式 - x ,当x=2时,原式 =-2.x 1 x(x 1) x 11说明：这里的x不能取0与1,否那么分母的值为 0,原式就没有意义了 .四、运算说理题例4在解题目：“当x 1949时,求代数式 -24x 4 x2 2x - 1的值时,x 4 x 2 x聪聪认为x只要任取一个使原式有意义的值代入都有相同结果.你认为他说的有理吗请说明理

30、由.分析：此题是说理型试题,有很强的创新性,但将其转化为代数式的化简与求值,解 决问题就很方便,同时要注意说的“理由要充分合理解：聪聪说的有理.222>*x2 4x 4 x2 2x 1 (x 2)2x 211 1.,2 - 1 - 1 - - 1 1* x 4 x 2 x (x 2)(x 2) x(x 2) x x x18v1.0可编辑可修改只要使原式有意义,无论x取何值,原式的值都相同,为常数 1.说明：解决此类问题,首先要化简所给的代数式,然后再根据化简的结果去解释题目所问的问题.先观察以下等式,然后用你发现的规律解答以下问题.,一 1计算1 2一、1(2)探究1 21n(n 1).

31、用含有n的式子表示(3)假设(2n 1)(2 n 1)-17的值为17 ,求n的值.35解：1(2)(3)(2nJ1)(2n 1)112(13)2()2(7)+1 / 1+ 口2 2n 1,1M-2(1, n由17解得n 172n 1 3519经检验n 17是方程的根,n17v1.0可编辑可修改112a- - +【精练】计算：X-1工十1 ? -Hl Z* 4-1【分析】此题中有四个分式相加减,如果采用直接通分化成同分母的分式相加减,公分母比拟复杂,其运算难度较大.不过我们注意到假设把前两个分式相加,其结果却是非常简单的.因此我们可以采用逐项相加的方法.1 _ 1 _ 2 + 4 2 _ 2

32、+ 4【解】.二 1 I ./一 = .： L ,1/1 ,一44=一 + .1.顺次相加法+ F + -i 例1：计算：工一 1父+ 1工十1工十1【分析】此题的解法与例 1完全一样.【解】.1 二 1 I ：/ 1 =- 11 . ' 14x口1-& 一12.整体通分法【例2】计算：白-1【分析】此题是一个分式与整式的加减运算.如能把-a-1 看作一个整体,并提取“后在通分会使运算更加简便.通常我们把整式看作分母是1的分式.20v1.0可编辑可修改【解】-d! - 1 - 0 + 1)一.1= .<1 (a -+1)( 一 1) M -,一=.<. 1a-3.化

33、简后通分a4 + a3b - a2ba - ab3 a5b + abf+2aV /十 a3b + abaa3 - 3a2b + %b?a:b -b* 箕分析：直接通分,极其繁琐,不过,各个分式并非最简分式,有化简的余地,显然, 化简后再通分计算会方便许多.B：原式a (a +b)ab(a + b)3b(a - b)(a2 + ab + b2)a (a2 + ab 十 b*')(a -b)2a. - b a丁F 7.4 .巧用拆项法例 4 计算：砒金+D g+5g+2)g + 2% +为g+9)g+io)分析：此题的io个分式相加,无法通分,而式子的特点是：每个分式的分母都是两个连续整数

34、的积(假设a是整数),联想到 厚心+1) a疗+1 ,这样可抵消一些项.1 1 1 = (1 1 >4*1+ 9 j+1021v1.0可编辑可修改n + 10-淳 10=二一二 广5 .分组运算法1111:+ - 例 5:计算： 二二一 二I 二.二- 4.-分析：此题项数较多,分母不相同.因此,在进行加减时,可考虑分组 .分组的原那么是使各组运算后的结果能出现分子为常数、相同或倍数关系,这样才能使运算简便解：.：. /. 1 二I 2 上 一.1 二=1婷/+3工 + 2d + 2x + l /+4工+31111z + 2- x 尤 + 3一工-1= .：,.一22式工+1-?工十1.

35、+2_| + |_氏十1尸一工十1一十可+：= > 、-：1r 7 .,彳22/ + 6工 + »二期犬+11口 + 2工+力【错题警示】、错用分式的根本性质22v1.0可编辑可修改1丁 71一工+中 例1化简2flr+v) 2 = -错解：原式 .分析：分式的根本性质是“分式的分子与分母都乘以或除以同一个不等于零的整式,分式的值不变,而此题分子乘以3,分母乘以2,违反了分式的根本性质卜一少6=J -6 =-正解：原式 -："二、错在颠倒运算顺序错解:= 0 -4)=1原式 1以分析:乘除是同一级运算,除在前应先做除,上述错解颠倒了运算顺序,致使结果出现错误.正解:原

36、式 1-03-厘3-a (3-u?三、错在约分23例2计算1.v1.0可编辑可修改Jl-1例1 当K为何值时,分式 ?-以+2有意义_ JC-1 _1错解原式x-2 .由k-2三.得x羊2.犬T,五工2时,分式工,-3了十2有意义.解析上述解法错在约分这一步,由于约去了分子、分母的公因式工-D ,扩大了未知数的取值范围,而导致错误 .正解由炉-笈+ 2Ho得工工1且走工2.-1领先注1且五区2 ,分式铲一亚十2有意义.四、错在以偏概全1例2 K为何值时,分式工+1有意义错解当x + 1羊口 ,得工学T .当工工-1,原分式有意义.-X1-_L解析上述解法中只考虑 K十1的分母,没有注意整个分母

37、五十1 ,犯了以偏概全的错误.正解工+1,0,得,24v1.0可编辑可修改由 工十1 ,得五二0.当无H 0且走H 1时,原分式有意义.五、错在计算去分母,/- 1 -例3 计算 4+1.错解原式=9-1)3+D-4=一厂.l/!.解析上述解法把分式通分与解方程混淆了,分式计算是等值代换,不能去分母,._ .1)(口+1)_ M正解原式十1;3 +1_ / 士T 1a -h1.六、错在只考虑分子没有顾及分母x 2例4 当或为何值时,分式 /+X-6的值为零.错解由岗-2=.,得工=±2.当支=2或五二2时,原分式的值为零.解析当天=2时,分式的分母工十工6=0,分式无意义,谈不上有值

38、存在,出错的 原因是无视了分母不能为零的条件 .正解由由同一U ,得五二%.25v1.0可编辑可修改由：?十万一6w0,得汗h3且五42.当工=-2时,原分式的值为零.二、经典例题透析类型一：分式及其根本性质1.当x为任意实数时,以下分式一定有意义的是B.A.C.26v1.0可编辑可修改D.272.假设分式的值等于零,那么x =v1.0可编辑可修改3.求分式的最简公分母.的值是零,【变式1】1分式那么x的值是A. - 1B. 0C. 1D. ± 128v1.0可编辑可修改(2)当x 时,分式没有意义.【变式2】以下各式从左到右的变形正确的选项是()29v1.0可编辑可修改B.30v1

39、.0可编辑可修改D.类型二：分式的运算技巧一通分约分4.化简分式31v1.0可编辑可修改【变式1】顺次相加法计算:【变式2】整体通分法计算:二裂项或拆项或分组运算5.巧用裂项法32v1.0可编辑可修改33计算：【变式1】分组通分法计算:v1.0可编辑可修改【变式2】巧用拆项法计算:类型三：条件分式求值的常用技巧34v1.0可编辑可修改的值.【变式1】整体代入法 35v1.0可编辑可修改的值.【变式2】倒数法：在求代数式的值时,有时出现条件或所求分式不易变形,但当分式的分子、分母颠倒后,变形就非常的容易,这样的问题适合通常采用倒数法.36v1.0可编辑可修改的值.【变式3】主元法：当条件为两个三

40、元一次方程,而所求的分式的分子与分母是齐次式 时,通常我们把三元看作两元,即把其中一元看作数来表示其它两元,代入分式求出 分式的值.已 知：,求37v1.0可编辑可修改的值.类型四：解分式方程的方法解分式方程的根本思想是去分母,课本介绍了在方程两边同乘以最简公分母的去分母的方法,现再介绍几种灵活去分母的技巧.一与异分母相关的分式方程7.解方程38v1.0可编辑可修改、,-、111 x【变式1】换元法解方程：3x 22 x二与同分母相关的分式方程三8.解方程2 3x 3 x 339、.、一 x 81【变式1】解方程88x 7 7 x【变式2】解方程2x 5 5 2xv1.0可编辑可修改类型五：分

41、式方程的应用9.甲、乙两个小商贩每次都去同一批发商场买进白糖.甲进货的策略是：每次买1000元钱的糖；乙进货的策略是每次买1000斤糖,最近他俩同去买进了两次价格不同的糖,问两人中谁的平均价格低一些【变式1】 甲开汽车,乙骑自行车,从相距 180千米的A地同时出发到 B.假设汽车的速度是自行车的速度的 2倍,汽车比自行车早到 2小时,那么汽车及自行车的速度各是多少【变式2 A、B两地路程为150千米,甲、乙两车分别从 A B两地同时出发,相向而 行,2小时后相遇,相遇后,各以原来的速度继续行驶,甲车到达B后,立即沿原路返回,返回时的速度是原来速度的 2倍,结果甲、乙两车同时到达 A地,求甲车原

42、来的速度和乙车 的速度.一、分式定义及有关题型题型一：考查分式的定义【例1】以下代数式中:x 1,2x22.a b x yy,1土,是分式的有:题型二：考查分式有意义的条件【例2】当x有何值时,以下分式有意义x 4(1)772x2 1|x| 3(5)11x x题型三：考查分式的值为0的条件40v1.0可编辑可修改【例3】当x取何值时,以下分式的值为0.(1)泞2x 35x题型四：考查分式的值为正、负的条件【例4】(1)当x为何值时,分式为正;(2)当x为何值时,分式3占为负;(3)当x为何值时,分式-练习:x取何值时,以下分式有意义:(1)16|x| 3(3)x为何值时,以下分式的值为零:(1

43、)5 | x 1|x 43.解以下不等式(1)x-L-2 0x 12, 50x 2x 3分式的根本性质及有关题型1 .分式的根本性质:2 .分式的变号法那么:41v1.0可编辑可修改题型一：化分数系数、小数系数为整数系数【例1】不改变分式的值,把分子、分母的系数化为整数12x y (1)2-11-x y34 0.2a 0.03b 0.04a b题型二：分数的系数变号(1) J x y(2)【例2】不改变分式的值,把以下分式的分子、分母的首项的符号变为正号题型三：化简求值题【例3】:5,求2x 3xy 2y的值.2xy y【例4】：x2,求x2J的值. x【例5】假设| x y1 I (2x3)

44、2c10,求4x 2y的值.练习:1.不改变分式的值,把以下分式的分子、分母的系数化为整数42(1)0.03x 0.2y0.08x0.5y2.：x.13.：1 a30.4a b5_1-a 4110b3,求3,2Xx2 1的值.2a求3ab 2b "/上-的值.b ab av1.0可编辑可修改4.假设 a22ab2 6b 10 0,求2a b的值.3a 5b5.如果12,试化简弁x 1| x| x 1 | x三分式的运算题型一：通分【例1】将以下各式分别通分(1) c2abb a一 二；3a2c 5b2c(3) -21x题型二：约分,2 ,x 1 2x x x(4) a2,【例2】约分:2(1)6V ；(3)20xy题型三：分式的混合运算【例3】计算:(1)(电3c2(-)abbc(3)m 2n(5)(6)(x11)(x 1)x2 42x 4x题型