因式分解讲义

1、因式分解知识点1:因式分解的定义1.分解因式：把一个多项式化成几个整式的乘的积,这种变形叫做分解因式,它与整式的乘法互为逆运算.如：判断以下从左边到右边的变形是否为分解因式： x2 9 8x (x 3)(x 3) 8 () 9x2 4y2(9x 4y)(9x 4y)()(x 3)(x 3) x2 9() x2y 2xy2 xy xy(x 2y)()知识点2:公因式公因式：定义：我们把多项式各项都含有的相同因式,叫做这个多项式各项的公因式.公因式确实定：(1)符号：假设第一项为哪一项负号那么先把负号提出来(提出负号后括号里每一项都要变号)(2)系数：取系数的最大公约数；(3)字母：取字母(或多项

2、式)的指数最低的；(4)所有这些因式的乘积即为公因式；例如：1 .多项式-3ab 6abx 9aby的公因式是2 .多项式8a3b2c 16a2b3 24ab2c分解因式时,应提取的公因式是()A. 4ab2cB. 8ab3C. 2ab3D. 24a3b3c3. x(m n)2 y(n m)4 (m n)3 的公因式是 知识点3:用提公因式法分解因式提公因式法分解因式：如果一个多项式的各项含有公因式,那么就可以把这个公 因式提出来,从而将多项式化成几个因式的乘积,这种分解因式的方法叫做提 公因式法.例如：1 .可以直接提公因式的类型：(1) 9a3b2 6a2b4 12a4b3=;n 1 n

3、1 n aaa =(3) x(a b)2y(a b)4 (a b)5 =(4)不解方程组2x y 3 ,求代数式(2x y)(2x 3y) 3x(2x y)的值5x 3y 22.式子的第一项为负号的类型：(1) 4x2y 6x2 y2 8x3y3 = 4(m n)3 8(m n)4 12(m n)2 =(2)假设被分解的因式只有两项且第一项为负,那么直接交换他们的位置再分解(特别是用到平方差公式时)如： 8x2 18y2练习：1 .多项式:6ab 18abx 24aby的一个因式是6ab,那么另一个因式是()A. 1 3x 4y B.1 3x 4y C 1 3x 4y D.1 3x 4y2 .

4、分解因式一5(y - x)3 10y(y -x)33 .公因式只相差符号的类型：公因式相差符号的,要先确定取哪个因式为公因式,然后把另外的只相差符号的 因式的负号提出来,使其统一于之前确定的那个公因式.(假设同时含奇数次和偶数次那么一般直接调换偶数次里面的字母的位置,如(x y)6-(y x)5 (y-x)6-(y-x)5 (y - x)5(y - x-1)例：(1) (b a) 2+a (ab) +b (ba)(2) (a+bc) (a-b+c) + (b-a+c) (b-a-c)(3) a(a b)3 2a2(b a)2 2ab(b a)练习：1 .把多项式m(a-2)+ m2- a)分解

5、因式等于()(A)( a-2)( m+nr)(B)(a-2)( m-m (C)m( a-2)( m1)2 .多项式x(y 3) x3(3 y)的分解因式结果( )3 32A. (y 3)(x x ) B . (y 3)(x x ) C . x(y 3)(1 x ) D . x(y 3)(1 x)3.分解因式：(1) m(x y) n(y x) (x y)() 45(2) -6(x-y) -3y(y -x)知识点4公式法分解因式.公式法分解因式：如果把乘法公式反过来,那么就可以用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做公式法.一、平方差公式分解因式法平方差公式：两个数的平方差,等于这两个的

6、和与这两个数的差的积.即 a2-b 2=(a+b)(a-b)特点：1、是一个二项式,每项都可以化成整二的平方1.2.两项的符号相反.例如：1、判断能否用平方差公式的类型. (1)以下多项式中不能用平方差公式分解的是()(A)- a2+b2(B)-x2-y2(C)49x2y2-z2(D)16nn-25 n2p2(2) .以下各式中,能用平方差分解因式的是()A.x2 y2 B . x2 y2 C . x2 xy2 D . 1 y22、直接用平方差的类型(1)16x2 9y2(2)25x2 1(3) x a a5(5)x3 9x(6) (m n)3 (m n) 13、整体的类型：(1) (m n)

7、2 n2(2) (x y)2 (2x 3y)24、提公因式法和平方差公式结合运用的类型(1)m34m=. (2) a3 a .练习：将以下各式分解因式,、222 一 2一 一22(1) x2 14x2(2)100x 81y;(3)9(a -b) -(x-y);(7) (2x y) 4(2x y)3二、完全平方式分解因式法2倍,等于这完全平方公式：两个数的平方和,加上(或减去)这两数的乘积的两个数的和(或差)的平方.即a 2+2ab+b2=(a+b)a2-2ab+b 2=(a-b) 2特点：(1)多项式是三项式;(2)其中有两项同号,且此两项能写成两数或两式的平方和的形式;(3)另一项为哪一项这

8、两数或两式乘积的2倍.1、判断一个多项式是否可用完全平方公式进行因式分解如：以下多项式能分解因式的是()A. x2 y B . x2 y2 C . x2 y2 y D . x2 6x 92、关于求式子中的未知数的问题如：1.假设多项式x2 kx 16是完全平方式,那么k的值为()A. -4 B . 4 C .±8 D .±42 . 假设 9x2 6x k是关于 x 的完全平方式,那么 k=3 .假设x2 2(m 3)x 49是关于x的完全平方式那么 m= 3、直接用完全平方公式分解因式的类型4 242m mn n932(1) x2 8x 16 ；(2)4x2 12xy 9y

9、2 ；(3) 上 xy y2 ；(4)44、整体用完全平方式的类型(x -2)2+ 12(x 2)+36;(2)9 6(a b) (a b)2(2)1 ax2y2+2axy+2a求 3abx2 3aby2 6xyab 的值5、用提公因式法和完全平方公式分解因式的类型 (1)-4x 3+16x2-16x ;(3)：ab 1,x y 2练习：分解因式(1) x2 4x 42 2(2) a x 16ax 64/ c 42 24(3) a 8ab 16b(4) (x y)2 14(x y) 49-3- 2-2(6)3x 12x y 12xy/ -、2(5) 9 6(a b) (a b)(7) 2x2

10、2x 1知识点5、十字相乘法分解因式.十字相乘法分解因式：逆用整式的乘法公式：(x+a) (x+b) = x2 (a b)x ab ,用来把某些多项式分解因式,这种分解因式的方法叫做十字相乘法.如：分解因式： x2 7x 10 2x2 5x 3(3)a2+6ab+5 b2(4) x2+5x+6(5)x2-5 x+6(6)x2-5 x-6练习：(1)x2+7x+12(4) x2+4x-12(5) y2+23y+22(6)(4) x2+5x-6知识点6、分组的方法分解因式如(1) m3 4m4 5 20m练习：(1) 9a2 4b2 4bc c2(2) x2-8x+12x2-8 x-204224x

11、 y 4x 1(4) 9x2 y2 4y 4 x3 3x2 4x 12(5 ) xy2 2xy 2y 4(3) x2- x-12 22 (7) x+9x y-36 y(3) x2 2x 6y 9y2小结因式分解的常规方法和方法运用的程序,可用“一提二公三叉四分这句 话来概括.“一提是指首先考虑提取公因式；“二公即然后考虑运用公式(两项用平方差公式三项的用完全和平方、差平方公式)；“三叉就是二次三项式能否进行 十字相乘法；“四分是四项以上考虑分组分解法.课后练习：分解因式单元练习一、选择题(每题4分,共40分)1 .以下从左到右的变形,其中是因式分解的是(.)(A) 2ab 2a 2b(B) m

12、2 1 m 1 m 12 2(C) x 2x 1 x x 2 1(D) a a b b 1 a ab b 12 .把多项式一8a2b3+16a2b2c2 24a3bc3分解因式,应提的公因式是(),(A) - 8a2bc(B) 2a 2b2c3(C) 4abc (D) 24a 3b3c33 .以下因式分解中,正确的选项是()(A) 3m2 6mm 3m 6(B) a2b ab a a ab b(C) x2 2xy y2 x y 2(D) x2 y2 x y 24,以下多项式中,可以用平方差,公式分解因式的是(日 )(A)a2 4(B)a22(C)a24( D)a2 45 .把一6(xy)3 3

13、y(y x)3分解因式,结果是().(A) - 3(x-y)3(2+y.)(C) 3(x-y) 3(y + 2)6 .以下各式变形正确的选项是()(A)a b a b22(C)a b a b7.以下各式中,能用完全平方公式分(A) 乂x2 1(B) 4x2 + 4x13(B) -(x-y) (6-3y)(D)3(x -y)3(y-2)(B) b a a b, 、22(D) b a a b由因式的是(.).(C) x2xy + y2 D . x2x + 2(D) (2 +a)(D) ± 12(D) 98 .因式分解4+a2 4a正确的选项是()一(A) (2 -a)2(B) 4(1 - a) + a2 (C) (2 -a)(2 -a)9 .假设4x2 mx 9是完全平方式,那么 m的值是()(A) 3(B) 4(C) 1210 .a b 3, ab 2,贝Ua b 2的值是().(A) 1(B) 4(C) 16二、填空题(每题4分,共20分)o21 . 4a b 10ab分解因式时,应提取的公因式是2 . am bm m ； x 1；abca3 .多项式x2 9与x2 6x 9的公因式是.4 .利用因式分解计算： 2022 19925 .如果a2+ m升121是一个完全平方式,那么 m=解做题1 .将以下各式因式分解：每题5分,共40分2(1) 14abc 7