朋友吵架后的说说

1、2.2 随机过程的统计特性随机过程的统计特性2.2.1 随机过程的概率分布随机过程的概率分布1. 一维概率分布一维概率分布 对于任意的时刻对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变是一个随机变量，设量，设x为任意实数，定义为任意实数，定义 为随机过程为随机过程X(t)的的一维分布函数一维分布函数。)(),(xtXPtxFXhttp:/ 若若 的一阶偏导数存在，则的一阶偏导数存在，则定义定义 为随机过程为随机过程X(t)的的一维概率密度一维概率密度。),(txFXxtxFtxfXX),(),(随机过程一维分布的性质：随机过程一维分布的性质：1),(),(),(1),(0),(1),(0dxtxfdu

2、tuftxFtFtFtxFXxXXXXX2. 二维概率分布和二维概率分布和n维概率分布维概率分布 对于随机过程对于随机过程X(t)，在任意两个时刻，在任意两个时刻t1和和t2可得到两个随机变量可得到两个随机变量X(t1)和和X(t2)，可，可构成二维随机变量构成二维随机变量X(t1),X(t2)，它的二，它的二维分布函数维分布函数 称为随机过程称为随机过程X(t)的的二维概率分布函数二维概率分布函数。)(,)(),;,(22112121xtXxtXPttxxFX 若若 对对x1,x2的偏导数的偏导数存在，则定义存在，则定义 为随机过程为随机过程X(t)的的二维概率密度二维概率密度。),;,(2

3、121ttxxFX21212122121),;,(),;,(xxttxxFttxxfXX 对于任意的时刻对于任意的时刻t1,t2, tn， X(t1),X(t2), X(tn)是一组随机变量，定义这组随机变量是一组随机变量，定义这组随机变量的联合分布为随机过程的联合分布为随机过程X(t)的的n维概率分布，维概率分布，即定义即定义 为随机过程为随机过程X(t)的的n维概率分布函数维概率分布函数。)(,)(,)(),;,(22112121nnnnXxtXxtXxtXPtttxxxF为随机过程为随机过程X(t)的的n维概率密度维概率密度。nnnXnnnXxxxtttxxxFtttxxxf212121

4、2121),;,(),;,(随机过程随机过程X(t)和和Y(t)的四维联合概率密度的四维联合概率密度212121212121421212121) , ,;,() , ,;,(yyxxttttyyxxFttttyyxxfXYXY若两个随机过程互相独立，则有若两个随机过程互相独立，则有) , ;,(),;,() , ,;,(11111111mmYnnXmnmnXYttyyfttxxfttttyyxxf 一个随机过程不同时刻状态间互相独一个随机过程不同时刻状态间互相独立，即立，即X(t1)和和X(t2)互相独立互相独立),(),(),;,(22112121txftxfttxxfXXX例：设随机过程例

5、：设随机过程其中其中w0是常数，是常数，X是均值为零，方差为是均值为零，方差为1的正态随机变量，求的正态随机变量，求 时时Y(t)的概率密度，及的概率密度，及Y(t)的一维概率密度。的一维概率密度。tXtY0cos)(032,0t2.2.2 随机过程的数字特征随机过程的数字特征1. 数学期望数学期望 对于任意的时刻对于任意的时刻t，X(t)是一个随机变是一个随机变量，将这个随机变量的数学期望定义量，将这个随机变量的数学期望定义为为随机过程的数学期望随机过程的数学期望，记为，记为mx(t)，即即dxtxxftXEtmXX),()()(2. 方差方差 对于任意的时刻对于任意的时刻t，X(t)是一个

6、随机变是一个随机变量，称该随机变量量，称该随机变量X(t)的二阶中心矩为的二阶中心矩为随机过程的方差随机过程的方差，记为，记为DX(t)，即，即dxtxftmxtXEtXEtXDtXXX),()()()()()(222 3. 自相关函数和协方差函数自相关函数和协方差函数 设设X(t1)和和X(t2)是随机过程是随机过程X(t)在在t1和和t2二个任意时刻的状态，二个任意时刻的状态，fX(x1,x2;t1,t2)是是相应的二维概率密度，称它们的二阶相应的二维概率密度，称它们的二阶联合原点矩为联合原点矩为X(t)的的自相关函数自相关函数，简称，简称相关函数相关函数212121212121),;,(

7、)()(),(dxdxttxxfxxtXtXEttRXX 设设X(t1)和和X(t2)是随机过程是随机过程X(t)在在t1和和t2二个任意时刻的状态，称二个任意时刻的状态，称X(t1)和和X(t2)的二阶联合中心矩为的二阶联合中心矩为X(t)的的自协方差函自协方差函数数2121212211221121),;,()()()()()()(),(dxdxttxxftmxtmxtmtXtmtXEttCXXXXXX )()(),(),(212121tmtmttRttCXXXX当当 时，时，当当 时，时，0)(tmX),(),(2121ttRttCXX21tt )()()()()()()()(),(),(

8、1212121211111111ttXEtXEtmtXtXEtmtmttRttCXXXXXX 若对于任意的若对于任意的t1和和t2都有都有CX(t1,t2)=0,那那么随机过程的任意两个时刻状态间是么随机过程的任意两个时刻状态间是不相关的不相关的。若若RX(t1,t2)=0，则称则称X(t1)和和X(t2)是是相互相互正交的正交的。 若若 则称随机过程在则称随机过程在t1和和t2时刻的状态是相时刻的状态是相互独立的。互独立的。),(),(),;,(22112121txftxfttxxfXXX4. 互相关函数和互协方差函数互相关函数和互协方差函数 设有两个随机过程设有两个随机过程X(t)和和Y(

9、t)，它们在，它们在任意两个时刻任意两个时刻t1和和t2的状态分别为的状态分别为X(t1)和和Y(t2)，则随机过程，则随机过程X(t)和和Y(t)的的互相互相关函数关函数定义为定义为dxdyttyxxyftYtXEttRXYXY ),;,()()(),(212121 类似地，定义两个随机过程的类似地，定义两个随机过程的互协方互协方差函数差函数为为dxdyttyxftmytmxtmtYtmtXEttCXYYXYXXY ),;,()()()()()()(),(2121221121)()(),(),(212121tmtmttRttCYXXYXY 若对于任意时刻若对于任意时刻t1和和t2，有，有RX

10、Y(t1,t2)=0，则称则称X(t)和和Y(t)是是正交过程正交过程，此时有，此时有)()(),(2121tmtmttCYXXY 若对于任意时刻若对于任意时刻t1和和t2，有，有CXY(t1,t2)=0，则称则称X(t)和和Y(t)是是互不相关的互不相关的，此时有，此时有)()(),(2121tmtmttRYXXY 当当X(t)和和Y(t)互相独立时，满足互相独立时，满足 则有则有 当当X(t)和和Y(t)互相独立时，互相独立时， X(t)与与Y(t)之间一定不相关；反之则不成立。之间一定不相关；反之则不成立。)()(),(2121tmtmttRYXXY) , ;,(),;,() , ,;,

11、(11111111mmYnnXmnmnXYttyyfttxxfttttyyxxf研究随机过程有两条途经：研究随机过程有两条途经：侧重于研究概率结构侧重于研究概率结构侧重于统计平均性质的研究侧重于统计平均性质的研究 例：求随机过程例：求随机过程 的数学期望，方差及自相关函数。其的数学期望，方差及自相关函数。其中，中，w0为常数，为常数， 是在区间是在区间 上均匀分布的随机变量。上均匀分布的随机变量。)sin()(0ttX2,02.2.3 随机过程的特征函数随机过程的特征函数 对于某一固定时刻对于某一固定时刻t，随机变量，随机变量X(t)的的特征函数就定义为特征函数就定义为随机过程的一维特随机过程的一维特征函数征函数dxtxfeeEtXxjtXjX),(),()( 一维特征函数与一维概率密度有类似一维特征函数与一维概率密度有类似傅立叶变换对的关系傅立叶变换对的关系dettxfxjXX),(21),( 随机过程的二维特征函数随机过程的二维特征函数： 随机过程在任意两个时刻随机过程在任意两个时刻t1和和t2的取值的取值构成一个二维随机变量构成一个二维随机变量X(t1),X(t2),它它的特征函数的特征函数 定义为定义为随机过程随机过程X(t)的二维特征函数。的二维特征函数。212121)()(2121),;,(),;,(22112211dxdxtt