勾股定理的各类题型83590

1、v1.0可编辑可修改勾股定理各种题型:一：勾股定理面积相等法:方法1:十S正方羯国酒三S正期第bcd,4 x ab + (ia) c ,化fS可证.a2方法2:四个直角三龟形的面积与小正方形面积的和等于大正方形的面积.四个直角三龟形的面积与小正方形面积的和为S=4x-ab+e2 =2ab-i-22大正方形面积为S = 3+b? =r +2ab + b2所以4+加二1方法3:1.v1.0可编辑可修改口+83 +力* S= 2S 力后十% = L ,、就+ “ c化简得证二：方程思想和勾股定理结合的题目1.2022春？宜春期末一旗杆在其2的B处折断,量得AC=5米,那么旗杆原来的高度为比CF大1,

2、那么EF的长为【考点】勾股定理；平行线的性质.2.A.4百米B. 2y号米 C. 10米D.米【考点】勾股定理的应用.【分析】 可设AB=x,那么BC=2x进而在 ABC中,利用勾股定理求解 x的值即可.【解答】 解：由题意可得,AC 2022 春？防城区期中如图,在 ABC中,Z B=40 , EF/ AB, / 1=50 , CE=3 EF=BC2-AB,即2x 2 - x2=52,解得 x辽3 |所以旗杆原来的高度为 3x=5/3,应选D.【点评】能够利用勾股定理求解一些简单的直角三角形.v1.0可编辑可修改【分析】由平行线的性质得出/ A=Z1=5O ,得出/ C=90 ,设 CF=x

3、,那么EF=x+1,根据勾股定理得出方程,解方程求出x,即可得出EF的长.【解答】解：= EF/AB,/A=/ 1=50 ,/A+/B=50 +40 =90 ,./C=90 ,设 CF=x,那么 EF=x+1,根据勾股定理得：CE+CF2=EF2,即 32+x2= x+1 2,解得：x=4,.EF=4+1=5,应选：A.【点评】此题考查了平行线的性质、 直角三角形的判定、勾股定理；熟练掌握平行线的性质, 并能进行推理论证与计算是解决问题的关键.AB=3cm AD=9cm将此长方形折叠,3. 2022春？蚌埠期中,如图长方形ABCD43,使点B与D重合,折痕为EF,那么BE的长为A. 3cm B

4、. 4cm C. 5cm D. 6cm【考点】翻折变换折叠问题.BE=9- x,然后在 RtABE中,利用【分析】根据折叠的性质可得 BE=ED设AE=x,表示出勾股定理列式计算即可得解.【解答】 解：二长方形折叠点 B与点D重合, .BE=ED设 AE=x,贝U ED=9 x, BE=9 x,3.v1.0可编辑可修改在RtMBE中, ab2+aE=b即 32+x2= 9- x解得x=4 ,.AE的长是4,.BE=9- 4=5,应选C.【点评】此题考查了翻折变换的性质,勾股定理的应用,根据勾股定理列出关于AE的长的方程是解题的关键.4. 2022秋？奎文区校级期末在我国古代数学著作?九章算术?

5、中记载了一个有趣的问题,这个问题的意思是：有一个水池,水面是一个边长为10尺的正方形,在水池正中央有一根新生的芦苇,它高出水面1尺,如下图,如果把这根芦苇垂直拉向岸边,它的顶端恰好到达岸边的水面.那么水深多少芦苇长为多少【考点】勾股定理的应用.【分析】找到题中的直角三角形,设水深为x尺,根据勾股定理解答.【解答】解；设水深为x尺,那么芦苇长为x+1尺,根据勾股定理得：二 一 I,二,解得：x=12 尺,芦苇的长度=x+1=12+1=13 尺,答：水池深12尺,芦苇长13尺.【点评】此题是一道古代问题, 表达了我们的祖先对勾股定理的理解,也表达了我国古代数学的辉煌成就.4.v1.0可编辑可修改三

6、：勾股定理应用：求最短距离问题1. 2022秋？环翠区期中如图,长方体的底面边长为1cm和3cni高为6cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达B,那么所用细线最短需要A. 12cm B. 11cm C. 10cm D. 9cm【考点】平面展开-最短路径问题.【分析】要求所用细线的最短距离,需将长方体的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短 得出结果.【解答】解：将长方体展开,连接 A B,贝U AA =1+3+1+3=8 (cm) , A B =6cm根据两点之间线段最短,AB =： . , =10cm.应选C.【点评】此题考查了平面展开-最短路径问题, 面,用勾股定理解决.此题

7、就是把长方体的侧面展开“化立体为平2. 2022春？繁昌县期末如图,是一长、宽都是3cni高BC=9cmW长方体纸箱,BC上,.9-P的最短距离是有一点P, PCBC 一只蚂蚁从点 A出发沿纸箱外表爬行到点5.v1.0可编辑可修改【考点】平面展开-最短路径问题.【分析】将图形展开,可得到安排 AP较短的展法两种,通过计算,得到较短的即可.【解答】 解：1如图 1, AD=3cm DP=3+6=9cnp 在 RtADP中,AP=iTI =3/10cm；2如图 2, AC=6cm CP=3+3=6cm鼻 ADP中,AP=JTl=672cm.综上,蚂蚁从点 A出发沿纸箱外表爬行到点 P的最短距离是6

8、/2cm.应选A.BCDP图1【点评】 此题考查了平面展开-最短路径问题,熟悉平面展开图是解题的关键.3. 2022?大悟县二模如图,小红想用一条彩带缠绕易拉罐,正好从A点绕到正上方B点共四圈,易拉罐底面周长是12cm,高是20cm,那么所需彩带最短的是A. 13cm B. 4 1cm C. 4. cm D. 52cm6.v1.0可编辑可修改【考点】 平面展开-最短路径问题.【分析】要求彩带的长,需将圆柱的侧面展开,进而根据“两点之间线段最短得出结果,在求线段长时,借助于勾股定理.【解答】解：由图可知,彩带从易拉罐底端的A处绕易拉罐4圈后到达顶端的B处,将易拉罐外表切开展开呈长方形,那么螺旋线

9、长为四个长方形并排后的长方形的对角线长,易拉罐底面周长是 12cm,高是20cm,.x2= (12X4) 2+20：所以彩带最短是52cm.应选D【点评】此题考查了平面展开-最短路径问题,圆柱的侧面展开图是一个矩形,此矩形的长等于圆柱底面周长,高等于圆柱的高,此题就是把圆柱的侧面展开成矩形,“化曲面为平面,用勾股定理解决.4. (2022?游仙区模拟)长方体敞口玻璃罐,长、宽、高分别为16cm、6cm和6cm,在罐内点E处有一小块饼干碎末,此时一只蚂蚁正好在罐外壁,在长方形ABCD43心的正上方2cmA. 7诉 B . IV233C. 24 D. h/232【考点】 平面展开-最短路径问题.【

10、分析】做此题要把这个长方体中蚂蚁所走的路线放到一个平面内,在平面内线段最短, 根据勾股定理即可计算.7.v1.0可编辑可修改【解答】 解：假设蚂蚁从平面 ABCL平面CDFEg过,H e=J8+6 )/=7、而,假设蚂蚁从平面 ABCDF平面BCEHg过,那么蚂蚁到达饼干的最短距离如图2:图2H E= ： =；应选B.【点评】考查了平面展开-最短路径问题,此题的关键是明确两点之间线段最短这一知识点,然后把立体的长方体放到一个平面内,求出最短的线段.5. 2022秋？宜兴市校级期中如图,一圆柱高8cm,底面半彳5为导cm, 一只蚂蚁从点 A爬到点B处吃食,要爬行的最短路程是10 cm.8.v1.

11、0可编辑可修改【考点】 平面展开-最短路径问题.【分析】此题最直接的解法,就是将圆柱展开,然后利用两点之间线段最短解答.【解答】 解：底面圆周长为 2兀,底面半圆弧长为 Tt r,即半圆弧长为：J- X 2 Tt x JL =6(cm),展开得：BC=8cm AC=6cm根据勾股定理得：AB寸石於10 (cmj) .故答案为：10.【点评】此题主要考查了立体图形的展开和两点之间线段最短,解题的关键是根据题意画出 展开图,表示出各线段的长度.四：网格问题(简单)1、在边长为1的小正方形组成的网格中, ABC的三个顶点均在格点上,那么4 ABC中BC边上的高为答案：设 ABC中BC边上的高为h.9

12、.v1.0可编辑可修改 ABA 2 =5 , ACA 2 =20 , BCA 2 =25 , BCA 2 =ABA 2 +AC 人2 ,.ZA=90 ,11S AABC = 2 AB AC= 2 BC h,即 庭 2$5 =5h .解得,h=2.故答案是：2.2.如图,方格纸中每个小方格都是边长为1的正方形,我们把以格点连线为边的多边形称为“格点多边形.如图一中四边形ABCD1是一个“格点四边形.1求图一中四边形 ABC而面积；2在图二方格纸中画一个格点三角形EFG使4EFG的面积等于四边形 ABCM面积且为轴对称图形.图一图二1答案：解：1方法一：S= 2 X6X4=121111方法二：S=

13、 4X6 2x2X1 2x4X1 2x3X4 2x2X3=122只要画出一种即可10.v1.0可编辑可修改3、如图,在由边长为1的小正方形组成的网格中, ABC的三个顶点均在格点上.请按要求完成以下各题:(1)画AD/ BC (D为格点),连接 CDAC2 =22 +42 =20,+22 =5,(2)试判断 ABC的形状请说明理由;BC2 =32 +42 =25,.BC2 =AB +AC2 , ABC是直角三角形.4、如图,是一块由边长为 20cm的正方形地砖铺设的广场,一只鸽子落在点 A处,？它想先后吃到小朋友撒在 R C处的鸟食,那么鸽子至少需要走多远的路程11.v1.0可编辑可修改答案：

14、AB=5cm BC=13cm ?所以其最短路程为 18cm(难题)5、如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格,它的每一个小三角形都是边长为1的正三角形,这样的三角形称为单位正三角形.(1)直接写出单位正三角形的高与面积.(2)图中的平行四边形 ABC常有多少个单位正三角形平行四边形ABCDW面积是多少?(3)求出图中线段 AC的长(可作辅助线).忑 1 小后【答案】(1)单位正三角形的高为 工,面积是524(2)如图可直接得出平行四边形ABC%有24个单位正三角形,因此其面积12.(3)过A作AC BC于点K(如下图),那么在RtACK中,v1.0可编辑可修改五：方位角问题1、如下图,在一次夏

15、令营活动中,小明从营地A点出发,沿北偏东60.方向走了 500J3m到达B点,然后再沿北偏西 30方向走了 500m至ij达目的地C点.(1)求A C两点之间的距离；(2)确定目的地C在营地A的什么方向11)过B点作BE/AD . t东如图.zDAB=zABE=60 .1,-30+zCBAzABE=180 r ；CBA=90.即乙瓯为直羯三角形.由可得：BC=500m1AB=5006m 由勾股定理可得：AC2 =BC2 +AB2 , 所WAC二卡00 2 +(50呼)2 =1000 (m );(2 )在Rt-ABC中,BC=5U0m , AO 1000m. /.zCAB=30 r -. zDA

16、B=60 f ,zDAC=30 . 即点c在点a的1褊东？小的方向.2、甲、乙两位探险者到沙漠进行探险,没有了水,需要寻找水源.为了不致于走散,他们用两部对话机联系, 对话机的有效距离为 15千米.早晨8: 00甲先出发,他以6千米/时的速度向东行走,1小时后乙出发,他以 5千米/时的速度向北行进,上午 10: 00,甲、 乙二人相距多远还能保持联系吗13.v1.0可编辑可修改答案：如图,甲从上午8: 00到上午10: 00 一共走了 2小时,走了 12千米,即OA=12乙从上午9: 00到上午10: 00 一共走了 1小时,走了 5千米,即OB=5在 RtOAB中,AB2=122 十 52=

17、169,AB=13,因此,上午10: 00时,甲、乙两人相距13千米.1513,二甲、乙两人还能保持联系.答：上午10: 00甲、乙两人相距13千米,两人还能保持联系.3、如图,甲乙两船从港口 A同时出发,甲船以16海里/时速度向北偏东40.航行,乙船向南偏东50.航行,3小时后,甲船到达 C岛,乙船到达 B岛.假设C、B两岛相距60海里,问 乙船的航速是多少答案：从两船航行的方向看,北偏东40度和南偏东50度的夹角为90ACL AB甲船速度每小时16海里,所以AC=16 3=48海里AB2 =BC2 -AC2 =3600-2304=129636 + 3=12 海里AB=36所以乙船速度为每小时：14.v1.0可编辑可修改4、如图,北海海面上,一艘解放军军舰正在基地 A的正东方向且距 A地40海里的B处练习, 忽然接基地命令,要该舰前往C岛,接送一病危渔民到基地医院救治, C岛在A的北偏东60方向,且在B