初二动态几何问题教学提纲

1、<<<<<<精品资料?初二动态几何问题一、动态几何问题涉及的几种情况动态几何问题就其运动对象而言,有：1、点动有单动点型、多动点型2、线动主要有线平移型、旋转型.线动实质就是点动,即点动带动线动,进而还会产生形动,因而线动型几何问题可以通过转化成点动型问题来求解3、形动就其运动形式而言,有平移、旋转、翻折、滚动二、解决动态几何问题的根本思考策略与分析方法：动态型问题综合了代数、几何中较多的知识点,解答时要特别注意以下七点：1、把握运动变化的形式及过程；2、思考运动初始状态时几何元素的关系,以及可求出的几何量；3、动中取静：最重要的一点要善于在“动中取“静让图

2、形和各个几何量都“静下来 ,抓住变化中的“不变量和不变关系为“向导,求出相关的常量或者以含有变量的代数式表示相关的几何量；4、找等量关系：利用面积关系、相似三角形的性质、勾股定理、特殊图形等的几何性质及相互关系,找出根本的等量关系式；5、列方程：将相关的常量和含有变量的代数式代入等量关系建立方程或函数模型；某些几何元素的变化会带来其它几何量的变化,所以在求变量之间的关系时,通常建立函数模型或不等式模型求解.在解决有关特殊点、特殊值、特殊位置关系问题时常结合图 形建立方程模型求解6、是否以及怎么分类讨论：将变化的几何元素按题目指定的运动路径运动一遍,从动态的角度去分析观察可能出现的情况,看图形的

3、形状是否改变,或图形的有关几何量的计算方法是否改变,以明确是否需要根据运动过程中的特殊位置分类讨论解决,7、确定变化分界点：假设需分类讨论,要以运动到达的特殊点为分界点,画出与之对应情况相吻合的图形,找到情况发生改变的时刻,确定变化的范围分类求解.<<<<<<精品资料?<<<<<<精品资料?»»»»例：如图,有一边长为 5cm的正方形 ABCD 和等腰三角形 RQR, PQ=PR=5cm , QR=8cm,点B、C、Q、R在同一条直线i上,当C、Q两点重合日开始,t秒后正方形 ABC

4、D 与等腰 PQR重合局部的面积为 Scm2 .解答以下问题：(1)当t=3秒时,求S的值；(2)当t=5秒时,求S的值；(3)当5秒wtW8秒时,求S与t的函数关系式,并求出 S的最大值.实验操作【要点导航】通过实验操作一一观察猜测一一科学论证,使我们体验和学到了发现、获得知识的过程和方法.实验操作探索一一理解题意、实验操作是根本保证,观察猜测、探索结论是关键, 论证猜测的结论是落实.【典例精析】例1取一张矩形纸片进行折叠,具体操作过程如下：第一步：先把矩形ABCD对折,折痕为MN,如图1;第二步：再把B点叠在折痕线 MN上, 折痕为AE,点B在MN上的对应点为 B',得RtA AB

5、'E,如图2;第三步：沿 EB'线折叠得 折痕EF,使A点落在EC的延长线上,如图 3.利用展开图4探究：(1) AAEF是什么三角形？证实你的结论；(2)对于任一矩形,根据上述方法能否折出这种三角形？请说明你的理由.<<<<<<精品资料?»»»»<<<<<<精品资料?»»»»例2 ：在 ABC中,/ BAC=90° , M为BC中点.操作：将三角板的90°角的顶点与点M重合,并绕着点 M旋转,角的两边分别与

6、边 AB、AC相交于点E、F.(1)探究1 :线段BE、EF、FC是否能构成三角形？如果可以构成 三角形,那么是什么形状的三角形？请证实你的猜测.(2)探究2:假设改变为：“角的两边分别与边 AB、直线AC相交于点E、F.其它条件都不变的情况下,那么结论是否还存在？请画出对应的图形并请证实你的 猜测.【练习】1. 如图,在正方形 ABCD中,点E在边AB上(点E与点A、B不重合),过 点E作FG,DE , FG与边BC相交于点F ,与边DA的延长线相交于点 G .(1)操作：由几个不同的位置,分别测量BF、AG、AE的长,从中你能发现 BF、AG、AE的数量之间具有怎样的关系？并证实你所得到的

7、结论；(2)连结DF ,如果正方形的边长为 2,设AE= x , ADFG的面积为y ,求y与x之 间的函数解析式,并写出函数的定义域；(3)如果正方形的边长为 2, FG的长为5 ,求点C到直线DE的距离.供试验操作用2. 操作：将一把三角尺放在边长为1的正方形 ABCD上,并使它的直角顶点 P在对角线AC上滑动,直角的一边始终经过点B,另一边与射线 DC相交于点Q.探究：设A、P两点间的距离为x.(1)当点Q在边CD上时,线段PQ与线段PB之间有怎样的大小关系？试证实你观 察得到结论；(2)当点Q在边CD上时,设四边形 PBCQ的面积为V,求y与x之间的函数解析<<<&l

8、t;<<精品资料?»»»»<<<<<<精品资料?»»»»式,并写出函数的定义域；(3)当点P在线段AC上滑动时,4PCQ是否可能成为等腰三角形？如果可能,指出所有能使4PCQ成为等腰三角形的点 Q的位置,并求出相应的x的值；如果不可能,试说明理由.(图5、图6、图7的形状大小相同,图 5供操作、实验用,图 6和图7备用)3. 在 ABC中,AB =AC, CGBA交BA的延长线于点 G. 一等腰直角三角尺 按如图1所示的位置摆放,该三角尺的直角顶点为 F, 一条直角边

9、与 AC边在一条直线上, 另一条直角边恰好经过点 B .(1)在图1中请你通过观察、测量 BF与CG的长度,猜测并写出 BF与CG满足的数 量关系,然后证实你的猜测；(2)当三角尺沿AC方向平移到图2所示的位置时,一条直角边仍与 AC边在同一直线 上,另一条直角边交 BC边于点D,过点D作DELBA于点E.此时请你通过观察、测量DE、 DF与CG的长度,猜测并写出 DE+ DF与CG之间满足的数量关系,然后证实你的猜测；(3)当三角尺在(2)的根底上沿 AC方向继续平移到图 3所示的位置(点 F在线段AC上,且点F与点C不重合)时,(2)中的猜测是否仍然成立？(不用说明理由)4. 如图,在平面

10、直角坐标系中,直线 l是第一、三象限的角平分线.实验与探究：(1)由图观察易知 A (0, 2)关于直线l的对称点A'的坐标为(2, 0),请在图中分别标明B(5,3)、C(-2, 5)关于直线l的对称点B'、C'的位置,并写出他们的坐标： <<<<<<精品资料?»»»»<<<<<<精品资料?»»»»归纳与发现：(2)结合图形观察以上三组点的坐标,你会发现：坐标平面内任一点 P( a, b)关于第一、三象限的角平分线l的

11、对称点P'的坐标为 (不必证实)； 运用与拓广：(3)两点 D(1,-3)、E(-1,-4),试在直线l上确定一点Q,使点Q至ij D、E两点的距离之和最小,并求出 Q点 坐标.探索性问题探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论,需要经过推断,补充并加以证明的题型.探索性问题一般有三种类型：(1)条件探索型问题；(2)结论探索型问题；(3)探索存在型问题.条件探索型问题是指所给问题中结论明确,需要完备条件的题目； 结论探索型问题是指题目中结论不确定,不唯一,或题目结论需要类比,引申推广,或题目给出特例,要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下,需探索发现某种数

12、学关系是否存在的题目.条件探索【要点导航】“探索是人类熟悉客观世界过程中最生动、最活泼的思维活动,探索性问题存在于一切学科领域之中,数学中的“条件探索题型,是指命题中缺少一定的题设,需经过推断、 补充并加以证实的命题,因而必须利用题设大胆猜测、分析、比拟、归纳、推理,由结论去 探索未给予的条件. 由于题型新奇、综合性强、结构独特,此类问题的一般解题思路并无固 定模式或套路,因而具体操作时要更注重数学思想方法的综合应用.【典例精析】例1如图,在线段 AE的同侧作正方形 ABCD和正方形BEFG (BE<AB),连结 EG并延长交DC于点M,过M作MN -L AB,垂足为N , MN交BD于

13、点P .设正方 形ABCD的边长为1.(1)证实CMGZ ANBR;<<<<<<精品资料?»»»»<<<<<<精品资料?»»»»(2)设BE=x,四边形MGBN的面积为y,求y关于x的函数解析式,并写出定义域.(3)如果根据题设方法作出的四边形BGMP是菱形,求BE的长.(4)联结PG,假设ABPG能否成为直角三角形？如果能,求 BE的长;如果不能,请说明理由.(5)联结AC、AF、CF,求证4ACF的面积为定值.R思路分析11 .第(3)小题

14、把四边形 BGMP是菱形作为条件探索 BE的长.3.第(5)小题即可用割补法求也可用利用 面积.AC/BF将4ACF的面积转化为 ABC的2 . ABPG中/PBG始终是45° ,而/ BPG和/PGB有可能为90° ,要分情况讨论.探究：当M、N分别在直线 AB、AC上移动时,BM、NC、MN之间的数量关系及图1(1)如图1所示,当点M、例2 在等边4ABC的两边AB、AC所在直线上分别有两点 M、N. D为4ABC外一点,且/ MDN = 60°, /BDC=120°, BD = DC.的数量关系是;此时Q:L；(不必证实)(2)如图2所示,点 M、

15、N在边AB、AC上,且当DM # DN时,猜测(1)问的两个结论还成立吗？写出你的猜测并加以证实;AN = 2,贝U Q =(3)如图3所示,当M、N分别在边AB、CA的延长线上时,假设(用含有L的式子表示)1. 如图1所示,直线AB交x轴于点A (A, 0),交y轴于点B (0, B),且A、<<<<<<精品资料?»»»»<<<<<<精品资料?»»»»(1)如图1,假设C的坐标为(一的坐标；(2)如图2,连接OH ,求证：/(3)如图3,假设

16、点D为AB的中点,1, 0),且AHLBC于点H, AH交OB于点P,试求点 POHP = 45°点M为y轴正半轴上一动点,连接MD ,过D作DN,DMB满足石4b +(a -4)2 =0 .交x轴于N点,当M点在y轴正半轴上运动的过程中,式子Sabdm Sa,改变,如发生改变,求出该式子的值的变化范围；假设不改变,求该式子的值.y h4 ycoacoa一b'/ 图 1b'/ 图 2B2. BD、CE分别是 ABC的AC边、AB边上的高,点,分别联结MD、ME、DE .(1)当NBAC <90口时,垂足D、E分别落在边 AC、AB上,如图1.求亍(2)当NBAC

17、>90 "时,垂足D、E分别落在边 AC、AB所在的直线上,ADN的值是否发生hyM A N; B/图3M是BC边的中正：DM = EM .如图2,问(1)中的结论是否依然成立？无需说明理由,直接写出答案即可；假设 DEM的形状,简写解答过程.(3)设ZBAC的度数为x , ZDME的度数为y ,求y与x：A一BMC图2图1/BAC =1351试判断之间的函数关系式.BC,(备用图)C<<<<<<精品资料?»»»»<<<<<<精品资料?»»

18、7;»3. 如图1,/ ABC=90 °, ABE是等边三角形,点 P为射线BC上任意一 点点P与点B不重合,连结AP,将线段AP绕点A逆时针旋转60°得到线段AQ,连结QE并延长交射线BC于点F.1如图 2,当 BP=BA 时,/ EBF=°,猜测/ QFC=°2如图1,当点P为射线BC上任意一点时,猜测/ QFC的度数,并加以证实;点Q到射线BC的距离为V,求y关于X的函数关系结论探索【要点导航】探索性问题是指命题中缺少一定的条件或无明确的结论,需要经过推断,补充并加以证明的题型.探索性问题一般有三种类型：1条件探索型问题；2结论探索型问题

19、；3探索存在型问题.条件探索型问题是指所给问题中结论明确,需要完备条件的题目； 结论探索型问题是指题目中结论不确定,不唯一,或题目结论需要类比,引申推广,或题目给出特例,要通过归纳总结出一般结论；探索存在型问题是指在一定的前提下,需探索发现某种数学关系是否存在的题目.探索型问题具有较强的综合性,因而解决此类问题用到了所学过的整个初中数学知识.经常用到的知识是： 一元一次方程、平面直角坐标系、正、反比例和一次函数的求法 图象及其性质、直角三角形的性质、四边形特殊的性质、等.其中用几何图形的某些特 殊性质：勾股定理、相似三角形对应线段成比例等来构造方程是解决问题的主要手段和途切实径.因此复习中既要

20、重视根底知识的复习,又要增强变式练习和数学思想方法的研究, 提升分析问题、解决问题的水平.【典例精析】例 1 如图 1,在 ABC 中,/ ACB = 90 °, AC = BC, AB = 8 ,<<<<<<精品资料?»»»»<<<<<<精品资料?»»»»CDXAB,垂足为点 D. M为边AB上任意一点,点 N在射线CB上(点N与点C不重合), 且MC = MN, NEXAB,垂足为点E.当点M在边AB上移动时,试探索线段 ME的长

21、是否 会改变？说明你的理由.R思路分析1射线CB包括线段CB和线段CB的延长线两局部,点 N在射线CB上运动时,可证实 CMD和 MEN全等,所以线段 ME的长始终和线段 CD相等,所以不会改变长度.例2 如图,在正方形 ABCD中,AB = 2, P是边BC上的任意一点,E是边BC延 长线上一点,联结 AP.过点P作PFLAP,与/ DCE的平分线CF相交于点F.联结AF,与边CD相交于点G,联结PG.(1)求证：AP = FP;(2)探索线段BP、DG、PG之间的数量关系,并给出证实过程;(3)当BP取何值时,PG / CF.R思路分析11 .过点F作FH XBC,结合所给条件无法证实 A

22、BP和 PHF全等.在边 AB上截取 线段AH,使AH = PC,便可证实 AHPA PCF .2 .由第(1)小题的结论得 APF是等腰直角三角形,所以/ PAF=45°,将 ADG绕点A顺时针旋转90°后,BP与DG联结成一条线段,通过全等三角形可证 BP与DG的和等于PG.3 .当PG / CF时, PCG是等腰直角三角形,由第(2)小题Z吉论得 PG=DG + BP,在RtA PCG中,由勾股定理可求得 BP的长.【练习】第天,年 月 日1. ：在 4ABC中,AB=AC,点P在直线 BC上,PDLAB于点D, PEXAC 于点E, BH是4ABC的高.(1)当点P

23、在边BC上时,求证：PD+PE=BH(2)当点P在边BC的延长线上时,试探索 PD、PE和BH之间的数量关系.<<<<<<精品资料?»»»»<<<<<<精品资料?»»»»2. 等边 4ABC和点P,设点P到4ABC三边AB、AC、BC的距离分别为H1, H2, H3, AABC的高为H. “假设点P在一边BC上如图(1),此时H3=0可得结论：H1+ H2+H3=H.请直接应用上述信息解决以下问题：当点 P在 ABC内如图(2),以及点P在 A

24、BC外如图(3)这两种情况时,上述结论是否成立？假设成立,请予以证实；假设不成立,Hi, H2, H3与H之间又有怎样的关系,请写出你的猜测,不需要证实.图33.在正 ABC中,AB=4,点M是射线AB上的任意一点M与点A、B不重合),点N在边BC的延长线上,且 AM = CN.联结MN ,交 直线AC于点D.设AM = x, CD = y.(1)如图,当点M在边AB上时,求y关于x的函数解析式,并 写出自变量x的取值范围.(2)当点M在边AB上,且四边形 BCDM的面积等于 DCN面 积的4倍时,求x的值.(3)过点 M作MELAC,垂足为点 E.当点M在射线AB上移动时,线段DE的长是否会

25、改变？请证实你的结论.4. 在 RtA ABC 中,/ C=90°, / A=300, AB=4,将一个 300 角 的顶点P放在AB边上滑动,保持300角的一边平行于 BC,且交边AC于点.巳30°角的另一边交射线 BC于点D,联结ED.(1)如图1,当四边形PBDE为等腰梯形时,求 AP的长；(2)四边形PBDE有可能为平行四边形吗？假设可能,求出 PBDE为平 行四边形时AP的长；假设不可能,说明理由；(3)假设D在BC边上(不与B、C重合),试写出线段 AP取值范围.<<<<<<精品资料?»»»

26、87;<<<<<<精品资料?»»»»5. 在梯形 ABCD 中,AD/BC, AB=CD=AD =5cm, BC=11cm,点 P 从点 D 出发沿DA边以每秒1cm的速度移动,点Q从点B出发,沿BC边以每秒2cm的速度移动(当点P到达点A时,点P与点Q同时停止移动),假设点P移动的时间为x(秒),四边形ABQP的面积为y (平方厘米).(1)求y关于x的函数解析式,并写出它的定义域；(2)在移动的过程中,求四边形ABQP的面积与四边形 QCDP 的面积相等时x的值；(3)在移动的过程中,是否存在 x使得PQ=AB,假

27、设存在求出 所有的x的值,假设不存在请说明理由6.如图,平面直角坐标系中,O是坐标原点,正比例2函数y=kx ( x为自变重)的图像与双曲线 y = 一一交于点A ,且点 xA的横坐标为-4.(1)求k的值；(2)将直线y=kx (x为自变量)向上平移 4个单位得到直线 BC, 直线BC分别交x轴、y轴于B、C,如点D在直线BC上,在平面直 角坐标系中求一点 P,使以O、B、D、P为顶点的四边形是菱形.7. 如图1,直线y = -2x+12分别与x轴、y轴交于点A、B, 点C是线段AB的中点,点D在线段OC上,点D的纵坐标为4.(1)求点C的坐标和直线 AD的解析式；(2) P是直线AD上的点

28、,请你找一点 Q,使以O、A、P、Q这四个点为 顶点的四边形是菱形,写出所有满足条件的点Q的坐标.<<<<<<精品资料?»»»»<<<<<<精品资料?»»»»猜测证实【要点导航】此类问题通常由一个特殊图形到一般情况,引出一系列探究的问题.经历对一些命题 和结论的猜测、证实、推广的过程,体会知识之间的内在联系,感受特殊到一般、数形结证实合等数学思想,对学生的想象、思维、归纳、分析都有较高的要求.此类题目变式多,方式也不尽相同,可以说是精彩纷呈.借

29、题发挥,拓宽视野,这样做不仅有助于学生综合而灵活的运用知识,而且能不断提升学生独立探究问题解决的水平,更有助于培养学生思维的深刻性与批判性.【典例精析】例1 如图1 ,点D在AC上,AABC和 ADE都是等腰直角三角形,点M为EC的中点.(1)求证： BMD为等腰直角三角形.(2)将 ADE绕点A逆时针旋转45°,如图2, (1)中的“ BMD为等BA D腰直角三角形是否仍然成立？请说明理由.(3)将&ADE绕点A逆时针旋转135°,如图3, (1)中的“ ABMD为等腰直角三角形成立吗？(不用说明理由)(4)我们是否可以猜测,将AADE绕点A任意旋转一定的角度,如

30、图 4, (1) 中的“ ABMD为等腰直角三角形均成 立？R思路分析图1B图3图41 .利用直角三角形斜边中线性质和三角形的内外角和定理不难证实DM与BM垂直且相等.2 .将4ADE绕点A转过45 口或135口时,加倍延长 DM ,可构造出全等三角形,再利 用等腰三角形三线合一的性质可证实ABMD为等腰直角三角形.3 .将4ADE绕点A任意旋转一定的角度时, 可以D、M、B为顶点构造正方形再证实 BMD为等腰直角三角形.<<<<<<精品资料?»»»»<<<<<<精品资料?»

31、;»»»例2 点A、B、C在同一直线上,在直线 AC的同侧作AABE和ABCF ,连接AF,CE.取 AF、CE 的中点 M、N,连接 BM , BN, MN .1假设AABE和AFBC是等腰直角三角形,且 NABE =/FBC =90° 如图1,那么AMBN 是 三角形.(2)在 MBE 和 ABCF 中,假设 BA=BE, BC=BF,且/ABE =/FBC =口,(如图 2),那么AMBN是三角形,且. MBN =(3)假设将(2)中的AABE绕点B旋转一定角度,如图3,其他条件不变,那么2)中的结论是否成立?假设成立,给出你的证实；假设不成立,写

32、出正确的结论并给出证实.R思路分析1. AABF和 EBC可看作绕点B旋转90 °后可重合的两个三角形,BM和BN是对应斜 边上的中线,夹角为 90.,所以AMBN是等腰直角三角形.2. / MBN可看作是两个全等三角形 ABF和 EBC对应边上的中线,它们的夹角/ MBN和对应边的夹角/ ABE和/ FBC相等.3. 要证实/ MBN和/ FBC相等,只要证实/ FBM和/ CBN相等,所以要证实 MFB 和 NCB全等.1. 如图1,四边形ABCD,将顶点为A的角绕着顶点 A顺时针旋转,假设角的一条边与DC的延长线交于点F,角的另一条边与 CB的延长线交于点 E,连接EF.<

33、;<<<<<精品资料?»»»»<<<<<<精品资料?»»»»(1)假设四边形 ABCD为正方形,当/EAF=45°时,有EF=DFBE.请你思考如何证实这个结论(只思考,不必写出证实过程)；1(2)如图 2,如果在四边形 ABCD 中,AB=AD , ZABC=Z ADC=90 ,当/ EAF= - / BAD 2时,EF与DF、BE之间有怎样的数量关系？请写出它们之间的关系式(只需写出结论)；1(3)如图3,如果四边形 ABCD中,AB=AD, / ABC与/ ADC互补