一元函数积分求法的技巧性

1、摘 要本文论述了求解一元函数积分的若干方法,使我们在解决积分问题时,可以根据具体情况,采用适当、有效的解题方法,解决许多计算繁琐的积分问题.解决好定积分与不定积分计算问题,是为更好地解决反常积分、含参变量积分、重积分以及曲线曲面积分等积分推广奠定坚实的基础.积分发展的动力来自于实际应用中的需求,它的思想萌芽可追溯到古希腊时期用以求面积和体积的穷竭法,此后,莱布尼兹通过无穷多个无穷小之和用以计算积分,直至今日,对于积分求法的技巧仍在不断的探究之中.本文在前人刻苦钻研、精益求精的基础上,从一般方法到特殊解法,再由技巧指导到具体例题的应用,由浅入深,逐渐剖析积分求解的技巧性.与此同时,在将积分与其他

2、学科间知识,加以整合并得出新意解法的过程中,不仅锻炼了我们整合、归纳知识的能力,同时也促进了我们对学科间知识的灵活运用,使我们在自主学习、逻辑思维等方面获益匪浅.关键词: 一元函数积分，解题技巧，特殊方法Unary function integration method for finding the skillAbstract: This paper discusses several methods for solving integral functions of one variable, so that when we solve the integration problem, d

3、epending on the circumstances, the use of appropriate problem-solving approach to solve many complicated computing problems. Solve the problem of indefinite integral and definite integral, integral to better address the anomaly, with one variable calculus, integral and important points, such as the

4、problem of integral curves and surfaces of the foundation. For the integration problem solving skills, our country and it is many foreign scholars have been thoroughly explored. Based on the previous assiduously, on the basis of excellence, from the general to the particular method of solution, then

5、 directed by the application of techniques to specific examples, deep integration analysis gradually solving skill. At the same time, the integration between knowledge of other disciplines, integrate and draw innovative solution in the process, not only exercise our integration, the ability to gener

6、alize the knowledge, but also to promote flexibility in the use of our inter-disciplinary knowledge, so that we benefit in terms of learning, logical thinking and so on.Keywords: Unary function integral, Common Solution, Special Skills, Other Solution目 录一、引言1二、不定积分的若干解题技巧1（一）利用定义求不定积分1（二）利用直接积分法求不定积

7、分2（三）利用换元积分法求不定积分21第一换元积分法22第二换元积分法3（四）利用分部积分法求不定积分51“降幂”分部积分法52“降幂”积分法矩阵积分法63“升幂”分部积分法7三、定积分的若干解题技巧8（一）利用定义求定积分8（二）利用牛顿莱布尼茨公式求定积分9（三）利用换元积分法求定积分10（四）利用分部积分法求定积分11（五）特殊方法求定积分121利用函数的奇偶性和被积区间的对称性求定积分122利用周期函数的积分性质求定积分133利用三角函数的特殊性质求定积分144利用泰勒级数求定积分的值15四、结束语16五、参考文献17一、引言积分是微积分学在数学分析里的一个核心概念,研究一元函数积分求

8、法的技巧性的目的是:通过对一元函数积分求法的探讨,一方面可以培养学生的逻辑思维和归纳总结能力;另一方面有利于我们根据具体情况,采用恰当有效的方法解决一些繁琐的积分计算问题.积分学源于求曲线形的面积、弧长和立体体积等几何问题.积分发展的动力来自于实际应用中的需求,正如实际操作中,当我们要计算如卵形、抛物型或更加不规则的形状面积时,就需要利用积分来求出面积或容积.又如物理学中,常常需要知道一个物理量（比如位移）对另一个物理量（比如力）的累积效果,这时也需要利用积分进行计算.同时,一元函数积分作为积分推广的基础,更加需要我们灵活地掌握其积分求法的技巧性,从而,有效地解决实际应用中面临的积分问题.因此

9、,对于积分求法的技巧极具研究探讨价值.二、不定积分的若干解题技巧（一）利用定义求不定积分利用不定积分的定义来求不定积分，关键在于能够找到的一个原函数.定义 设是函数的一个原函数，则的全部原函数成为的不定积分，记做，即（为常数).例题 1 设，求.解: 积分和求导互为逆运算，所以它们有如下关系: . 由已知, 则.(二)利用直接积分法求不定积分直接积分法是建立在不定积分基本积分公式和不定积分线性运算法则之上的.求解不定积分的一般思路是:先将被积函数转化为若干简单函数的和,然后应用不定积分的线性运算法则和不定积分基本公式来求解.例题 2 求不定积分.解: 对要求的不定积分进行变形，直到可以简单地利

10、用基本积分公式. .（三）利用换元积分法求不定积分换元积分法也称凑微分法.分为第一换元积分法和第二换元积分法,第一换元积分法和第二换元积分法在数学形式上互成逆反形式,在实际使用时,则以新得到积分比原来的积分“更易积分”作为选择方式的原则.1第一换元积分法利用基本积分公式和积分性质可求得一些函数的原函数,但只有这样远不能解决问题,如就无法求出,必须将它进行变形,然后利用基本积分公式求出其积分.定理 设的原函数,可导，则有换元公式:.注意 1.常见的凑微分,有: 2.凑微分法就是把被积式子中的某一部分看成一个整体,而把被积式子凑成关于这个整体的积分公式.例题 3 求不定积分.解: 当被积函数是三角

11、函数的乘积时,拆开奇次幂的项进行凑微分. 于是 .2第二换元积分法定理 设是单调,可导函数,且,设具有原函数,则 其中是的反函数.（1）三角代换法:以三角式换去消去二次根式,一般这种方法称为三角代换法.一般的,根据被积函数的根式类型,常用的变换如下: 被积函数中含有,令或; 被积函数中含有,令或; 被积函数中含有,令或.例题 4 求不定积分.解: 令,则 回代 得 .（2）倒代法对于某些被积函数，若分母中含有因子时，可做倒代换，即令:,从而可得出积分.一般在当有理分式函数中的分母的阶数数较高时常使用.例题 5 求不定积分.解: 令,则,则 . （3）去根号法当被积函数中含有与时,可令;其中为的

12、最小公倍数.例题 6 求不定积分.解: 令,即做变量代换,从而, 故 .例题 7 设,求.解:设 ,则 .（四）利用分部积分法求不定积分定理 设函数均具有连续导数,则由两个函数乘法的微分法则可得:或者:两边积分得:称这个公式为分步积分公式.1“降幂”分部积分法一般地，对于形如、的不定积分（其中是一个关于的次多项式）,作如下处理:“令再把被积函数中出现的指数函数、三角函数选为分部积分公式中的,进行分部积分,这样就能使多项式因式的次数逐渐降低.” 这里不妨称之为“降幂”分部积分法.例题 8 计算 其中.解:令 ,则 故 , .2“降幂”积分法矩阵积分法形如 ,的不定积分是我们经常遇到的类型,通常通

13、过分部积分法可以最终计算出积分值,但如若被积函数中的次数过高,计算起来将会相当繁琐.事实上,对于上述积分,如若的次数较高,多次分部过程中我们可以得到一系列的函数: 函数序列一: 函数序列二: 通过观察，对于序列一中的函数,满足 ,而序列二中的函数则满足 .基于这种规律性,对分步积分法重新认识,归纳为如下的矩阵积分法:形如 的不定积分,基于分部积分法,我们可以得到以下一系列的函数: 函数序列一: 函数序列二:将函数序列一,函数序列二分别作为矩阵的第一行,第二行元素,构造一个辅助矩阵,便可轻松地得到此类型积分的最终结果.例题 9 求积分.解: 令,作如下辅助矩阵: 将矩阵第二行扣除第一个元素“”,

14、将第一行元素与第二行的元素按照规则“”进行“斜线相乘”,再取代数和便可得到最终结果.即 .例题 10 求积分.解:令 ,作如下辅助矩阵: ; 即 .3“升幂”分部积分法一般地,如、等不定积分（其中是一个关于的次多项式,为正整数）,作如下处理:“令,为被积函数中的另一超越函数因子,进行分部积分,此后,在新的积分中,升幂为次的多项式,就变为无理根式或有理根式.”这里不妨称之为“升幂”分部积分法.例题 11求不定积分.解: .三、定积分的若干解题技巧（一）利用定义求定积分定义1 设闭区间上有个点,依次为 ,它们把分成个小区间，.这些分点或这些闭子区间构成对的一个分割,记为 或 .小区间的长度为,并记

15、 ,称为分割的模.定义2 设是定义在上的一个函数.对于的一个分割,任取点,并作和式 称此和式为函数在上的一个积分和,也称黎曼和.定义3 设是定义在上的一个函数,是一个确定的实数.若对任给的正数,总存在某一正数,使得对的任何分割,以及在其上任意选取的点集,只要,就有 ,则称函数在区间上可积或黎曼可积;数称为在上的定积分或黎曼积分,记作 其中,称为被积函数,称为积分变量,称为积分区间,分别称为这个定积分的下限和上限.例题 12 若在上可积，并且，则存在的子区间，使得对任意有.证明 若对任意的子区间,存在,;在中插入个分点,记 ,分法记为.在中取使得,则,故,即 ,与已知矛盾,即证结论.（二）利用牛

16、顿莱布尼茨公式求定积分牛顿莱布尼兹公式不仅为定积分计算提供了一个有效的方法,而且在理论上把定积分与不定积分联系了起来.利用牛顿莱布尼兹公式计算定积分时,要求被积函数存在原函数且被积函数是连续函数.定理 若函数在上连续,且存在原函数,即 ,则在上可积,且 .上式称为牛顿莱布尼茨公式,它也常写成或写成 . 例题 13 设是上的多项式函数,则.证明 因为是上的多项式函数,所以也是上的多项式函数,从而在有界,即 存在,使得任意,都有,则, 而 , 所以 ,.（三）利用换元积分法求定积分定理 若函数在上连续,在可积,且满足,则有定积分换元公式: .例题 14 证明 .证明 令，则 即 ;在 中， 令 ，

17、则 即 所以 .例题 15 求定积分 的值.解: 令时,则在连续, 设,得 设,有 所以 .（四）利用分部积分法求定积分定理 若为上的可微函数,且都在上可积,则有定积分分步积分公式: . 例题 16 计算 .解: .例题 17 计算积分 .解: 所以 ,；其中， ， ，（五）特殊方法求定积分1利用函数的奇偶性和被积区间的对称性求定积分在对称区间上求定积分,首先要考虑被积函数的奇偶性.设在上连续,则证: .证明 令积分式中,则 若为奇函数,则，故 若为偶函数,则，故.有时,利用函数的奇偶性和被积区间的对称性来解决定积分问题,往往能够达到事半功倍的效果.当所求的定积分的积分区间是对称的,那么我们首

18、先就要考虑到被积函数的奇偶性,进而可以根据奇偶函数在对称区间上的积分的性质,对计算进行相应的简化. 例题 18 求定积分.解： 由于是偶函数，为奇函数， 于是， .2利用周期函数的积分性质求定积分设在可积,且是以为周期的周期函数,为任意实数,则必有.证明 令,得 故.当被积函数是一个周期函数时,应将积分区间巧妙地进行分段,做必要的替换,适当的简化运算.例题 19 计算及（是正整数）.解: 由于是以为周期的函数,故 当为奇数时,是奇函数,当为偶数时,是偶函数,故 当为奇数时; 当时, 特别地,当即时,由于是偶函数,且 是以为周期的函数,故 ,; 于 中做换元,令 ,则 因此,当为奇数时;当为偶数时结果也与一样, 特别地,.3利用三角函数的特殊性质求定积分巧妙运用三角函数的一些特殊性质通常可以将定积分计算简化.三角函数的一些特殊性质,如,等等.结论:.证明 令,则 即 在 中,令,则即 故 . 例题 20 计算积分 . 解: 由三角函数的特殊性质: 知可以将被积函数化简为关于的形式,可以直接利用上面的结论. 于是,有 .4利用泰勒级数求定积分的值当计算、等广义积分时,我们通常无法用求不定积分的方法来求得