2_三角形等高模型与鸟头模型：知识例题精讲

1、三角形等高模型与鸟头模型例题精讲板块一三角形等高模型我们已经知道三角形面积的计算公式：三角形面积底高2从这个公式我们可以发现：三角形面积的大小,取决于三角形底和高的乘积.如果三角形的底不变,高越大 小,三角形面积也就越大小；如果三角形的高不变,底越大 小,三角形面积也就越大小；这说明当三角形的面积变化时,它的底和高之中至少有一个要发生变化.但是,当三角形的底和高同时发生变化时,三角形的面积不一定变化.比方当高变为原来的3倍,底变为原来的 1,那么三角形面积与原来的一3样.这就是说：一个三角形的面积变化与否取决于它的高和底的乘积,而不仅仅取决于高或底的变化.同时也告诉我们：一个三角形在面积不改变

2、的情况下,可以有无数多个不同的形状.在实际问题的研究中,我们还会常常用到以下结论:等底等高的两个三角形面积相等；两个三角形高相等,面积比等于它们的底之比； 两个三角形底相等,面积比等于它们的高之比； 如左图S : S2 a:bABC D夹在一组平行线之间的等积变形,如右上图Sa acdSa BCD ；反之,如果sAacdSAbcd ,那么可知直线 AB平行于CD .ACDBCD等底等高的两个平行四边形面积相等长方形和正方形可以看作特殊的平行四边形；三角形面积等于与它等底等高的平行四边形面积的一半；两个平行四边形高相等,面积比等于它们的底之比；两个平行四边形底相等,面积比等于它们的高之比.【例1

3、】你有多少种方法将任意一个三角形分成：3个面积相等的三角形； 4个面积相等的三角形； 6个面积相等的三角形.【例2】如图,BD长12厘米,DC长4厘米,B、C和D在同一条直线上. 求三角形ABC的面积是三角形 ABD面积的多少倍？ 求三角形ABD的面积是三角形 ADC面积的多少倍?D C【例3】如右图,ABFE和CDEF都是矩形,AB的长是4厘米,BC的长是3厘米,那么图中阴影局部的面 积是 平方厘米.【例4】如图,长方形ABCD的面积是56平方厘米,点E、F、G分别是长方形 ABCD边上的中点,H为AD 边上的任意一点,求阴影局部的面积.2【例5】长万形ABCD的面积为36 cm, E、F、

4、G为各边中点,H为AD边上任意一点,问阴影局部面积 是多少？【例6】长方形ABCD的面积为36, E、F、G为各边中点,H为AD边上任意一点,问阴影局部面积是 多少？【例7】如右图,E在AD上,AD垂直BC, AD 12厘米,DE 3厘米.求三角形ABC的面积是三角形 EBC 面积的几倍？A例8如图,在平行四边形 ABCD中,EF平行AC,连结BE、AE、CF、BF那么与VBEC等积的三角形一 共有哪几个三角形？【例9】第四届“迎春杯试题如图,三角形ABC的面积为1,其中AE 3AB , BD 2BC ,三角形BDE 的面积是多少？【例10】2022年四中考题如右图,AD DB,AE EF F

5、C ,阴影局部面积为 5平方厘米,ABC平方厘米.的面积是【例11】 如图ABCD是一个长方形,点 E、F和G分别是它们所在边的中点.如果长方形的面积是36个平方单位,求三角形 EFG的面积是多少个平方单位.【例12如图,大长方形由面积是 12平方厘米、24平方厘米、36平方厘米、48平方厘米的四个小长方形组合而成.求阴影局部的面积.【例13如图,三角形ABC中,DC 2BD , CE3AE ,三角形ADE的面积是20平方厘米,三角形ABC的面积是多少?【例14】2022年第七届“希望杯"二试六年级如图,在三角形 ABC中,三角形 ADE、三角形DCE、三角形BCD的面积分别是 89

6、, 28, 26.那么三角形 DBE的面积是 【例15】第四届?小数报?数学竞赛如图,梯形ABCD被它的一条对角线 BD分成了两局部.三角形15分米,【例16】 图中VAOB的面积为15cm2,线段OB的长度为 OD的3倍,求梯形 ABCD的面积.BDC的面积比三角形 ABD的面积大10平方分米.梯形的上底与下底的长度之和是 它们的差是5分米.求梯形 ABCD的面积.【解析】在 VABD 中,由于 SVAOB 15cm2,且 OB 3OD ,所以有 8VAOD SVAOB 3 5cm2.由于VABD和VACD等底等高,所以有 Svabd Svacd .222从而 Svocd 15cm,在 VB

7、CD 中,Svboc 3Svocd 45cm,所以梯形面积：15 5 15 45 80( cm).【例17如图,把四边形 ABCD改成一个等积的三角形.【例18第三届“华杯赛初赛试题一个长方形分成4个不同的三角形,绿色三角形面积占长方形面积的15%,黄色三角形面积是 21cm2.问：长方形的面积是多少平方厘米？【例19O是长方形ABCD内一点, OBC的面积是5cm2 , OAB的面积是2cm2 ,求 OBD的面【例20】如右图,过平行四边形 ABCD内的一点P作边的平行线 EF、GH ,假设 PBD的面积为8平方分米,求平行四边形 PHCF的面积比平行四边形 PGAE的面积大多少平方分米？【

8、例21】如右图,正方形 ABCD的面积是20,正三角形 BPC的面积是15,求阴影 BPD的面积.【例22】在长方形ABCD内部有一点O ,形成等腰 AOB的面积为16,等腰 DOC的面积占长方形面积的18% ,那么阴影 AOC的面积是多少？【例23】2022年“陈省身杯国际青少年数学邀请赛六年级如右图所示,在梯形 ABCD中,E、F2 cm分别是其两腰 AB、CD的中点,G是EF上的任意一点, ADG的面积为15cm1而BCG的面积恰好是梯形 ABCD面积的,那么梯形ABCD的面积是20【例2例AD如下图,四边形 ABCD与AEGF都是平行四边形,请你证实它们的面积相等.【例25如图,正方形

9、ABCD的边长为6, AE 1.5, CF 2.长方形EFGH的面积为【例26如图,ABCD为平行四边形,面积.【例27】图中两个正方形的边长分别是【例28如图,有三个正方形的顶点厘米,求阴影局部的面积.D、G、K恰好在同一条直线上,其中正方形GFEB的边长为10EF平行AC,如果VADE的面积为4平方厘米.求三角形 CDF的6厘米和4厘米,那么图中阴影局部三角形的面积是多少平方厘米.DC【例29】2022年“华杯赛决赛右图中,ABCD和CGEF是两个正方形,AG和CF相交于H ,CH等于CF的三分之一,三角形 CHG的面积等于6平方厘米,求五边形 ABGEF的面积.【例30】第八届小数报数学

10、竞赛决赛试题如下列图,E、F分别是梯形 ABCD的下底BC和腰CD上的点,DF FC,并且甲、乙、丙 3个三角形面积相等.梯形 ABCD的面积是32平方厘米.求图 中阴影局部的面积.【例31 如图,长方形 ADEF的面积16,三角形ADB的面积是3 ,三角形ACF的面积是4,那么 三角形ABC的面积是多少？【例3例如图,在平行四边形【例33】D BFCABCD 中,BE EC , CF2FD .求阴影面积与空白面积的比.第七届“小机灵杯数学竞赛五年级复赛如下图,三角形 ABC中,D是AB边的中点,E是AC边上的一点, 且AE 3EC , O为DC与BE的交点.假设 CEO的面积为a平方厘米,

11、BDO的面积为b平方厘米.且b a是2.5平方厘米,那么三角形 ABC的面积是 平方厘米.【例34如图,在梯形 ABCD中,AD : BE 4:3 , BE :EC 2:3 ,且 BOE的面积比 AOD的面积小10平方厘米.梯形 ABCD的面积是 平方厘米.【例35】如右图所示,在长方形内画出一些直线,边上有三块面积分别是13, 35, 49 .那么图中阴影局部的面积是多少？【例36】图中是一个各条边分别为 5厘米、12厘米、13厘米的直角三角形. 将它的短直角边对折到斜边上去与斜边相重合,那么图中的阴影局部即未被盖住的局部的面积是多少平方厘米？【例37如图,长方形 ABCD的面积是2平方厘米

12、,EC 2DE , F是DG的中点.阴影局部的面积是【例38】2022年六年级希望杯二试试题如图,三角形田地中有两条小路 AE和CF ,交叉处为D,张大伯常走这两条小路, 他知道DF DC ,且AD 2DE .那么两块地ACF和CFB的面积比是 .【例3例2022年第一届“学而思杯综合素质测评六年级2试如图,BC 45 , AC 21 , ABC被分成9个面积相等的小三角形,那么DI FK【例40】2022年人大附中分班测试题 的中点,甲、乙、丙面积和为ABC为等边三角形,面积为 400, D、E、F分别为三边 143,求阴影五边形的面积.丙是三角形HBC 【例41】2022年四中入学测试题

13、如图, CD 5 , DE 7 , EF 成两局部,左边局部面积是38,右边局部面积是 65,那么三角形15 , FG 6 ,线段AB将图形分 ADG的面积是.【例42 2022年仁华考题如图,正方形的边长为 10,四边形EFGH的面积为5,那么阴影局部的面积 是.【例43】2022年走美六年级初赛如下图,长方形 ABCD内的阴影局部的面积之和为70, AB 8,AD 15 ,四边形 EFGO的面积为【例44清华附中分班测试题如图,如果长方形 ABCD的面积是56平方厘米,那么四边形 MNPQ的面积是多少平方厘米？【例45】2022年日本第12届小学算术奥林匹克大赛初赛 如图,阴影局部四边形的

14、外接图形是边长为10cm的正方形,那么阴影局部四边形的面积是 cm2.【例46如图,三角形 AEF的面积是17, DE、BF的长度分别为11、3.求长方形ABCD的面积.【例47】2022年第二届两岸四地华罗庚金杯数学精英邀请赛如图,长方形 ABCD中,AB 67 ,BC 30 . E、F分别是AB、BC边上的两点,BE BF 49 .那么,三角形 DEF面积的最小值是.【例48】2022首届全国资优生思维水平测试 ABCD是边长为12的正方形,如下图,P是内部任意一点,BL DM 4、BK DN 5 ,那么阴影局部的面积是 .【例49如下图,在四边形 ABCD中,E , F , G , H分

15、别是ABCD各边的中点,求阴影局部与四边形PQRS的面积之比.【例 50 如图,四边形 ABCD 中,DE:EF:FC 3:2:1, BG : GH : AH 3: 2:1 , AD : BC 1:2, 四边形ABCD的面积等于4,那么四边形EFHG的面积 .【例51】2022年日本小学算数奥林匹克大赛决赛 有正三角形ABC,在边AB、BC、CA的正中间分别取点L、M、N ,在边AL、BM、CN上分别取点 P、Q、R ,使LP MQ NR ,当PM和RL、PM和QN、QN和RL的相交点分别是 X、Y、Z时,使XY XL .这时,三角形 XYZ的面积是三角形 ABC的面积的几分之几？请写出思考过

16、程.【例52 如图：在梯形 ABCD中,上底是下底的2 ,其中F是BC边上任意一点,三角形 AME、3角形BMF、三角形NFC的面积分别为14、20、12.求三角形NDE的面积.ABCD 是梯形,AD/BC, AD : BC 1:2, S aof ：S doe 1:3 , S bef 24cm2 ,求【例53如图,AOF的面积.【例54】2022年迎春杯决赛高年级组 如图,ABCD是一个四边形,M、N分别是AB、CD的中点.如果 ASM、 MTB与 DSN的面积分别是6、7和8,且图中所有三角形的面积均为整数,那么四边形 ABCD的面积为 .板块二鸟头模型两个三角形中有一个角相等或互补,这两个

17、三角形叫做共角三角形.共角三角形的面积比等于对应角相等角或互补角两夹边的乘积之比.如图在 ABC中,D,E分别是 AB,AC上的点如图 或D在BA的延长线上, E在AC上,贝 U Sa ABC : Sa ade AB AC: AD AE图【例55 如图在 4ABC中,D,E分别是 AB,AC上的点,且 AD : AB 2:5, AE : AC 4:7, 4ADE 16 平方厘米,求 ABC的面积.【例56 如图在 ABC中,D在BA的延长线上,E在AC上,且 AB:AD 5: 2 ,AE : EC 3: 2 , Sa ade 12平方厘米,求 ABC的面积.【例57如下图,在平行四边形 ABC

18、D中,E为AB的中点,AF 2CF ,三角形AFE图中阴影局部的面积为8平方厘米.平行四边形的面积是多少平方厘米？A上 EC【例59如图,三角形 ABC的面积为3平方厘米,其中 AB:BE面积是多少？A-BABECDD【例60】2022年“走美"五年级初赛试题如下图,正方形1_ 一、一,CF -BC .三角形DEF的面积为 平方厘米.32:5 , BC :CD 3: 2 ,三角形 BDE 的1ABCD边长为 6厘米,AE 1 AC ,3【例58】4DEF的面积为7平方厘米,BE CE, AD 2BD,CF 3AF ,求4ABC的面积.【例61 如图,三角形 ABC面积为1 ,延长AB至D ,使BD AB ;延长BC至E ,使CE 2BC ; 延长CA至F ,使AF 3AC ,求三角形 DEF的面积.【例62如图,平行四边形 ABCD , BE AB, CF 2CB , GD 3DC , HA 4AD ,平行四边形 ABCD【例63如图,四边形 EFGH的面积是66平方米,EA AB , CB BF , DC CG , HD DA,求四边形ABCD的面积.F【例64如图,将四边形 ABCD的四条边AB、CB、CD、A