32840_《函数的基本性质》文字素材1(新人教A版必修1)

1、高考数学基础知识复习：基本函数 1 1 知识清单：1. 一元一次函数：y =ax b(a = 0)，当 a 0 时，是增函数；当a. 0 时，是减函 数；2. 元二次函数：2一般式：y =ax2 bx c(a严0);对称轴方程是x;顶点为(.丄,4ac-b)；2a2a 4a两点式：y = a(x - xj(x-X2);对称轴方程是；与x轴的交点为；顶点式：y二a(x k)2 h；对称轴方程是；顶点为；一元二次函数的单调性：当 a 0 时：为增函数；为减函数；当 a：0 时：为增函数；为减函数；二次函数求最值问题：首先要采用配方法，化为y =a(x k)2 h的形式，(I)、若顶点的横坐标在给定

2、的区间上，则当 a 0 时：在顶点处取得最小值，最 大值在距离对称轴较远的端点处取得；当 a：0 时：在顶点处取得最大值，最小 值在距离对称轴较远的端点处取得；(n)若顶点的横坐标不在给定的区间上， 则当 a 0 时：最小值在距离对称轴较近 的端点处取得，最大值在距离对称轴较远的端点处取得；当a0 时：最大值在 距离对称轴较近的端点处取得，最小值在距离对称轴较远的端点处取得；二次方程实数根的分布问题：设实系数一元二次方程f (x)二ax2 bx c = 0的两根为xi ,x2;则:根的情 况等价命 题在区间(k,址)上有两根在区间(,k)上有两根在区间(k,畑)或(4,k)上有一根充要条 件a

3、 f(k)0另外:二次方程 f(x)=0 的一根小于 p,另一根大于 q(pq)=a f(P)：0a f (q) cC。2二次方程 f(x)=0在区间(p,q)内只有一根二 f(p) -f(q)0或 f(q)=(检验)。a f(p)o3若在闭区间m,n讨论方程f(x) =0有实数解的情况，可先利用在开区间(m, n)上实根分布的情况，得出结果，在令x=n和x = m检查端点的情况。注:常见的初等函数一次函数，二次函数，反比例函数，指数函数，对数函数。特别指出，分段函数也是重要的函数模型。3.指数函数：y X(a 0,a 1)，定义域 R，值域为(0,：).当a 1，指 数函数：y =ax在定义

4、域上为增函数；当 0：a：1，指数函数：y“x在定义域 上为减函数当 a 1 时，y=ax的a值越大，越靠近 y 轴；当 0y1 时，则相反.4. 对数函数：如果a(a0,a =1)的b次幕等于N，就是ab=N，数b就叫做以a为 底的N的对数，记作logaN二b(a . 0,a =1，负数和零没有对数)；其中a叫底数，N 叫真数.对数运算：例如：logax2=2logax(；2logax中 X0 而logaX2中 x R).y =ax(a 0, a严1) 与y =logax互为反函数.当 a 1 时，y =logax的a值越大，越靠近x轴；当 0：a：1 时，则相反.5. 幕函数(1) 幕函数

5、的定义：。(2) 幕函数的性质：1所有幕函数在上都有意义，并且图像都过点。2如果 a 0，则幕函数图像过原点，并且在区间上为增函数。3如果 a 0，则幕函数图像在 0,二 上是。在第一象限内，当x从右边趋向于 原点时，图像在 y 轴右方无限地逼近。当x趋向于匸：时，图像在 y 轴右方无限地逼近。4当a为奇数时，幕函数为，当a为偶数时，幕函数为，(3) 幕函数 y 二 xa,x 0, r，当 a 1 时，若0 x：1,其图像在直线 y 二 x 的下 方，若 x1，其图像在直线 y=x 的上方；当0 -a 1 (C)av 专或 a1(D)专 a 04. 设函数 f (x)=0, x= 0，则方程x

6、+1=(2x-1)x)的解为-1, X 05. 函数y=ax，1(a0，且 a=1)的图象必经过点()(A)(0, 1)(B)(1, 1)(C)(2, 0)(D)(2, 2)6.3 log72 - log79 2 log7(- )227. 设x, y,z (0,：)且3x= 4y=6：111求证:- 一;比较3x,4y,6z的大小.x 2y z8. 已知f (x) =1 logx3,g(x) =2logx2,试比较 f (x)和 g(x)的大小。9. 求函数 y JogMx2-3x-18)的单调减区间，并用单调定义给予证明。210. 求下列函数的定义域、值域：1y = I 才 -; y =lo

7、g1(-x2+4x + 5)V43211.已知函数y =xn22(n Z)的图象与两坐标轴都无公共点，且其图象关于 y 轴对称，求 n 的值，并画出函数的图象.典型例题1 1、解析式、待定系数法EGEG1 若 f x = x2bx c，且 f 1 =0, f 3 =0,求 f -1 的值.变式 1 1:若二次函数 fx- ax2bx c 的图像的顶点坐标为 2,-1 ,与 y 轴的交 点坐标为(0,11)，贝 UA.a =1,b - -4,c - -11 B. a=3,b =12,c=11C.a =3,b - -6,c =11D.a =3,b - -12,c =11变式 2 2:若 f (x)

8、=-x2+(b+2)x+3,xqb,c的图像 x=1 对称，则 c=_.变式 3 3:若二次函数 f x = ax2bx - c 的图像与 x 轴有两个不同的交点 A x1,0、Bg,。)，且xj+x?26，试问该二次函数的图像由f (x)=-3(x-1)2的图像向9上平移几个单位得到？2 2、图像特征EG2 将函数 f x=-3X2-6X，1 配方，确定其对称轴，顶点坐标，求出它的单 调区间及最大值或最小值，并画出它的图像.变式 1 1:已知二次函数 f x = ax2bx c，如果 f 为=f X2(其中为=X2)，则求 f X , g x 的单调区间；求 f X , g x 的最小值.变

9、式 1 1:已知函数 f X = X24ax 2 在区间一:：,6 内单调递减，则 a 的取值范 围是A. a_3B. a 乞 3C. a：3D. a 空 一 3变式 2 2:已知函数 f x =x2- a-1 x 5 在区间(,1)上为增函数，那么 f 2 的取 值范围是.变式 3 3:已知函数 f x =-X2 kx 在2,4上是单调函数，求实数 k 的取值范围.4 4.最值EG4 已知函数 f x = x -2x , g x = x -2xx 2,4.(1)求 f X , g X 的单调区间；求 f X , g X 的最小值.变式 1 1:已知函数 f X=X2-2x 在区间0,m上有最

10、大值 3,最小值 2,贝 U m 的取值范围是A. 1, ： B. I0,2 1C. 1,21D.-：,2变式 2 2:若函数 y =3 -x24 的最大值为M，最小值为 m，贝 U M+m 的值等于变式 3 3:已知函数 f x =4x2-4ax a2-2a 2 在区间0,2上的最小值为 3,求 a 的值.5 5.奇偶性A.% 上 C.cD.2a a4a变式 2 2:函数 f x = x2px q 对任意的么 f 0、f -1、f 1 的大小关系是A. f 1 f -1 = f 0 B. f 0 : f -1C. f 1 0 时，fx=xx .画 出函数 f x 的图像，并求出函数的解析式.

11、变式 1 1:若函数f X二m -1 X2 m2-1 X 1是偶函数，则在区间:,0 1 上 f x 是A.增函数 B.减函数 C.常数 D.可能是增函数，也可能是常数变式 2 2:若函数 f x 二 ax2 bx 3a b a -T 乞 x 空 2a 是偶函数，则点 a,b 的坐 标是.变式 3 3:设a为实数，函数f (x) =x2 | x-a| 1, xR .(I)讨论f(x)的奇偶性；(II) 求f(x)的最小值.6 6 图像变换f 2x+4x+3,0 时，方程f(x) =0只有一个实根；3y二f(x)的图象关于点(0, c)对称；4方程f (x) =0至多有两个实根.上述命题中正确的

12、序号为.7.值域EG7:求二次函数f(x) - -2x26x在下列定义域上的值域：定义域为xZ0Ex兰3； (2)定义域为【-2,1】.变式 1 1:函数 f (x -2x26x-2 x2 的值域是3 丨9 (9 A.卜20,丝B.(-20,4 )CI-20,9IDI-20,9I-2I 2I 2丿变式 2 2:函数 y=cos2x+sinx 的值域是_ .变式 3 3:已知二次函数 f(x)=ax2+bx (a、b 为常数，且 a0)，满足条件 f(1+x)=f(1 x)，且方程 f(x)=x 有等根.(1) 求 f(x)的解析式；(2)是否存在实数 m、n (m0，f(2+coscos)3;

13、(III) 若函数 f(sinsin：)的最大值为 8,求 b、c 的值.9 9.根与系数关系右图是二次函数 f x = ax2bx c 的图像，它与 x 轴交于点 x0 和 x2,0 , 试确定a,b, c以及x1x2,x-ix2的符号.变式 1 1:二次函数y = ax2 b与一次函数y =ax - b(a - b)在同一个直角坐标系的图像为二x23mx - 2m -3中至少有一条相交，则 m 的取值范围是.变式 3 3:对于函数 f(x),若存在 xoR R,使 f(xo)=xo成立，则称 xo为 f(x)的不动点.如 果函数f(x)=a/+bx+1 (a0)有两个相异的不动点 刘、刘、

14、X2.(I) 若 X11；(II) 若 | |刈刈 1围是1111A.(0,1)B.(o,3)C7 才D.7,1)3EG2EG2 若 loga ： 1(a 0 ,且a =1)，求实数a的取值范围.4、, ，”1+a2一 一. ，一一变式 1 1:若log2a1-0，则a的取值范围是()1+a111A. (一，：)B.(1,二)C. (一,1)D.(0,-)222变式 2 2:设0 :a：1，函数f (x) =loga(a2x-2ax-2)，则使f(x)：0的x的取值范围是(A)(-：,0)(B)(0,：)(C) (-：,loga3)(D)(loga3/:)变式 3 3:已知log1b：log1

15、a log1c，贝9()2 2 2A. 2b2a2cB.2a2b2cB.2c2b2aD.2c2a2b1313、幕函数EG.已知点2,2)在幕函数f(x)的图象上，点-2,丄，在幕函数g(x)的图象上.k 4丿问当 x 为何值时有：(1)f(x) g(x);(2)f(x)二g(x);(3)f(x)：g(x).分析：由幕函数的定义，先求出f(x)与g(x)的解析式，再利用图象判断即可.1变式：函数y =(mx2 4x m 2)4(mmx 1)的定义域是全体实数，则实数 m 的 取值范围是().A.(751,)B.(75_1,2)C.(/,)D.(175 1+卩)实战训练一、选择11 .设 a1,函

16、数f (x) =logax在区间a,2a上的最大值与最小值之差为 ，则a=A.2B.2C. 2 .2D.42函数y Jog?. x 4 2 (x 0)的反函数是()A.y =4x-2x(x2)B.y =4x2x d(x 1)C.y =4x-2x 2(x2)D.y =4x-2x 2(x1)3.设a, b, c均为正数，且2a=log1a, - = log1b, - =log2c,贝 U ()2V) 2丿A. a : b : cB. c：b：a C.c. a : bD. b：a : c114.设a，-1,1,-,3，则使函数y=x的定义域为 R 且为奇函数的所有：值为I2 J(A)1,3(B)-1

17、,1(C)-1,3(D)-1,1,35.以下四个数中的最大者是(A)(ln2)2(B)n(ln2)(C)lnwE (D)ln26 .函数f (x) =3x(：x2)的反函数的定义域为()A.(0, ：)B.(1,9C.(0,1)D.9,：)7.设函数f(x)定义在实数集上，它的图像关于直线x = 1 对称，且当 x 1 时，f(x3x-1,则有()132231A. )(?) f(#Bfq)3)，则其反函数的定义域为 _13. 为了预防流感，某学校对教室用药熏消毒法进行消毒.已知药物释放过程中, 室内每立方米空气中的含药量 y (毫克)与时间t(小时)成正比；药物释放完毕后，y 与t的函数关系式

18、为 y 二秸(a为常数)，如图所示.据图中提供的信息，回答下列问题：(I)从药物释放开始，每立方米空气中的含药量 y (毫克)(小时)之间的函数关系式为；(II) 据测定，当空气中每立方米的含药量降低到 0.25 毫 克以下y(毫克)时，学生方可进教室，那么，药物释放开始，至 过_小时后，学生才能回到教室.14若函数 f(x)二 e2(e是自然对数的底数)的最大值是m，且f(x)是偶函数，贝Um + A =_.三、解答1 .已知 a 是实数，函数f xi；=2ax2 2x一3 - a，如果函数y = f x在区间L 1,1 上有零点，求 a 的取值范围.2.2. 已知函数f(x)=ax4lnx bx4-c(x0)在 x=1 处取得极值-3-c，其中 a,b,c 为 常数。(1) 试确定 a,b 的值；(2) 讨论函数 f(x)的单调区间；(3) 若对任意 x0,不等式f(x)_-2c2恒成立，求 c 的取值范围。3.3. 已知函数f(x) =ex-kx,x R(I)若 k 二 e，试确定函数f(x)的单调区间；(n)若 k0，且对于任意 XE R R，f(x)