浙江省重点中学协作体2015届高三上学期第二次适应性数学试卷(理科)

1、浙江省重点中学协作体2015届高三上学期第二次适应性数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知P=x|2xk，xN，若集合P中恰有3个元素，则（）A5k6B5k6C5k6D5k62（5分）设f（x）=lg（+a）是奇函数，则使f（x）0的x的取值范围是（）A（1，0）B（0，1）C（，0）D（，0）（1，+）3（5分）一个几何体的三视图及其尺寸，如图所示，则该几何体的侧面积为（）A80B40C48D964（5分）在空间给出下面四个命题（其中m、n为不同的两条直线，、为不同的两个平面）m，nmnmn，nm

2、mn，n，mmn=A，m，m，n，n其中正确的命题个数有（）A1个B2个C3个D4个5（5分）已知f（x）=2x+3（xR），若|f（x）1|a的必要条件是|x+1|b（a，b0），则a，b之间的关系是（）ABCD6（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A1，5B2，6C3，10D3，117（5分）已知O为ABC的外心，|=16，|=10，若=x+y，且32x+25y=25，则|=（）A8B10C12D148（5分）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支一的任意一点，若的最小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是（）A（0，+）B（1，2CD（1，39（5分）若log4（x

3、+2y）+log4（x2y）=1，则|x|y|的最小值是（）A1BCD210（5分）已知等差数列an的公差d不为0，等比数列bn的公比q是小于1的正有理数若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于（）ABCD二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11（4分）阅读右侧程序框图，输出的结果i的值为12（4分）已知kZ，=（k，1），=（2，4），若|4，则ABC是直角三角形的概率是13（4分）已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为14（4分）已知cos（+）=，（0，），则sin（2）=15（4分）已知ABC中，=，|+|=2，且B，则的取值范围是16（4分）已知椭圆

4、的中心在坐标原点O，A，C分别是椭圆的上下顶点，B是椭圆的左顶点，F是椭圆的左焦点，直线AF与BC相交于点D若椭圆的离心率为，则BDF的正切值17（4分）在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，AD=kAC（k为常数，且0k1），BD=l为定长，则ABC的面积最大值为三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）如图，已知单位圆上有四点E（1，0），A（cos，sin），B（cos2，sin2），C（cos3，sin3）（0），分别设SOAC，SABC的面积为S1和S2（1）用sin、cos表示S1和S2；（2）求+的最大值及取最大值时的值

5、19（14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的值；（2）若B=，BC边上中线AM=，求ABC的面积20（15分）如图，在几何体SABCD中，AD平面SCD，BC平面SCD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，SDC=120°（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值；（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值21（15分）已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且经过点P（1，）过它的两个焦点F1，F2分别作直线l1与l2，l1交椭圆于A、B两点，l2交椭圆于C、D两点，且l1l2（）求椭圆的标准方程；（）求四边形ACBD的面积S的取值范围22（1

6、4分）设数列an的前n项和为Sn，已知a1=1，a2=6，a3=11，且（5n8）Sn+1（5n+2）Sn=An+B，n=1，2，3，其中AB为常数（1）求A与B的值；（2）证明：数列an为等差数列；（3）证明：不等式1对任何正整数m，n都成立浙江省重点中学协作体2015届高三上学期第二次适应性数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（5分）已知P=x|2xk，xN，若集合P中恰有3个元素，则（）A5k6B5k6C5k6D5k6考点：元素与集合关系的判断 专题：集合分析：根据P=x|2xk，xN

7、分析出元素的构成，再根据集合P中恰有3个元素判断出元素具体的值，最后根据xk写出k的取值范围解答：解：P=x|2xk，xN集合P表示从3开始的自然数要使集合P中恰有3个元素，则此3个元素即分别为：3，4，5又xkk的取值范围为5k6故选：C点评：本题考查元素与集合的关系，通过对集合中元素构成的特点及元素个数这个条件求参数的取值范围，属于基础题2（5分）设f（x）=lg（+a）是奇函数，则使f（x）0的x的取值范围是（）A（1，0）B（0，1）C（，0）D（，0）（1，+）考点：奇函数；对数函数的单调性与特殊点 分析：首先由奇函数定义，得到f（x）的解析式的关系式（本题可利用特殊值f（0）=0）

8、，求出a，然后由对数函数的单调性解之解答：解：由f（x）=f（x），即=，1x2=（2+a）2a2x2此式恒成立，可得a2=1且（a+2）2=1，所以a=1则即解得1x0故选A点评：本题主要考查奇函数的定义，同时考查对数函数的单调性3（5分）一个几何体的三视图及其尺寸，如图所示，则该几何体的侧面积为（）A80B40C48D96考点：由三视图求面积、体积 专题：空间位置关系与距离分析：先判断三视图复原的几何体的形状，结合三视图的数据，确定斜高，再求侧面积解答：解：三视图复原的几何体是正四棱锥，斜高是5，底面边长是8，侧面积为 ×4×8×5=80；故选：A点评：本题考

9、查由三视图求几何体的侧面积，考查空间想象能力，是基础题4（5分）在空间给出下面四个命题（其中m、n为不同的两条直线，、为不同的两个平面）m，nmnmn，nmmn，n，mmn=A，m，m，n，n其中正确的命题个数有（）A1个B2个C3个D4个考点：命题的真假判断与应用；平面与平面之间的位置关系 专题：综合题分析：根据线面垂直、线面平行的性质，可判断；由mn，nm或m可判断；根据两平行线中的一个垂直于平面，则另一个也垂直于平面及面面垂直的判定定理可判断由已知可得平面，都与直线m，n确定的平面平行，则可得，可判断解答：解：由线面垂直及线面平行的性质，可知m，n得mn，故正确；mn，nm或m，故错误根

10、据线面垂直的性质；两平行线中的一个垂直于平面，则另一个也垂直于平面可知：若mn，n，则m，又m，故正确由mn=A，m，n，m，n可得平面，都与直线m，n确定的平面平行，则可得，故正确综上知，正确的有故选C点评：本题的考点是间中直线一直线之间的位置关系，考查了线线平行与线线垂直的条件，解题的关键是理解题意，有着较强的空间想像能力，推理判断的能力，是2015届高考中常见题型，其特点是涉及到的知识点多，知识容量大5（5分）已知f（x）=2x+3（xR），若|f（x）1|a的必要条件是|x+1|b（a，b0），则a，b之间的关系是（）ABCD考点：绝对值不等式；必要条件、充分条件与充要条件的判断 专题

11、：计算题分析：化简|f（x）1|a得x化简|x+1|b得b1xb1，由题意可得（， ）（b1，b1），故b1，b1，由此求得a，b之间的关系解答：解：|f（x）1|a即|2x+2|a，即a2x+2a，即 x|x+1|b即bx+1b 即b1xb1|f（x）1|a的必要条件是|x+1|b（a，b0），（， ）（b1，b1），b1，b1，解得b，故选A点评：本题主要考查充分条件、必要条件、充要条件的定义，绝对值不等式的解法，属于中档题6（5分）设x，y满足约束条件，则取值范围是（）A1，5B2，6C3，10D3，11考点：简单线性规划的应用 专题：计算题；数形结合分析：再根据约束条件画出可行域，利用

12、几何意义求最值，只需求出直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0）时l0最小，k也最小为3即可解答：解：根据约束条件画出可行域，设k=1+，整理得（k1）x2y+k3=0，由图得，k1设直线l0=（k1）x2y+k3，当直线l0过A（0，4）时l0最大，k也最大为11，当直线l0过B（0，0）时l0最小，k也最小为3故选 D点评：本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值，属于基础题7（5分）已知O为ABC的外心，|=16，|=10，若=x+y，且32x+25y=25，则|=（）A8B10C12D14考点：平面向量数量积的运算 专题：计算题；平面向量及

13、应用分析：若=x+y，则=x+y，根据向量数量积的几何意义分别求出，后，得出关于x，y的代数式，利用32x+25y=25整体求解解答：解：如图若=x+y，则=x+y，由于O为外心，D，E为中点，OD，OE分别为两中垂线=|（|cosDAO）=|=|××|=16×8=128，同样地，=|2=100，所以2=128x+100y=4（32x+25y）=100，|=10故选B点评：本题考查三角形外心的性质、向量数量积的运算、向量模的求解本题中进行了合理的转化=x+y，并根据外心的性质化简求解8（5分）已知双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支一的任意一点，若的最

14、小值为8a，则双曲线离心率的取值范围是（）A（0，+）B（1，2CD（1，3考点：双曲线的简单性质 专题：计算题分析：由定义知：|PF1|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，=，当且仅当，即|PF2|=2a时取得等号再利用三线段长的关系，可求得双曲线的离心率的取值范围解答：解：双曲线的左右焦点分别为F1，F2，P为双曲线右支一的任意一点|PF1|PF2|=2a，|PF1|=2a+|PF2|，=，当且仅当，即|PF2|=2a时取得等号|PF1|=2a+|PF2|=4a|PF1|PF2|=2a2c，|PF1|+|PF2|=6a2c，e（1，3故选D点评：本题考查双曲线的性质和应用，解题时

15、要认真审题，注意基本不等式的合理运用9（5分）若log4（x+2y）+log4（x2y）=1，则|x|y|的最小值是（）A1BCD2考点：函数的最值及其几何意义 专题：函数的性质及应用分析：由函数的图象的对称性知，只考虑y0的情况即可，因为x0，所以只须求xy的最小值令xy=u代入x24y2=4中，由判别式大于或等于零求出u的最小值，即为所求解答：解：由题意可得，即 x24y2=4，即 y2=1，表示焦点在x轴上的双曲线，曲线关于x轴、y轴、原点都是对称的由函数的图象的对称性知，只考虑y0的情况即可，因为x0，所以只须求xy的最小值令xy=u代入x24y2=4中，有3y22uy+（4u2）=0

16、，yR，0，解得u当x=，y=时，u=，故|x|y|的最小值是故选：C点评：本小题主要考查函数与函数的图象，函数的最值，函数图象的对称性的应用，求函数的最值，属于中档题10（5分）已知等差数列an的公差d不为0，等比数列bn的公比q是小于1的正有理数若a1=d，b1=d2，且是正整数，则q等于（）ABCD考点：数列的应用 专题：综合题；等差数列与等比数列分析：确定的表达式，利用是正整数，q是小于1的正有理数，即可求得结论解答：解：根据题意：a2=a1+d=2d，a3=a1+2d=3d，b2=b1q=d2q，b3=b1q2=d2q2=是正整数，q是小于1的正有理数令=t，t是正整数，则有q2+q

17、+1=q=对t赋值，验证知，当t=8时，有q=符合题意故选C点评：本题主要考查等差数列和等比数列的通项公式的应用，特别是等比数列混合题，两者的内在联系很重要二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分11（4分）阅读右侧程序框图，输出的结果i的值为7考点：程序框图 专题：算法和程序框图分析：模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，i的值，当S=256时，满足条件S100，退出循环，输出i的值为7解答：解：模拟执行程序框图，可得S=1，i=3不满足条件S100，S=8，i=5不满足条件S100，S=256，i=7满足条件S100，退出循环，输出i的值为7故答案为：7点评：本题主要考查了程

18、序框图和算法，正确得到每次循环S，i的值是解题的关键，属于基础题12（4分）已知kZ，=（k，1），=（2，4），若|4，则ABC是直角三角形的概率是考点：平面向量数量积的坐标表示、模、夹角 专题：计算题；转化思想；综合法分析：由题意，=（k，1），|4由公式展开，根据kZ确定出向量的个数，然后求出向量的坐标，对三个角为直角的情况进行讨论，求出参数的可能取值，再计算概率解答：解：由题意=（k，1），|4，故有k2+116，又kZ，故有k的取值可能为3，2，1，0，1，2，3有七种，即这样的三角形有七个，又=（2，4），故向量=（2k，3），令，得2k+4=0解得k=2符合题意，令=0得2kk2

19、+3=0，解得k=3，或k=1，符合题意，令=0，得42k+12=0解得k=8，不符合题意故舍，故直角三角形的个数是3，ABC是直角三角形的概率是；故答案为：点评：本题考查平面向量的数量积运算，解题的关键是根据题设中的条件，判断出三角形的个数，及直角三角形的个数，再由等可能事件的概率公式求出概率本题是一个向量与概率相结合的综合题，注意总结两个知识点的衔接13（4分）已知球与棱长均为2的三棱锥各条棱都相切，则该球的表面积为2考点：球内接多面体；球的体积和表面积 专题：计算题；空间位置关系与距离分析：如图，将三棱锥放入棱长为的正方体，可得正方体的内切球恰好是与三棱锥各条棱都相切的球，根据三棱锥棱长

20、算出正方体的棱长为，由此算出内切球半径，用公式即可得到该球的表面各解答：解：将棱长均为2的三棱锥放入棱长为的正方体，如图球与三棱锥各条棱都相切，该球是正方体的内切球，切正方体的各个面切于中心，而这个切点恰好是三棱锥各条棱与球的切点由此可得该球的直径为，半径r=该球的表面积为S=4r2=2故答案为：2点评：本题给出棱长为2的正四面体，求它的棱切球的表面积，着重考查了正多面体的性质、多面体内切球和球的表面积公式等知识，属于基础题14（4分）已知cos（+）=，（0，），则sin（2）=考点：两角和与差的正弦函数 专题：三角函数的求值分析：由题意可得+（，），sin（+）=，再利用诱导公式、二倍角公

21、式求得sin2=cos（2+）的值、cos2=sin2（+）的值，从而求得sin（2）=sin2coscos2sin 的值解答：解：cos（+）=，（0，），+（，），sin（+）=，sin2=cos（2+）=12=，cos2=sin2（+）=2sin（+）cos（+）=，sin（2）=sin2coscos2sin=+=，故答案为：点评：本题主要考查两角和差的三角公式、二倍角公式、诱导公式的应用，属于中档题15（4分）已知ABC中，=，|+|=2，且B，则的取值范围是2，考点：平面向量数量积的运算 专题：平面向量及应用分析：根据向量的几何意义和数量积的运算以及，=，得到，继而做出平行线四边形，

22、得到平行四边形为菱形，设与的夹角为2，表示出=，再根据向量的夹角公式，求表示出=2，根据函数得单调性，求出范围即可解答：解=，（）=（+）=0，如图：分别作=，=，四边形ABCD为平行四边形，四边形ABCD为菱形，|=|+|=2，=|=1，设与的夹角为2，则2，cos，cos2，=，cos2=，=cos2=2当cos2=时，=24=2，当cos2=时，=2=，故的取值范围是2，故答案为：2，点评：本题考查了向量的几何意义和数量积的运算以及夹角公式，和函数的单调性，关键是证明四边形为菱形，属于中档题16（4分）已知椭圆的中心在坐标原点O，A，C分别是椭圆的上下顶点，B是椭圆的左顶点，F是椭圆的左

23、焦点，直线AF与BC相交于点D若椭圆的离心率为，则BDF的正切值3考点：椭圆的简单性质 专题：向量与圆锥曲线；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：依题意，画出图形可知，BDF和与的夹角互补，利用向量的夹角公式先算出两向量夹角的余弦，再求出其正切值，则正切值的相反数即为所求解答：解：由题意设A（0，b），C（0，b），F（c，0），B（a，0），e=，结合a2=b2+c2，化简得a=2c，b=c，=（c，c），=（2c，c），设=，cos=，sin=，tan=，tanBDF=tan（）=tan故答案为3点评：这个题利用向量知识来解，使得问题变得简单明了，但要注意所求的角与两向量夹角间的互补关系17（

24、4分）在等腰三角形ABC中，AB=AC，D在线段AC上，AD=kAC（k为常数，且0k1），BD=l为定长，则ABC的面积最大值为考点：正弦定理 专题：解三角形分析：如图所示，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，设A（x，y），y0，根据题意得到AD=kAB，两边平方得到关系式，利用勾股定理化简后表示出y2，变形后利用二次函数的性质求出y的最大值，进而确定出三角形ABD面积的最大值，根据AD=kAC即可得出三角形ABC面积的最大值解答：解：如图所示，以B为原点，BD为x轴建立平面直角坐标系，设A（x，y），y0，AB=AC，AD=kAC=kAB，即AD2=k2AB2，（xl）2+y2=k

25、2（x2+y2），整理得：y2=，ymax=，BD=l，（SABD）max=，则（SABC）max=（SABD）max=故答案为：点评：此题考查了二次函数的性质，坐标与图形性质，弄清题意是解本题的关键三、解答题：本大题共5小题，共72分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤18（14分）如图，已知单位圆上有四点E（1，0），A（cos，sin），B（cos2，sin2），C（cos3，sin3）（0），分别设SOAC，SABC的面积为S1和S2（1）用sin、cos表示S1和S2；（2）求+的最大值及取最大值时的值考点：单位圆与周期性 专题：计算题；三角函数的求值分析：（1）根据三角函数定义

26、，有xOA=，xOB=2，xOC=3，xOA=AOB=BOC=，可求得S1的值，由S1+S2=四边形OABC的面积即可求S2的值（2）由（1）知，+=sin（）+1，可得，从而可求得sin（）sin=即可求得最大值及取最大值时的值解答：解：（1）根据三角函数定义，有xOA=，xOB=2，xOC=3，xOA=AOB=BOC=，S1=sin（3）=sin2，S1+S2=四边形OABC的面积=，S2=sinsin2=sin（1cos）（2）由（1）知，+=sincos+1=sin（）+1，0，sin（）sin=，+的最大值为，此时的值为点评：本题主要考查了单位圆与周期性，三角函数的求值，三角函数值域

27、的解法，属于基本知识的考查19（14分）在ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且（1）求角A的值；（2）若B=，BC边上中线AM=，求ABC的面积考点：正弦定理 专题：计算题；解三角形分析：（1）利用正弦定理化边为角可求得cosA=，从而可得A；（2）易求角C，可知ABC为等腰三角形，在AMC中利用余弦定理可求b，再由三角形面积公式可求结果；解答：解：（1）由正弦定理，得，化简得cosA=，A=；（2）B=，C=AB=，可知ABC为等腰三角形，在AMC中，由余弦定理，得AM2=AC2+MC22ACMCcos120°，即7=，解得b=2，ABC的面积S=b2sinC=点评：该

28、题考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，属基础题，熟记相关公式并灵活运用是解题关键20（15分）如图，在几何体SABCD中，AD平面SCD，BC平面SCD，AD=DC=2，BC=1，又SD=2，SDC=120°（1）求SC与平面SAB所成角的正弦值；（2）求平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值考点：直线与平面所成的角；与二面角有关的立体几何综合题 专题：证明题；转化思想分析：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间上角坐标系，（1）设平面SAB的法向量为，利用，得，设SC与平面SAB所成角为，通过，求出SC与平面SAB所

29、成角的正弦值为（2）设平面SAD的法向量为，利用，得利用，求出平面SAD与平面SAB所成的锐二面角的余弦值是解答：解：如图，过点D作DC的垂线交SC于E，以D为原点，分别以DC，DE，DA为x，y，z轴建立空间直角坐标系SDC=120°，SDE=30°，又SD=2，则点S到y轴的距离为1，到x轴的距离为则有D（0，0，0），A（0，0，2），C（2，0，0），B（2，0，1）（4分）（1）设平面SAB的法向量为，则有，取，得，又，设SC与平面SAB所成角为，则，故SC与平面SAB所成角的正弦值为（9分）（2）设平面SAD的法向量为，则有，取，得，故平面SAD与平面SAB所成

30、的锐二面角的余弦值是（14分）点评：本题是中档题，考查直线与平面所成角正弦值、余弦值的求法，考查空间想象能力，计算能力，熟练掌握基本定理、基本方法是解决本题的关键21（15分）已知椭圆+=1（ab0）的离心率为，且经过点P（1，）过它的两个焦点F1，F2分别作直线l1与l2，l1交椭圆于A、B两点，l2交椭圆于C、D两点，且l1l2（）求椭圆的标准方程；（）求四边形ACBD的面积S的取值范围考点：直线与圆锥曲线的综合问题 专题：圆锥曲线中的最值与范围问题分析：（）由椭圆+=1（ab0）的离心率为，得到椭圆方程为，将点P（1，）代入椭圆方程，能求出椭圆方程为（）当l1，l2中有一条直线的斜率不存

31、在时，四边形的面积为S=6；若与l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，则l2的斜率为，直线l2的方程为y=k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，得|AB|=，用代替k，得|CD|=，由此能求出四边形ABCD面积的S，6解答：解：（）椭圆+=1（ab0）的离心率为，且经过点P（1，），即a=2c，a2=4c2，b2=3c2，（2分）椭圆方程为，将点P（1，）代入椭圆方程，得：，解得c2=1，（4分）所求椭圆方程为（5分）（）当l1，l2中有一条直线的斜率不存在，则另一条直线的斜率为0，此时四边形的面积为S=6，（7分）若与l2的斜率都存在，设l1的斜率为k，则l2的斜率为直线l2的方程为y=k（x+1），设A（x1，y1），B（x2，y2），联立，消去y整理得，（4k2+3）x28k2x+4k212=0，（1），