《集合与常用逻辑用语函数》知识总结大全

1、集合与常用逻辑用语-函数 知识总结大全作者: 日期:第一章 集合与常用逻辑用语知识结构【知识概要】一、集合的概念、关系与运算1. 集合中元素的特性：确定性、互异性、无序性.在应用集合的概念求解集合问题时， 要特别注意这三个性质在解题中的应用，元素的互异性往往就是检验的重要依据。2. 集合的表示方法：列举法、描述法.有的集合还可用Venn图表示，用专用符号表示, 如 N. M,N+,Z. R、0.0 等。3. 元素与集合的关系：我们把研究对象统称为元素，把一些元素组成的总体叫做集合, 若元素X是集合A的元素，则疋A,否则XgAO4. 集合与集合之间的关系： 子集：若A,则疋此时称集合A是集合B的

2、子集，记作ABu 真子集：若AB>且存在元素xeB.且A-e,则称A是B的真子集，记作：AB. 相等：若AB,且AB,则称集合A与B相等，记作A=B.o5. 集合的基本运算：交集：AB=x.rA并集：AUB=UlX"或怕B 补集：C=xIw(,且应A,其中(/为全集，AUO6. 集合运算中常用结论：A=A, AC=, ACB=BA, AB=A<>AB ®AJA=A, AJ=A,AUB=AoBuA。 AJ(CuA)=U , (CUArA=，Q(ApB)=(Q1A)U(CrB), Ct,.(AB)=(QA)(CLrB)。 由"个元素所组成的集合，苴子

3、集个数为2"个。 空集是任何集合的子集，即Ao在解题中要特別留意空集的特殊性，它往往 就是导致我们在解题中出现错误的一个对 象，避免因忽视空集而出现错误。7.含参数的集合问题是本部分的一个 重要题型，应多根据集合元素的互异性挖掘 题目的隐含条件，并注意分类讨论思想、数 形结合思想在解题中的运用。二、命题及其关系 1.命题的概念：用语言、符号或式子 表达的，可以判断真假的陈述句叫做命题。2.四种命题的相互关系：3.“若P则q”是真命题，即尸7； “若"则（厂是假命题，则/8"4.在判断命题真假的问题中，一方而可以直接写岀命题进行判断，也可以通过命题的 等价性进行判断

4、，即原命题与逆否命题等价，否命题与逆命题等价。5.充分必要条件的判断是本部分的一个重要题型，在解题中应注意：（1）注意问题的设问方式，我们知道，"是q的充分不必要条件是指PGq且p<" "的必要不充分条件是Q是指Pnq且q书p°这两种说法是在充分必要条件推理判断中 经常出现且容易混淆的说法，在解题中一左要注意问题的设问方式，弄淸它们的区别，以免 出现判断错误。（2）要善于举出恰当的反例来说明一个命题是错误的。（3）恰当地进行转化，由原命题与逆否命题等价可知：若“是q的充分不必要条件， 则r，是T7的必要不充分条件：若"是G的必要不充分条件

5、，则予是r7的充分不必要条 件。6.证明"是Q的充要条件（1）充分性：把当作已知条件，结合命题的前提条件，推出4；（2）必要性：把q当作已知条件，结合命题的前提条件，推岀三、逻辑联结词与量词 1.含有“且（人）”“或（V）非（严命题的真假性:PYqPP貞、q負A-A-假P貞、Q假假貞.假假、q貞假允真"假、Q假假假真2.全称量词与存在量词：命题中的“对所有J “任意一个”等短语叫做全称量词， 用符号“V”表示，“存在二“至少有一个”等短语叫做存在量词，用符号“盯 表示。含有全称量词的命题叫做全称命题，全称命题：“对M中任意一个有P（X）成立”可 用符号简记为VM,Xx） O

6、含有存在疑词的命题叫做特称命题，特称命题：“存在M中任意一个X ,使P（X）成立” 可用符号简记为3xf.p（x）。3.全称命题与特称命题的关系：P"的否泄全称命题：fxeM.p（x）特称命题:HrWM, -p(x)特称命题:BXeM9 p(x)全称命题：XfXeMP（X）第二章函数知识结构一函数的概念及其表示（1）函数的概念 设A、3是两个非空的数集.如果按照某种对应法则对于集合A中任何一个数X,在集 合B中都有唯定的数/(x)和它对应，那么这样的对应(包括集合A B以及人到B的对应法则f叫做集合A到3的一个函数.记作fAB 函数的三婆素:定义域、值域和对应法则. 只有定义域相同.

7、且对应法则也相同的两个函数才是同一函数.(2) 区间的概念及表示法 设么“是两个实数.且a<b,满足a<x<b的实数X的集合叫做闭区间，记做a,b满足a<x<b的实数X的集合叫做开区间，记做("#)：满足ax<b.或a<xb的实数X的集合叫做半开半闭区间，分别记做a,b). (“"：满足xa,x>a,xb,x<b的实数X的集合分别记做ay +s), (/ 2), (8, b, (>0)注意：对于集合xa<x<h与区间(a.b)9前者"可以大于或等于b而后者必须a<b(3) 求函数的定义域

8、时，一般遵循以下原则： /(X)是整式时，定义域是全体实数. /(X)是分式函数时定义域是使分母不为零的一切实数. /(X)是偶次根式时，定义域是使被开方式为非负值时的实数的集合. 对数函数的真数大于零.十对数或抬数函数的底数中含变址时，底数须大于零且不等于1 y = Umx 中，x k + (k Z). 零(负)指数幕的底数不能为零. 若/(X)是由有限个基木初等函数的四则运算而合成的函数时.则其定义域一般是备基木初等函数的定义域的交集. 对干求复合函数定义域问題.一般步骤是：若已知/(x)的定义域为a,b.其复合函数/g(x)的定义域应由不等式 < g(x)b解出. 对于含字母参数的

9、函数，求其定义域，根据问题具体情况需对字母参数进行分类讨论 由实际问題确定的函数，其定义域除使函数有意义外.还要符合问题的实际总义.(4) 求函数的值域或辰值求函数最值的常用方法和求函数值域的方法基木上是相同的.事实上，如果在函数的值域中 存在一个最小(大)数，这个数就是函数的最小(大)值.閃此求函数的最值与值域.其实质是 相同的，只是提问的角度不同求函数值域与最值的常用方法： 观察法：对于比较简做的函数我们可以通过观察直接得到值域或最值. 配方法：将函数解析式化成含有自变址的平方式与常数的和然后根据变虽的取值范困确定函数的值域或最值 判别式法若函数y = f(x)可以化成一个系数含有y的关于

10、X的二次方程a(y)x2 +b(y)x+c(y) =Q ,则在ay)O时由于x,y为实数，故必须有 = F(y)-4"(y) c(y) O,从而确定函数的值域或最值 不等式法：利用基木不等式确定函数的值域或最值. 换元法：通过变虽:代换达到化繁为简、化难为易的目的，三角代换可将代数函数的最值问题转化为三角函数的最值问题. 反函数法：利用函数和它的反函数的定义域与值域的互逆关系确定函数的值域或最值. 数形结合法：利用函数图欽或几何方法确定函数的值域或最值. 函数的瑕涮性法(5) 函数的表示方法表示函数的方法，常用的有解析法.列表法、图象法三种.解析法：就是用数学表达式表示两个变量之间的

11、对应关系.列表法：就是列出表格來表示两个变虽之间的 对应关系.图彖法：就是用图毀表示两个变址之间的对应关系.(6) 映射的概念 设A、B是两个集合，如果按照某种对应法则对于集合A中任何一个元素.在集合B中都有唯一的元素和它对应.那么这样的对应(包括集合A. B以及A到B的对应法则/ )叫做集合A到B的映射，记作f-.AB. 给定一个集合A到集合B的映射且UWAXB如果元素"和元素对应，那么我们把 元素D叫做元素G的象，元素G叫做元素“的丿京象.二.函数的基木性质仁单调性函数的单调性是研究函数在定艾域内某一范围的图象整体上升或下降的变化趋势，是研 究函数图象在定艾域内的局部变化性质。(

12、1) 函数单调性的定义一般地，设函数y = (x)的定狡域为A ,区间ZA如呆对于区间/内的两个值1, X2,当1<2时，都有/3)/(X2),那么y = /(-)在区间/上是单调增函数，/称为y =于(兀)的单调区间.如果对于区间/内的两个值X, X2,当召<兀时，都有/3)/U2),那么y = /(X)在区间/上是单调减函数，/称为),=/()的单调区间.如果函数y = /(x)在区间/上是单调增函数或单调减函数，那么函数y = f(x)在区间I上具有点评单调性的等价定义： f(X)在区间 M 上是增函数 <> VA-I,x2 e M,当 1 < X2 时，有

13、 f (xl)- f (x2) < OO (州一心)/(M) - /g) > O 0 " J 一 / E) > O o 竺 > O ：x/(x)在区间M上是减函数OVXI宀W M,当“ < X2时，有/(x1)-(x2) > 0Og 一羽)/3)-/(旳)< 0 o /(、)_ / N)V 0 o 岂 V 0 ；Xl -X2ZkV(2) 函數单调性的判定方法 定义法：图像法：复合函数法；导数法：特值法(用于小题)，结论法等. 注意： 定义法(取值作差变形定号结论)：设勺 X2 Cb切且XI X2 ,那 么(E-XJIfM一/Cd) >0

14、o ""73 >0o f(x)在区间S"上是增函兀|_兀2数：(“ 一羽) l(Xl) 一 /(,)<o<> ' m(七)V o o /(X)在区间“上上是减函 “一兀2数。 导数法(选修)：在/(X)区间(Gb)内处处可导，若总有/(X) >O (/(x)<0),则 (x)在区间(“，方)内为增(减)函数；反之，/(x)在区间("，b)内为增(减)函数，且 处处可导，f (X) O ( / (x)0)o请注意两者之间的区别，可以“数形结合法”研究。点评 判定函数的单调性一般要将式子/(X1)-/(X2)进行因

15、式分解、配方、通分、分子 (分母)有理化处理，以利于判斷符号；证明函数的单调性主要用定狡法和导数法。提醒 求单调区间吋，不忘定狡域：多个单调性相同的区间不一定能用符号“U ”连接： 单调区间应该用区间表示，不能用集合或不等式表示。判定函数不具有单调性时，可举反例。(3) 与函数单调性有关的一些结论 若/()与g(x)同增(减)，则f(x) + g(x)为增(减)函数，f(g(x)为增函数： 若y(x)增,g(x)为减,则f(x) - g(x)为增函数,g(x) - /()为滅函数，(x) 为减函数； 若函数y = f (%)在某一范国内恒为正值或恒为负值，则y = /()与y = !在相同fM

16、的单调区间上的单调性相反； 函数y = f (X)与函数y = f(x) + k伙HO)具有相同的单调性和单调区间； 函数y = f(x)与函数y = A()( >0)具有相同的单调性和单调区间，函数y = f(x) 与函数y = kf-(X)伙< 0)具有相同单调区间上的单调性相反。2.奇偶性函数的奇偶性是研究函数在定义域内的图象是否关于原点中心对称，还是关于y轴成轴 对称，是研究函数图象的结构特点：函数奇偶性的定义一般地，设函数y = f(x)的定艾域为A 如果对于的xA,都有f(-x) =,那么函数y = f(x)是偶函数.一般地，设函数y = /(%)的定狡域为4.如果对于

17、的XeA9都有/(-X)=,那么函数y = f(x)是奇函数.如果函数y = f(x)是奇函数或偶函数，那么函数y = f(x)具有注意 具有奇偶性的函数的定艾域一定关于原点对称，因此，确定函数奇偶性时，务必先 判定函数定义域是否关于原点对称。图象特征函数y = ()为奇(偶)函数o函数y = fW的图象关于原点(y轴)成中心(轴) 对称图形。注意 定艾域含O的偶函数图象不一定过原点；定Sl域含O的奇函数图象一定过原点：利 用函数的奇偶性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上，简化问题。点评 的数的定狡域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要条件. /(X)是奇函数 O f(-x) = -f(x)

18、 O f(-x) + /(x) = Oo 丄匸卫= -1.J M /(X)是偶函数 O f(-x) = /(X) o f(-x) -/(X) =OO 32 = 1 JM 奇函数/()在原点有定义,则/(0) = 0. 在关于原点对称的单调区间内：(i )奇函数有相同的单调性，偶函数有相反的单调性；(ii )奇函数有相反的最值(极值)，偶函数有相同的最值(极值)。(§)/(%)是偶函数 <=> /(I XI) = /()奇偶性的判定方法若所给函数的解析式较为复杂，应先考虑其定义域并等价变形化简后，再判断其奇偶性.如判断函数f(x)=lx 21+2的奇偶性。判定函数奇偶性方法

19、如下：定义(等价定艾)法；图像法；结论法等.点评 定狡法判定函数的奇偶性先求定狡域，看其是否关于原点对称，若对称，再求 /(-X),接着考察/(-X)与/W的关系，最后得结论判断函数不具有奇偶性时，可用反 例。与函数的奇偶性有关的一些结论若/(X)与g(x)同奇(偶)，则f(x) ± g(x)为奇(偶)函数，f(x) g(x)和丄®为 g() 偶函数，f(gM)为奇(偶)函数； 若/(X)与g(x) 奇一偶，则/(x)g(x)和仏丄为奇函数，f(gW)为偶函数；g() 定义域关于原点对称的函数可以表示为一个奇函数与一个偶函数和的形式。函数按奇偶性分类奇函数非偶函数，偶函数非

20、奇函数，既是奇函数又是偶函数，非奇非偶函数。点评既奇又偶的函数有无数个。如/(X) = 0定义域关于原点对称即可。如函数/()=l-x2 +Vx2-I o3.周期性函数的周期性是研究一些函数图象在定义域内具有菜种一定的周期变化规律：函数周期性的定义一般地，对于函数/(x),如果存在一个的常数7使得定艾域内的X值,都满足/(x + T) =那么函数/(x)称为周期函数，常数T叫做这个函数的周期。如果一个周期函数/(X)的所有的周期中存在一个的 数，那么这个数叫做函数/(x)的最小周期正周期。如没有特别说明，遇到的周期都指最小正周期。点评非零常数T是周期函数本身固有的性质，与自变量X的取值无关；若

21、非零常 数T是函数/(x)的周期，则非零常数T的非零整数倍(Pr Z,且n0)也是函数 /(x)的周期：若函数/(x)的周期为7则函数y = Af(x + )(其中A, , 0为常T数，且A09 0)的周期为：定艾中的等式f(x + T) = f(x)是恒等式；函数/(x)的周期是To f(x + T) = fx) O三角函数的周期(I) y = six: T = 2r : (Dy = COSX: T = 2 ； ()y = tan xT = V = Asin(x + y = ACOS(QV+ 0): T = : y = tanoiv : 7T =:I 6?I函数周期的判定定乂法(试值)图像法

22、 公式法(利用(2)中结论)结论法。与周期有关的一些结论 /(x + U) = f (x-a)或 f(x-2a) = f (x)(a > 0) => /(x)的周期为 2d ； /(X)是偶函数，其图像又关于直线x = a对称二>/(x)的周期为2ldl : /(x)奇函数，其图像又关于直线x = a对称二> /(x)的周期为4ll : f(x)关于点(,0), (b,0) (ab)对称二> /(x)的周期为 2a-b /(x)的图象关于直线X = " , = b(ab)对称二>函数f ()的周期为 2l-bl;®f(x)的图象关于点(&

23、quot;,0)中心对称，直线x = b轴对称=>(x)周期为4a-b: /Xx) XeRBt, f(x+a)=-f(x)或/(x+) = -L => f(x)的周期为 2ll :/() 函数f(x)满足f( + fl)=u z( V),且G为非零常数=>(x)的周期为4ll:1-/U) 函数/满足f(x+2d) = f(x+a)-f(x)("为非零常数)=> fx)的周期6o 点评注意对称性与周期性的关系。4. 对称性函数的对称性是研究函数图象的结构特点(即函数图象关于某一点成中心对称图形或关 于某一条直线成轴对称图形)；(1) 函数对称性的定义如果函数y

24、= f()的图象关于直线X = Q成对称或点(d, Z?)成对称，那么y = /(x)具有对称性。注意 利用函数的对称性可以把研究整个函数问题转化到一半区间上，简化问题。(2) 函数图象对称性的证明证明函数y = ()图像的对称性，即证明图像上任意点关于对称中心(对称轴)的 对称点仍在图像上；(3) 与对称性性有关的一些结论 函数y = (x)的图象关于直线x = a成轴对称O/(t-) = /(t + x)o特别地，当 G = O时，函数y = f(x)为偶函数。 函数y = /(x)的图象关于点(G Z?)成中心对称<=> f(a-x) + fa + x = 2b t>特

25、别 地，当 = 0且b = 0时，函数y = (x)为奇函数。点评 函数奇偶性是函数对称性的特殊请况。 若 y = /(x)对/(« + %) = /(/?-A)恒成立，则 y = f(x)图像关于直线X =对称；9 函数y = b + -kO)的图象关于点(a, Z?)中心对称。5. 有界性函数的有界性是研究函数图象在平面直角坐标系中的上下界情况，重点是通过研究函数 的最大(小)值(值域)来研究有界性问题。函数最大(小)值的定义一般地，设函数y = ()的定狡域为A如果存在 A ,使得对于的xA,都有/(x) f (X0)9那么称/(心)为y = (Q的置大值，记为:如果存在A,使

26、得对于的xeA9都有/W /(),那么称/(x(J为y = f(x)的最小 值，记为L注意 函数最大(小)值应该是某一个函数值：函数董大(小)值应该是所有函数值 中灵大(小)的，最大(小)值不同于极大(小)值。值域与最值注意函数的最值与函数的值域的区别和联系，理解值域和最值是考察函数的有界性问题。(3) 与函数最值有关的几个结论 若函数y = /(x)在区间M 若函数y = /(X)在区间S， 若函数y = /(X)在区间G, Jmax = /(C ； 若函数y = f(x)在区间伽饲上为单调增函数, b上为单调城函数, C上为单调增函数.c上为单调减函数.则儿in =(d) Jmax = f

27、(b): 则),min = /(b) , >'ux = /(«): 在区间切上为单调减函数.则在区间切上为单调增函数，则Amin = /(C。恒成立问题的处理方法恒成立问题的处理方法：(1)分离参数法(就值法)：转化为一元二次方程根的分布问题。 如:方程k=f(x)有解O keD(D为/(x)的值域)：不等式af(x)恒成立Oanl/(A)JwXffi »不等式dS(x)恒成立OdS/(血小值。6.极值函数的极值是研究函数在其定狡域内的某一局部上的性质。这与函数的最值所研究的问 题角度有所不同。极值的定义 设函数y = fM 在X=Xo及其附近有定狡，如果/(

28、°)的值比心附近的所有各点的函数值都大(小)，则称/(°)是函数y = (x)的一个极大(小)值。极大值和极小值统称为极 值。取得极值的点称为函数的极值点.极值点是自变董的取值，极值是指函数值。极值的求法图像法：导数法。7.零点与不动点Ll函数的零点定义 一般地，我们把使函数y = f (x)的值为的实数X称为函数y = f (x)的零点点评函数y = f(x)的零点就是方程f(x) = 0的实数根。从图象上看，函数y = /(兀)的零点， 就是它的图象与X轴交点的横坐标。利用函数的零点、方程的根.函数的图象与X轴交点的 横坐标这三者之间的联系，可以解决很多函数与方程的问题

29、。这就是爲考的热点内容函 数与方程的思想运用。函数零点的存在性一般地，若函数y = f(x)在区间g 6上的图象是一条连续不间断的曲线，且f(a) f(b)<,则至少存在一个实数cw(, ZJ),使得/(C) = 0,此时实数C为函数y = f(X)的零点.点评若函数y = ()在区间4切上的图象是一条连续不间斷的单调曲线，且/(«) fb)< 0,则有惟一的实数CW(Ch b),使得/(c) = 0 7.2不动点方程/(x) = X的根叫做函数y = f W 的不动点，也是函数y = (x)-x的零点。7.3函数.方程与不等式三者之间的关系一般地，不等式f(x)>

30、 0的解集为函数y = (x)的图象在X轴上方部分的点的横坐标 组成的集合：不等式f(x) < O的解集为函数y = /(x)的图象在X轴下方部分的点的横坐标 组成的集合；/点评利用函数图象并结合函数的零点，可求不等式/(x)<O或/(x)>O的解集；利用函数图 象并结合相应方程的解，可求不等式/(X)Vg(X)或/(x)>g(x)的解集等；7. 4基本方法求函数零点和不动点的方法直接法(通过解方程(组)；(2)图像法：二分法。点评 注意函数上述几大性质相互之间的联系O 三.基本初等函数的图像与性质1.指数函数(I)根式的概念 亦叫做根式这里叫做根指数 d叫做被开方数.

31、 当为奇数时."为任意实数:为偶数时.d»0 根式的性质:(时 = ：当为奇数时，ya = a:当为偶数时，畅 =IaI= "(I O)-« (U < 0)(2)分数抬数拆的概念正数的正分数抬数幕的总义是：亦=0(a>gnjwN.,且幵>1)O的正分数描数幕等于0.- 1 - 1 正数的负分数指数幕的意义是：a fl =(-y =n (-),tr (a > Ojnjie N9且>1)0的负分数 CI V a指数幕没有总义.注意口诀：底数取倒数，抬数取相反数.分数指数慕的运算性质 a «' = UrS(a &

32、gt; 0,r,5 /?)(o')' = ClrS(Ci >0,s w R) (Uby= arbr(a >O,b>O,r w R)(4)抬数函数函数名称抬数函数定义函数y = axa > 0且a)叫做扌数函数a>OvdvlIX /J = «/八宀k t y图歛J = I2.(Oa)J = IKM(OJ)OXOX定义域R值域(0, +8)过定点图象过定点(0,1),即当K=O时，y=l奇偶性非奇非偶在/?上是増函数在7?上是减函数函数值的 变化情况y>l (x>0), y=l (X=O), O<y<l (x<0

33、)y>l(x<O), y=l (X=O), O<y<l(x>O)a变化对 图象的影 响在第一象限内，“越大图彖越越靠近y轴： 在第二象限内，"越大图象越低，越靠近X轴.在第一歛限内.越小图彖越高越釜近y轴： 在第二彖限内.越小图象越低越整近X轴.2.对数函数(1)对数的定义 若ax = N(U > 0,且a H 1),则X叫做以"为底N的对数，记作X = IOgfl N ,其中。叫做底数.N叫做真数. 对数式与指数式的互化： = IOg NOaK=N( > 0, h 1, N0)(2)常用对数与自然对数：常用对数：lgN即IOgIo

34、 TV :自然对数：InN ,即IOgrN (其中e = 2.71828-).(3) 几个垂要的对数恒等式：IogdI = 0log/ = 】，IOjd= b(4) 对数的运算性质如果t>OzL/ >0,7>0,那么加法：IOgU M + IOgU N = Iogrr(MZV)M 减法：IOgn M 一 IOgn N = IOga NZ=N换底公式： 数乘：n IOgd M = IOgn MH (,? R) IOg II Mn = -1Ogr M (b O5 H R) a b iIOe NIOgfl N = E (b > 0,且b 1)1。鬲d(5)对数函数函数名称对数

35、函数定义函数J = IOgfl x(a > O且a)叫做对数函数图象a>OVdVlOI ky -1°為兀H x = 1 y=log rO； (S)j°,X定义域(0,S值域R过定点图彖过定点(1,0),即TX = 1时,y = 0.奇偶性非奇非偶在(0,+s)上是增函数在(0, +<s)上是减函数IOgd X > 0(Ql)IOgdX < O (X > 1)函数值的 变化情况IOgd x = 0(X = I)IOga X = O (X = I)Iogd XVo(0<x<l)IognX>0 (0<x< 1)G变化对图在第一彖限内，G越大图纵越靠低，越靠近X轴在第一彖限内，。越小图彖越靠低.越靠近X轴象的影响在第四象限内，G越大图纵越靠高，越靠近y轴在第四象限内，G越小图線越案融 越靠近y轴(6)反函数的