《机械优化设计》习题及答案1#(精选.)

1、word.机械优化设计习题及参考答案1- 1. 简述优化设计问题数学模型的表达形式。 答：优化问题的数学模型是实际优化设计问题的数学抽象。 在明确设计 变量、约束条件、目标函数之后， 优化设计问题就可以表示成一般数学 形式。求设计变量向量 x x1 x2 xn T使 f(x) min 且满足约束条件hk(x) 0 (k 1,2, l)gj(x) 0 ( j 1,2, m)2- 1. 何谓函数的梯度？梯度对优化设计有何意义？答：二元函数 f( x1,x 2) 在 x0点处的方向导数的表达式可以改写成下面的形式： fd xox1cos 2 x2 xof f cos 1x1 x2 xo cos 2c

2、os xo令 f(x0)x2ffT x1 x2 xo则称它为函数 f ( x1，x2)在 x 0点处的梯度1) 梯度方向是函数值变化最快方向， 梯度模是函数变化率的最大值。2) 梯度与切线方向 d 垂直，从而推得梯度方向为等值面的法线方向 梯度 f (x0)方向为函数变化率最大方向， 也就是最速上升方向。 负梯度- f (x0) 方向为函数变化率最小方向，即最速下降方向2-2. 求二元函数 f(x1，x2)=2x12+x22-2x1+x2在x0 0,0T 处函数变化率最大的方向和数值。解： 由于函数变化率最大的方向就是梯度的方向，这里用单位向量 p 表示，函数变化率最大和数值时梯度的模 f (

3、x0) 。求 f (x1，x2)在word.x0 点处的梯度方向和数值，计算如下：f x0x14x1 2 2f2x2 1 x0 1x22 f(x0) 1 f(x0) 522-3. 试求目标函数 f x1,x2 3x12 4x1x2 x22 在点 X =1,0 处的最速下降 方向，并求沿着该方向移动一个单位长度后新点的目标函数值。 解：求目标函数的偏导数6x1 4x2,4x1 2x2x1x2则函数在 X0=1,0 T 处的最速下降方向是P f(X 0)x16x14x14x22x2x2 xx12 10x1 1 x2 0这个方向上的单位向量是：PeP 6,4T( 6)242 3,2T13新点是3X1

4、X0132新点的目标函数值f (X1)94132 132- 4. 何谓凸集、凸函数、凸规划？（要求配图） 答：一个点集（或区域），如果连接其中任意两点 x1、x2 的线段都全部 包含在该集合内，就称该点集为凸集，否则为非凸集。函数 f（x ）为凸集定义域内的函数， 若对任何的 01及凸集域内的任意两点 x1、 x2，存在如下不等式：x1 1x2f x11x2对于约束优化问题word.若 f（x）、 g（j x） j=1,2,.,m都是凸函数，则称此问题为凸规划3- 1. 简述一维搜索区间消去法原理。 （要配图）答：搜索区间（ a，b）确定之后，采用区间逐步缩短搜索区间，从而找 到极小点的数值近

5、似解。假设搜索区间（ a，b）内任取两点 a1，b1 ， a1 b1，并计算函数值 f （a1），f （ b1）。将有下列三种可能情形；1）f （a1）f （b1）由于函数为单谷，所以极小点必在区间（ a，b1）内2）f （ a1）f （b1），同理，极小点应在区间（ a1，b）内 3）f （ a1）=f （b1），这是极小点应在（ a1， b1）内3- 2. 简述黄金分割法搜索过程及程序框图。1 b (b a) 2 a (b a) 其中， 为待定常数。3-3. 对函数 f ( ) 2 2 ，当给定搜索区间 5 5 时，写出用黄金 分割法求极小点 的前三次搜索过程。 (要列表) 黄金分割法的搜

6、索过程序号aa1a2bY1比较Y20-5-1.181.185-0.9676<3.75241-5-2.639-1.181？1.686>-0.9672？-1.18-0.2791.18-0.9676<-0.483-2.639-1.737-1.181？-0.457>-0.482word.3-4. 使用二次插值法求 f(x)=sin(x)在区间 2,6的极小点，写出计算步骤 和迭代公式，给定初始点 x1=2，x2=4， x3=6， =1-04。x2c2 c1x3解：1234x1244.554574.55457x244.554574.736564.72125x36664.73656

7、y10.909297-0.756802-0.987572-0.987572y2-0.756802-0.987572-0.999708-0.999961y3-0.279415-0.279415-0.279415-0.999708xp4.554574.736564.721254.71236yp-0.987572-0.999708-0.999961-1迭代次数 K= 4 ，极小点为 4.71236 ，最小值为 -1word.4- 1. 简述无约束优化方法中梯度法、 共轭梯度法、鲍威尔法的主要区别。答：梯度法是以负梯度方向作为搜索方向，使函数值下降最快，相邻两个迭代点上的函数 相互垂直即是相邻两个搜索

8、方向相互垂直。这就是说在梯度法中， 迭代点向函数极小点靠近的 过程，走的是曲折的路线。这一次的搜索方向与前一次的搜索过程互相垂直，形成“之”字形 的锯齿现象。从直观上可以看到，在远离极小点的位置，每次迭代可使函数值有较多的下降。 可是在接近极小点的位置，由于锯齿现象使每次迭代行进的距离缩短，因而收敛速度减慢。这 种情况似乎与“最速下降”的名称矛盾，其实不然，这是因为梯度是函数的局部性质。从局部 上看，在一点附近函数的下降是最快的，但从整体上看则走了许多弯路，因此函数的下降并不 算快。共轭梯度法是共轭方向法中的一种， 因为在该方法中每一个共轭的量都是依赖于迭代点处 的负梯度而构造出来的，所以称作

9、共轭梯度法。该方法的第一个搜索方向取作负梯度方向，这 就是最速下降法。其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度，也就是对负梯度进行修正。 所以共轭梯度法实质上是对最速下降法进行的一种改进，故它又被称作旋转梯度法。鲍威尔法是直接利用函数值来构造共轭方向的一种共轭方向法， 这种方法是在研究其有正1定矩阵 G的二次函数 f(x)xTGx bTx c的极小化问题时形成的。 其基本思想是在不用导2数的前提下，在迭代中逐次构造 G 的共轭方向。在该算法中，每一轮迭代都用连结始点和终点 所产生出的搜索方向去替换原向量组中的第一个向量，而不管它的“好坏” ，这是产生向量组 线性相关的原因所在。因此在改进的算法

10、中首先判断原向量组是否需要替换。如果需要替换， 还要进一步判断原向量组中哪个向量最坏，然后再用新产生的向量替换这个最坏的向量，以保 证逐次生成共轭方向。4- 2. 如何确定无约束优化问题最速下降法的搜索方向？答：优化设计是追求目标函数值最小，因此搜所方向 d 取该点的负梯度方向 - f (x) 。使 函数值在该点附近的范围下降最快。按此规律不断走步，形成以下迭代的算法k 1 k kx x f (x ) ( k=0 ，1,2 ，)k 由于最速下降法是以负梯度方向作为搜索方向，所以最速下降法有称为梯度法为了使目标函数值沿搜索方向- f(x) 能获得最大的下降值，其步长因子 a 应取一维搜 k索的最

11、佳步长。即有k 1 kkkkf x f x akf (x )min f x a f (x )min ( )根据一元函数极值的必要条件和多元复合函数求导公式得；k 1 T k k 1 T kf (x ) f(x ) 0或写成 d d 0 由此可知，在最速下降法中，相邻两个迭代点上的函数梯度相互垂直。而搜索方向就是负 梯度方向，因此相邻的两个搜索方向相互垂直。这就是说在最速下降法中，迭代点向函数极小 点靠近的过程。4-3. 给 定 初 始 值 x0=-7,11T ， 使 用 牛 顿 法 求 函 数word.word.f （x1,x2） （x1 2）2 （x1 2x2）2 的极小值点和极小值。解：

12、梯度函数、海赛矩阵分别为2(x1f (x1,x2 )12) 2(x1 2x2 )4(x1 2x2)（ 2 分）11242 f(x1,x2)448, 2 f 12141（ 4 分）44假设初始值 x0=-7,11T则f(x0)761 分）1161x0 x2 f 102f (x0) 1（2 分）则f(x1)0,0（ 1 分）x1满足极值的必要条件，海赛矩阵是正定的，所以是极小点* 1 1 *x* x1, f（x*）1。（2 分）14-4. 以二元函数 f （x1,x2） 为例说明单形替换法的基本原理。答： 如图所示在平面上取不在同一直线上的三个点x1，x2，x3，以它们为顶点组成一单纯形。计算各顶

13、点函数值，设 f（x1）f（x2）f（x3），这说明 x3 点最好， x1 点最差。 为了寻找极小点，一般来说。应向最差点的反对称方向进行搜索，即通过 x1 并穿过 x2x3 的中点 x4 的方向上进行搜索。在此方向上取点 x5使 x5=x4+ （ x4-x1 ）x5 称作 x1 点相对于 x4 点的反射点，计算反射点的函数值f （X5），可能出现以下几种情形；1）f （x5）f （x3）即反射点比最好点好要好，说明搜索方向正确，可以往前迈一步， 也就是扩张。2）f（x3）f（x5）f （x2）即反射点比最好点差，比次差点好，说明反射可行，一反射 点代替最差点构成新单纯形3）f （x2）f （

14、x5） f（x1） ，即反射点比次差点差，比最差点好，说明x5 走的太远，应缩回一些，即收缩。4）f（x5）f（x1） ，反射点比最差点还差，说明收缩应该多一些。将新点收缩在 x1x4 之间5）f（x）f（x1） ，说明 x1x4 方向上所有点都比最差点还要差，不能沿此方向进行搜索。5- 1. 简述约束优化方法的分类。 （简述约束优化问题的直接解法、间接 解法的原理、特点及主要方法。 ）答 : 直接解法通常适用于仅含不等式约束的问题， 它的基本思路是在 m个不等式约束条件0所确定的可行域内选择一个初始点 x ，然后决定可行搜索方向 d，且以适当的步长 沿 d 方向1 进行搜索，得到一个使目标函

15、数值下降的可行的新点 x ，即完成一个迭代。再以新点为起点， 重复上述搜索过程，满足收敛条件后，迭代终止。所谓可行搜索方向是指，当设计点沿该方向 作微量移动时，目标函数值将下降，且不会越出可行域。产生可行搜索方向的方法将由直接解 法中的各种算法决定。直接解法的原理简单，方法实用。其特点是：1）由于整个求解过程在可行域内进行，因此迭代计算不论何时终点，都可以获得一个比初始点好的设计点。2）若目标函数为凸函数，可行域为凸集，则可保证获得全域最优解。否则，因存在多个局部最优解，当选择的初始点不 相同时，可能搜索到不同的局部最优解。为此，常在可行域内选择几个差别较大的初始点分别 进行计算，以便从求得多

16、个局部最优解中选择最好的最优解。3）要求可行域为有界的非空集，即在有界可行域内存在满足全部约束条件的点，且目标函数有定义。直接解法有：随机方向法、复合形法、可行方向法、广义简约梯度法等。间接解法有不同的求解策略， 其中一种解法的基本思路是将约束优化问题中的约束函数进 行特殊的加权处理后，和目标函数结合起来，构成一个新的目标函数，即将原约束优化问题转 化成一个或一系列的无约束优化问题。再对新的目标函数进行无约束优化计算，从而间接地搜 索到原约束问题的最优解。间接解法是目前在机械优化设计中得到广泛应用的一种有效方法。其特点是：1）由于无约束优化方法的研究日趋成熟， 已经研究出不少有效的无约束最优化方法和程序， 使得间接解 法有了可靠的基础。目前，这类算法的计算效率和数值稳定性也都有了较大提高。2）可以有效地处理具有等式约束的约束优化问题。3）间接算法存在的主要问题是，选取加权因子比较困难，加权因子选取不当，不但影响收敛速度和计算精度，甚至会导致计算失败。间接解法有惩罚函数法和增广乘子法。5- 2. 用内点法求下列问题的最优解：22 min f (x ) x1 x 2 2x1 1