利用导数求函数最值(精华)

1、(3)(3)用函数的导数为用函数的导数为0 0的点，顺次将函的点，顺次将函数的定义区间分成若干小开区间，并数的定义区间分成若干小开区间，并列成表格列成表格. .检查检查f f(x x) )在方程根左右的在方程根左右的值的符号，求出极大值和极小值值的符号，求出极大值和极小值. .复习复习 求函数求函数f(x)f(x)的极值的步骤的极值的步骤: :(1)(1)求导数求导数f(x);f(x);(2)(2)求方程求方程f(x)=0f(x)=0的根的根(x(x为极值点为极值点.).)练习：求函数练习：求函数 的极值的极值82yxxx=-2时，时，y有极大值有极大值-8，当当x=2时，时，y有极小值有极小

2、值8练习练习: 如果函数如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a0)在在x=1时有极值时有极值,极大值为极大值为4,极小值为极小值为0 ,试求试求a,b,c的值的值 .4222253530530提示：由y0得x1是极值点，又x0 x=0，x=1可能是极值点。yaxbx .x ( ax - b)a- b 练习练习: 如果函数如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a0)在在x=1时有极值时有极值,极大值为极大值为4,极小值为极小值为0 ,试求试求a,b,c的值的值 . 2251若 a0,由 x， y， y 的 变 化 得yax ( x).x x-1-1(-1,0)(-1,0) 0 0 （0 0

3、，1 1） 1 1(1,+)(1,+)+ +- -0 - 0 0 - 0 极小极小0 0+极大极大无极值无极值)(xf)(xf （ ，1）4305532abcaabcbabc 练习练习: 如果函数如果函数 f(x)=ax5-bx3+c(a0)在在x=1时有极值时有极值,极大值为极大值为4,极小值为极小值为0 ,试求试求a,b,c的值的值 . 2251352若a0,33a由x，y，y 的变化得yx.x x + +- -0 0 极小极小0 0+极大极大)(xf)(xf （ ， ）aa(a, a )a(a,)aaxyx x + +- -0 0 极小极小0 0+极大极大)(xf)(xf （ ， ）aa

4、(a, a )a(a,)32当f( a） 220,即a1时，方程有三个不同的根；当a=1时，有两个根。当0a1时，有唯一根1.已知函数已知函数f(x)=x-3ax+2bx在点在点x=1处有处有极小值极小值-1，试确定，试确定a,b的值，并求出的值，并求出f(x)的的单调区间。单调区间。作业：作业：2.三次函数三次函数f(x)=x3+ax2+x在区间在区间-1,1 上有极大值和极小值，求常数上有极大值和极小值，求常数a的取值的取值 范围范围.3.3.3 最大值与最小值最大值与最小值一一. .最值的概念最值的概念( (最大值与最小值最大值与最小值) )新新 课课 讲讲 授授 如果在函数定义域如果在

5、函数定义域I内存在内存在x x0 0, ,使使得对任意的得对任意的xxI, ,总有总有f(x) f(xf(x) f(x0 0),),则称则称f(xf(x0 0) )为函数为函数f(x)f(x)在定义域上的在定义域上的最大值最大值. .最值是相对函数最值是相对函数定义域整体定义域整体而言的而言的. .)(xfba,1.1.在定义域内在定义域内, , 最值唯一最值唯一; ;极值不唯一极值不唯一; ;注意注意: :2.2.最大值一定比最小值大最大值一定比最小值大. .观察下面函数观察下面函数 y = f (x) 在区间在区间 a , b 上的图象上的图象, 回答回答:(1) 在哪一点处函数在哪一点处

6、函数 y = f (x) 有极大值和极小值有极大值和极小值?(2) 函数函数 y = f (x) 在a,b上有最大值和最小值吗有最大值和最小值吗?如果有如果有, 最大值和最小值分别是什么最大值和最小值分别是什么?x1x2x3x4x5极大极大:x = = x1x = = x2x = = x3x = = x5极小极小:x = = x4)(3maxxfy)(4minxfy观察下面函数观察下面函数 y = f (x) 在区间在区间 a , b 上的图象上的图象, 回答回答:(1) 在哪一点处函数在哪一点处函数 y = f (x) 有极大值和极小值有极大值和极小值?(2) 函数函数 y = f (x)

7、在a,b上有最大值和最小值吗有最大值和最小值吗?如果有如果有, 最大值和最小值分别是什么最大值和最小值分别是什么?极大极大:x = = x1x = = x2x = = x3极小极小:abxyx1Ox2x3)(xfy )(maxafy)(1minxfy二二. .如何求函数的最值如何求函数的最值? ?(1)(1)利用函数的单调性利用函数的单调性; ;(2)(2)利用函数的图象利用函数的图象; ;(3)(3)利用函数的导数利用函数的导数; ;如如: :求求y=2x+1y=2x+1在区间在区间1,31,3上的最值上的最值. .如如: :求求y=(xy=(x2)2)2 2+3+3在区间在区间1,31,3

8、上的最值上的最值. .求函数求函数 y = f (x) 在在a,b上的最大值与上的最大值与最小值的步骤如下最小值的步骤如下:(1) 求函数求函数 y = f (x) 在在 ( a, b ) 内的极值内的极值;(2) 将函数将函数 y = f (x) 的各极值点与端的各极值点与端点处的函数值点处的函数值f (a), f (b) 比较比较, 其中最其中最大的一个是最大值大的一个是最大值, 最小的一个是最最小的一个是最小值小值. 例例1 1、求函数求函数f(x)=xf(x)=x2 2-4x+6-4x+6在区间在区间11，55内的最大值和最小值内的最大值和最小值 解解: :f (x)=2x- 4f (

9、x)=2x- 4令令f(x)=0f(x)=0，即，即2x4=02x4=0，得得x =2x =2x x1 1（1 1，2 2）2 2（2 2，5 5）5 50 0- -+3 3112 故函数故函数f (x) f (x) 在区间在区间11，55内的内的最大值最大值为为1111，最小值为最小值为2 2 )(xf)(xf 若函数若函数f(x)在所给的区间在所给的区间I内有内有唯一唯一的极值，则它是函数的的极值，则它是函数的最值最值例例2 求函数求函数 在在0,3上的最大值与最小值上的最大值与最小值.4431)(3xxxf解解: 令令3 , 0, 04)(2xxxf解得解得 x = 2 .所以当所以当

10、x = 2 时时, 函数函数 f (x)有极小值有极小值.34)2(f又由于又由于, 1)3(, 4)0(ff所以所以, 函数函数 4431)(3xxxf在在0,3上的最大值是上的最大值是4,最小值是最小值是 .34当当0 x2时，时，f(x)0;当当20 函数函数 ，在，在1 1，1 1上的最小值为上的最小值为( )( )A.0 B.A.0 B.2 C.2 C.1 1D.13/12D.13/12A A练练 习习432111432yxxx2、函数、函数 （ ） 241xyxA.有最大值有最大值2，无最小值，无最小值B.无最大值，有最小值无最大值，有最小值-2C.最大值为最大值为2，最小值，最小值-2D.无最值无最值3、函数、函数 2( )在（- ,+ )上（ ）f xxcos xA.是增函数是增函数 B.是减函数是减函数C.有最大值有最大值 D.最小值最小值C例例3 3、12f xxsinx求求 ( )( )在在区区间间00，2 2 上上的的最最值值. .解：解：最小值是0.最小值是0.是是, ,函数f(x)的最大值函数f(x)的最大值已知三次函数已知三次函数f(x)=ax-6ax+b.问是否存在实数问是否存在实数a,b，使使f(x)在在-1,2上取得最大值上取得最大值3，最小值，最小值