导数压轴题双变量问题方法归纳总结学生版

1、导数应用之双变量问题(一)构造齐次式，换元【例】(2020年河南高三期末)已知函数 f x x2 ax blnx,曲线y f x在点1,f 1处的切线方程为 y 2x.(1)求实数a,b的值；(2)设F x f x x2 mx m R ,xi,x2 0 x x2分别是函数F x的两个零点，求证：F Jx1x20.1 2【类题展木1 【四川省2020届局二期末】已知函数 f x x axlnx ax 2 a R有两个不同的极 2值点 x1, x2,且 x1< x2.(1)求实数a的取值范围；(2)求证：x1x2a2.1【类题展布2】(2020湖北高三期末)已知函数 f x 1 x 2a l

2、nx. x(1)讨论f x的单调性；2(2)设g x In x bx cx ,若函数f x的两个极值点x1，x2 x1 x?恰为函数g x的两个零点，且yx1 x2 g 2xL的范围是In 2 2,求实数a的取值范围.23(二)各自构造一元函数【例】(2020 河南高三月考)已知函数f (x) =lnx-ax+1 (aCR).(1)求f (x)的单调区间；一. x 3, .(2)设 g (x) = lnx - 1，右对任意的x1 C (0, +oo),存在x2C( 1,+8),使得 f(x1)v g(x2)成立，求实数a的取值范围.【类题展示】【广东省2020届高三期末】设函数 f(x) (x

3、2 ax a)ex(a R).(1)当a 0时，求曲线y f (x)在点(l,f( 1)处的切线方程；(2)设g(x) x2 x 1 ,若对彳E意的t 0,2,存在s 0,2使得f(s)> g(t)成立，求a的取值范围(三)消元构造一元函数【例】已知函数?(?= e + 1,?>< 0,函数？?= ?(?(?) 1)- ?(?)恰有两个零点？和？. 2v?> 0.(1)求函数？?(?)值域和实数？?的最小值；(2)若？ < ?,且？?F ?A1恒成立，求实数？的取值范围.【类题展示】【四川省2020届高三期末已知函数？?(?=?§+? ?ln?(1)若函

4、数？?(?律2,5上单调递增，求实数 ？的取值范围；(2)当？?= 2时，若方程?(?= ?+ 2?有两个不等实数根？，？，求实数？砌取值范围，并证明? < 1.(四)独立双变量，化为两边同函数形式【例】(2020 深圳市高三期末)已知函数 f x kx 1 lnx ,其中k为非零实数.(1)求f x的极值；一 ，一2.(2)当k 4时，在函数g x f x x 2x的图象上任取两个不同的点M Xi, y1、N M,y2 .若当0XiX2t时，总有不等式gx,gx24x1x2成立，求正实数t的取值范围:k【类题展示】设函数 f x lnx -,k R .x(1)若曲线y f x在点e,

5、f e 处的切线与直线 x 2 0垂直，求f x的单调递减区间和极小值 (其中e为自然对数的底数)；若对任何x1 x2 0, f x1f x2x1 x2恒成立，求k的取值范围.【类题展示】已知函数 ？= ?+ ?ln?(I)求函数？?的图象在点(1,1)处的切线方程；(I)若？C ?且？? 1) < ?对任意？?> 1恒成立，求？的最大值；(I)当？?> ?R4时，证明：(？?)?？> (?)?(五)把其中一个看作自变量，另一个看作参数【例】【山东2020高三期末】已知 a R ,函数f x ln x 1 x2 ax 2(I)若函数f x在2, 上为减函数，求实数 a的

6、取值范围；(I)设正实数m1 m2 1,求证：对f (x)f(1)上的任意两个实数 X, x2,总有f m1x1 m?x2mf xm2 f x2成立【类题展示】【福建省2020高三期末】已知函数？?(?= ?- ? ?(?=(?+ ?)ln(?+ ?)- ?(1)若？?= 1, ?(?)= ?(?)求实数？的值.(2)若？?？e? , ?(?+ ?(?户？?(0)+ ?(0) + ?求正实数？的取值范围.(六)利用根与系数的关系，把两变量用另一变量表示1【例】(2020山西局三期末)设函数 f(x) x alnx(a R) x(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点xi和x2,

7、记过点A(xi, f(xi), B(x2, f (x2)的直线的斜率为k ,问：是否存在a ,使得k 2 a ?若存在，求出a的值，若不存在，请说明理由. _ . . . 1 2【类题展布】【玄南省2020高三期末】已知函数 f(x) -x2 2x alnx,其中a 0. 2(1)讨论f(x)的单调性；(2)若f(x)有两个极值点x1，x2,证明：3 f(x1) f(x2)2.12【类题展示】【湖南省师范大学附属中学2020届高三考前演练】已知函数f(x)lnax2x(a0).2x(1)讨论函数f (x)的极值点的个数；(2)若 f (x)有两个极值点 x1, x2，证明：f(x1) f(x2

8、) 3 41n 2 .三、跟踪训练一一11.已知函数 f (x) x - aln x(a R). x(1)讨论函数y f(x)的单调性；1(2)右0 b 1, g(x) f (x) 一 bx,且存在不相等的实数 x1，x2，使信g xg x2 ,求证：a 0xx2x1.2.12020河北省衡水市高三期末】已知函数 ？(?= ?ln? ?.(1)令？?(?= ?(?+ ?若？?= ?(?在区间(0,3)上不单调，求？的取值范围；(2)当？?= 2时，函数？(?)= ?(?) ?的图象与？轴交于两点？,0), ?:?,0),且0< ?< ?,又？(?是 . . 一,一.、 '

9、, 一 一 .?(?)的导函数.若正常数？ ？摘足条件？?+?= 1, ?>?!式比较？ (?+ ?与0的关系，并给出理由 .一一12. (2020江办金陵中学局二开学考试)已知函数f (x) =-ax2+lnx , g (x) =-bx,其中a, bC R,设h (x)=f (x) -g (x),.6 _. _.、.(1)右f (x)在x=y处取得极值，且f (1) =g (-1) -2.求函数h (x)的单倜区间；(2)若a=0时，函数h (x)有两个不同的零点 x1，x2求b的取值范围；求证：号>1.e23.【福建省2020高三期中】已知函数 ？?(?= ?!?- ?有两个极

10、值点？，?.(1)求？的取值范围；(2)求证：2?< ?+ ?.4 .【安徽省示范高中皖北协作区2020届高三模拟】已知函数 ?= - '?+ 2? 2?ln?(1)讨论函数?的单调性;?+?(2)设？= ?(?,万程？= ?(其中？为常数)的两根分别为 ？?< ?,证明：?(二2一)< 0 .注:?(?,?(?分另I为？?,？的导函数.5. (2020江苏徐州一中高三期中)设函数f x xn mln x 1,其中 n N , n >2,且 m R.(1)当n 2, m 1时，求函数f x的单调区间;(2)当n 2时，令g xf x 2x 2,若函数g x有两个

11、极值点x1, x2，且xi x2,求g x2的取值范围;alnx6. (2019江办徐州一中局二月考)已知函数f x , g (x) = b (x- 1),其中awQ bO(1)若a=b,讨论F (x) =f (x) - g (x)的单调区间；(2)已知函数f(x)的曲线与函数g(x)的曲线有两个交点，设两个交点的横坐标分别为x1，x2,证明:x x2g X x2 >2 . a7. (2020广西南宁二中高三(文)已知函数f x2ln x 1 ax x,2g x aln x In x 1 ax 2x x(i)若a 0,讨论函数f x的单调性;(i)设 h x1h x2的最小值.f x g x ,且h x有两个极值点x1,x2,其中x1(0,-,求h Xe(注：其中e为自然对数的底数)ex ax(a为常数).8. (2020云南高三(理)已知函数f x e(1)讨论f x的单调性；f x1f x2(2) f' x是f x的导函数，若 f x存在两个极值点 x1,x2 x1 x2 ,求证： f 0x1 x212119 .已知函数f x In x ax bx 1的图象在x 1处的切线l过点 一，一.22 2