余弦定理二复习进程

1、余弦定理(二)学习目标1.熟练掌握余弦定理及变形形式，能用余弦定理解三角形.2.能应用余弦定理判断三角形形状.3.能利用正弦、余弦定理解决解三角形的有关问题匕和避模理自主学习知识点一正弦定理及其变形=上=上=2R .sin A sin B sin C -2.a= 2Rsin A, b=2Rsin B, c=2RsinC.知识点二余弦定理及其推论1.a2= b2+ c2 2bccos A, b2= c2 + a2 2cacos B, c2 = a2+ b2 2abcos C.b2+ c2 a2c2+a2b2a2+ b2 c22cos A=2bc ' cos B= 2ca ' co

2、s C=2ab .3.在ABC 中，c2=a2+b2?C为直角,c2>a2+b2?C 为钝角；c2<a2+b2?C 为锐角.知识点三正弦、余弦定理解决的问题思考以下问题不能用余弦定理求解的是 .(1)已知两边和其中一边的对角，求另一边的对角，进而可求其他的边和角；(2)已知两角和一边，求其他角和边；(3)已知一个三角形的两条边及其夹角，求其他的边和角；(4)已知一个三角形的三条边，解三角形.答案(2)，题型探究重点突破题型一利用余弦定理判断三角形的形状例1在ABC中，cos2| = 春c,其中a、b、c分别是角A、B、C的对边，则4 ABC的形状为（）A.直角三角形B.等腰三角形或

3、直角三角形C.等腰直角三角形D.正三角形答案 A解析 方法一 在 ABC中，由已知得1 + cos B 1 a =-+ .2 22c，, a a2+c2-b2 cos B=-=,c 2ac化简得c2=a2+b2.故 ABC为直角三角形.方法二原式化为cos B=a=S1nA,c sin Ccos Bsin C= sin A= sin（B+ C）=sin Bcos C+ cos Bsin C,sin Bcos C= 0, BC （0,兀）sin BW0, cos C = 0,又.Ce （0,兀）.,.c=90o, 即ABC为直角三角形.跟踪训练1 在 ABC中，B= 60°, b2=a

4、c,则三角形一定是（）A.直角三角形B.等边三角形C.等腰直角三角形D.钝角三角形答案 B解析由余弦定理cos B =a2+ c2- b22ac'1 a2+ c2- ac 代人得2'a2+ c2 2ac= 0,即(ac)2=0,a= c.又B = 60°,.ABC是等边三角形题型二正弦、余弦定理的综合应用 例2 在 ABC中，内角 A, B, C的对边分别为 a, b, c,且a>c,已知BA BC= 2, cos B =17, b=3,求： 3(1)a和c的值；(2)cos(BC)的值.解(1)由 BABC=2 得，cacos B=2,又 cos B = 1.

5、所以 ca= 6. 3由余弦定理得 a2+c2= b2+2accos B.又 b = 3,所以 a2+c2 = 9+2X6X1= 13.35励=6解得 a=2, c= 3 或 a=3, c= 2.a2 + c2 = 13因为a>c,所以a=3, c=2.(2)在 ABC 中，BC(0,兀)sin B=3 cos2B=1 1 2 = 22. ,33由正弦定理得，sin C=bSin B专限噜因为a=b>c,所以C为锐角,因此cos C = 1 sin2c=1 4-92 2 = -7.于是17cos(B C) = cos Bcos C + sin Bsin 0=3X9+2_L2y4_L

6、2 231人1-=3927.跟踪训练2 在4ABC中，内角 A, B, C对边分别为 a, b, c,且bsin A=43acos B.(1)求角B;(2)若 b= 3, sin C=2sin A,求 a, c 的值.解 (1)由bsin A=y3acos B及正弦定理，得 sin B = y3cos B,即tan B=® 因为B是三角形的内角，所以B=-.3(2)由sin C=2 sin A及正弦定理得，c=2a.由余弦定理及 b=3,得9= a2+ c2- 2accos£, 3即 9 = a2+4a22a2,所以 a=小,c= 273.题型三利用正弦、余弦定理证明边角恒

7、等式例3 在4ABC中，A, B, C的对边分别为 a, b, c,求证:a2 b2 sin A Bc2 sin C证明 在 ABC中，由余弦定理得 a2=b2 + c2-2bccos A,b2= a2+ c2 2accos B,a2 b2= b2 a2 2bccos A + 2accos B,1- 2(a2 b2) = 2accos B 2bccos A,即 a2 b2= accos B bccos A,a2b2 a cos B bcos Ac2a sin A b sin B 由正弦里得c=沅，不a2 b2 sin Acos B cos Asin B sin A Bsin C故等式成立.跟踪

8、训练 3 在ABC 中，若 acos2C+ccos2 A = 3b，求证：a+c= 2b.解 由题 a(1 + cos C)+c(1 + cos A)=3b,即 a + a0? + c+ ca? = 3b,2ab2bc2ab+ a2+ b2 c2+ 2bc+b2 + c2 a2= 6 b2,整理得ab+bc=2b2,同除b得a+c= 2b,故等式成立.易错点忽略三角形中任意两边之和大于第三边例4 已知钝角三角形的三边BC=a=k, AC=b=k + 2, AB=c=k+ 4,求k的取值范围错解 : c>b>a,且4ABC为钝角三角形，1- C为钝角.由余弦定理得cos C=a2&#

9、177;2abk2 4k 122k k+2<0.k2-4k-12<0,解得2< k<6, k为三角形的一边长，k>0,由知0<k<6.错因分析忽略隐含条件k+ k+ 2>k+ 4,即k>2.正解 c>b>a,且 ABC为钝角三角形，1- C为钝角.,a2 + b2_ c2 k2_4k_ 12由余弦7E理得 COS C = =<0,2ab 2kk+2'k2-4k-12<0,解得2< k<6,由两边之和大于第三边得k+ (k+ 2)>k+ 4,k>2,由可知2<k<6.误区警示

10、在解与三角形的边有关的问题时，一定要注意三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边.跟踪训练4 若 ABC为钝角三角形，三边长分别为2,3, x,则x的取值范围是()A.(1 , 而B.(<13, 5)C.( .5,13)D.(1 , . 5)U ( .13, 5)答案 D22+ 32x2解析 右x>3,则x对角的余弦值<0且2+3>x,2X 2 X 3解得 13<x<5.22 + x232(2)若x<3,则3对角的余弦值<0且x+2>3,2 X 2 X x解得 1<x< ,5.故x的取值范围是(1, V5)U(V13, 5)

11、.h当堂检测自言自纠1.在4ABC 中，bcos A=acos B,则ABC是（）A.等边三角形B.等腰三角形C.直角三角形D.锐角三角形2 .在 4ABC 中，sin2A- sin2C - sin2B = sin Csin B,则 A 等于(A.60 °B.45 °C.120 °3 .在ABC 中，A= 120°, AB=5,855A-B"C.7583D.30BC=7,则煞的值为（4 .已知锐角三角形的边长分别为1,3, a,则a的范围是(A.(8,10)B.(2 .2, ,10)C.(2 .2, 10)D.( 10, 8)5 .在ABC 中

12、，若 b=1, c=布,C = 2 则 a=36.已知 ABC的三边长分别为2,3,4,则此三角形是/课时精炼三角形.7D.84.已知锐角 ABC的内角A, B, C的对边分别为a, b, c,23cos2A+ cos 2A = 0, a=7, c= 6,、选择题1 .在4ABC中，有下列结论若a2>b2+c2,则 ABC为钝角三角形；若 a2 = b2 + c2+bc,则 A 为 60°若a2 + b2>c2,则 ABC为锐角三角形；若 A ： B ： C = 1 ： 2 ： 3,贝U a ： b ： c= 1 ： 2 ： 3.其中正确的个数为（）A.1B.2C.3D.

13、42 .在 4ABC 中，已知 a=2,则 bcos C+ccos B 等于（）A.1 B. 2C.2D.43 .如果等腰三角形的周长是底边长的5倍，那么它的顶角的余弦值为（）5A.布则b等于（）A.10B.9C.8D.55 .在ABC中，a, b, c分别为角A, B, C的对边，且b2=ac,则B的取值范围是（）兀A.（0, 3 3b.3,兀）c.（o, 6D.6,兀6 .若 ABC的内角A, B, C所对的边a, b, c满足（a+b）2c2= 4,且C=60°,则ab的值为（）42A.8-43B.1C"D"337 .在ABC 中，AB=7, AC =6,

14、M 是 BC 的中点，AM = 4,则 BC 等于（）A. 21B. ,106C. 69D. .1548 .如图，在 ABC 中，/ BAC= 120 °, AB =2, AC = 1, D 是边 BC 上一点，DC = 2BD,则AD BC等于()A 21 A. 2二、填空题1 一 9.在4ABC中，内角 A, B, C所对的边分别是 a, b, c.已知b-c= 2a,2sin B=3sin C,则cosA的值是.102ABC为钝角三角形，a=3, b=4, c= x,则x的取值范围是 .11在 ABC中，C=3B,则c的范围是b三、解答题312 .在 ABC中，内角 A, B,

15、 C的对边分别为 a, b, c,已知b2=ac且cos 8 = 4.1 1(1)求;一-+；的值； tan A tan C、一 f f 3 _La.工(2)设 BABC = 2，求 a+c 的值.13 .在4ABC中，a、b、c分别是角 A、B、C的对边，求证:cos C b ccos Acos B c bcos A当堂检测答案1 .答案B解析由题 b b2+a2 = a a2+ J2一/,2bc2ac整理得 a2 = b2, a = b.2 .答案C解析由正弦定理得 a2-c2-b2= bc,b2 * c2 a2结合余弦定理得cos A=f-又 AC （0,兀）A= 120°3

16、.答案 D1解析 由余弦定理 BC2=AB2 + AC22 AB AC coA 得 72= 52+AC22 5C -）,sin B，AC=3或-8（舍）.，而石二AC 3 = 一AB 5.4 .答案 B解析 只需让3和a所对的边均为锐角即可12+32 a22 1 3>°,解得 2 2<a< ,10.12+ a232故> > >0叫2 , a ,1 + 3>a1 + a>35 .答案 1解析由余弦定理得 c2= a2+ b2 - 2abcos C,，a2+1 + a=3,即 a2+a2=0,解得a= 1或a= 2（舍）.6 .答案钝角22

17、+ 32 421解析4所对的角的余弦为 =-<0,2X2X34 '故该角为钝角，故该三角形为钝角三角形课时精练答案、选择题1.答案 A解析 结合余弦定理可知： 中A为钝角，正确；中A=120°中C为锐角, 角未必是锐角；中 A、B、C 分别为 30°、60°、90°,，a ： b ： c=sin A : sin B ： sin C = 故正确的结论为.但另两个2：尹2.答案 C解析 bcos C + ccos B=bT2 +c"浮2ab2aca2+ b2 c2+ a2+ c2 b22a=a= 2.3.答案 D解析 设顶角为 “，底

18、边长为a,周长为 5a,故腰长为 2a,由余弦定理可得2a 2+ 2a 2- a2 72 2a 2a8.cos a =4.答案 D解析 由 23cos2A + cos 2A = 0 得 23cos2A + 2cos2A- 1 = 0一 ,11 cos A=耳，A 为锐角, . cos A = ", 5又 a2= b2 + c2 2bccos A,1.-49=b2+ 362 b 冰 士513b = 5 或 b= - "5-（舍）.5.答案A解析由余弦定理a+ ，得 72+ 62=42 + 42+a2,解得 a= VW6.8.答案 B ab2+ac2 bc2解析由余弦定理得co

19、s/ BAC = 一=一，2AB AC解得bc = J7,p A AB2+BC2 AC2 AB2+BD2AD2 又 cos B=-+c2b2a c2+ac a- c 2 1 1cos B = + -,2ac2ac 2ac 2 2'_ _、 一 _ 兀B (0,兀)B (0, §.6 .答案 C解析C= 60°,c2= a2+ b2 2abcos 60 = a2+b2ab.又(a+b)2c2= 4, 1. c2= a2+ b2+ 2ab 4,故ab=2ab4, 1. ab = 4. 37 .答案 B a 斛析设 BC= a,则 BM = MC=.在ABM 中，AB2=

20、 BM2+AM2- 2BM AM - coS AMB ,1 c ca/即 72=4a2 + 42 2*2*4 coSAMB ,在ACM 中，AC2 = AM2+ MC2-2AM MC - coSAMC ,1 a2AB BC2AB BD即 62= 42 + a2+2X 4X2 coS AMB ,解得AD =华,3又AD, BC的夹角大小为 /ADB,BD<<0 且 3+ x>4 , - 1<x<V7. - x -，+AD2AB2 cos/ ADB =cm “c2BD AD乎2十 %3 2 22c 7、/ 13912X o33所以 AD Bc= |AD| bC| cOsADB = - 8.3二、填空题39 .答案4 解析 由2sin B=3sin C及正弦定理可得 2b= 3c,一 1 一,13由 b c=a 可得 a= c, b=c,b2 + c2 a2 3由余弦定理可得cos a=4.10 .答案 (1, V7) U (5,7)解析 若x>4,则x所对的角为钝角,32 42-x2 一2.3.4<0 且 x<.x的取值范围是（1, V7） U （5,7）.+11答案（1,3） = 7,-解析由正弦定理可得c=吗=型噂 b si