习题讲解常建平版

1、2-1已知随机过程X(t) Acos ot ,其中0为常数，随机变 量A服从标准高斯分布。求t 0, /3 0, /2 °三个时刻X(t) 的一维概率密度？.£1年解：AN(0,1)fA(a)e 2X(t)|to AN(0,1) fx(Xi；0)A1X" 3 A N(0,N /3 024QX(t)t=。, f(x3；/2 0)0(X3)(离散型随机变量分布律)2-2如图2.23所示，已知随机过程x（t）仅由四条样本函数组图2.23 习题2-2在ti和t2两个时刻的分布律如下：1234X(t1)1263X(t2)5421Pk1k2(t1,t2)1/81/43/81/

2、4求 EX(ti), EX(t2),EX(tJX(t2) ?4E X (ti)XkPk tk 129EX(t2)218EX(t1)X(t2)RXt1?t2k1k2pXt1k1,Xt2k2k1 k2223随机过程X(t) Acost XH,其中A U (0,1)(均匀分布)求fx(x;t),E X(t) ,D X(t) ,Rx(ti&)?E X(t) E Acost XHcost EA XHD X(t)方法2：D X(t)一2一2E X2(t)E2 X(t)D Acost XHD Acost D XH2 , cos t DA2 .cos t12公式：D aX+bY a2D X b2D Y

3、2abCXYRX(t1,t2)=E Ac0sti XHcost1cost2EA2 EAgXH1 + + XH + 一c0sti cost c0sti322Acost2 XHc0sti cost2XH2cost2 XH2-2k t - 2k cost 022对某一固定时刻t X t -U XH,cost XH2k t 2k cost 022对某一固定时刻t X t -U cost XH,XHt k cost 0 X(t) XH2概率密度用冲激函数表示fX(x；t)1cost1cost2k t -22-2k t 222k ,XH x cost XH2k ,cost XH x XH,x XHx XH

4、 t - k 20else2-4已知随机过程X(t) A Bt,其中AB皆为随机变量。求随机过程的期望EX(t)和自相关函数RX(t1,t2) ?若已知随机变量相A,B互独立，它们的概率密度分别为fA（a）和fB（b）,求X的一维概率密度fx（x;t） 第问方法一：用雅克比做（求随机变量函数的分布） 步骤：t时刻，X（t） A Bt为两个随机变量的函数设二维的随机矢量X1 A Bt （题目要求的）X2 A（自己设的量，可以是其它量）求反函数求雅克比行列式J,得到|J|利用公式 f“X2（Xi，X2）|J fAB（a，b）AB 相互独立fABfA（a）gfB（b）由联合概率密度求边缘概率密度fX

5、i Xt为变量,则得到fX（x；t）QA与B独立，fAB(a,b)fA(a) fB(b)X(t) A BtY(t) AA Y(t)X(t) Y(t)tfxY (x, y;t)J fAB(a,b)1 x yp fAB(y,)1x_y|t| fA(y) fB( t )-1 - x yfx(x；t)fxY(x, y;t)dy - fA(y) fB(p)dyQ y a,fx(x;t)1 r r j fA(a) fB(x a)d afx x；ttfAafBx a .da tfA x bt fB b db方法二：用特征函数定义和性质（独立变量和的特征函数等于各特征函数的乘积）做 （特征函数和概率密度对应）

6、QXu;t EejuX tEejuA Btejua btfABa,b dadbeju a bt fA a fB b dadbQX u;tfX x;t ejuxdxMa=x-btQX u;tejuxfA x bt fB b dxdbejux fA x bt fB b dbdxfX x; tfA x bt fB b db2-5已知X为平稳过程，随机变量Y X(to) o判断随机过程Z(t) X(t) Y的平稳性？X (t)平稳mX、RXE Y t E X t0E Z t2mXRZ t1,t2E X t1 Y X t2YE X t1 X t2X t1 X t0X t0 X t2X2t0RxRX t1

7、，toRX t2, toE X2 toRz随机过程Z(t) X(t) Y非平稳2-6已知随机过程 Y(t) X(t)cos( ot),其中随机过程X(t)宽平稳，表示幅度；角频率 o为常数； 随机相位服从(，)的均匀分布，且与过程X(t) 相互独立。求随机过程丫的期望和自相关函数？判断随机过程Y(t)是否宽平稳？与过程X(t)相互独立cos( ot)与X t相互独立E Y(t)E X(t)cos(ot)E X(t) cE cos( ot )0Ry ti,t2E X(ti)cos(oti)X (t2)cos(ot2)E X(ti)X(t2) cos( oti)cos( ot2)E X(ti)X(

8、t2) E cos( oti)cos( ot2)ciRxgcos o22-8已知平稳过程X(t)的自相关函数为RX ( ) 4e cos cos3求过程X(t)的均方值和方差？rx1( )=4e 11 cos非周期部分mxi RX1( ) 0RX2( )cos3周期偶函数” 022x2 Rx(0) mx2 52-10 已知过程X(t) Acost BsintY(t)BcostAsint,其中随机变量A,B独立，均值都为0,方差都为5。证明X和丫各自平稳且 联合平稳；求两个过程的互相关函数？De X(t) 0 RX t,t 5cos E X2(t)5X t平稳E Y(t) 0 RY t,t 5c

9、os E Y2(t)5Y t平稳Rxy t,t+=5sinX t、丫 t联合平稳2-11已知过程X(t)和Y各自平稳且联合平稳，且Z(t) X(t) Y(t)o求Z(t)的自相关函数Rz()?若 X和Y(t)独立，求rz()?若x«/DY(t)独立且均值 均为0,求RZ()第问RzE ZRxRxRX两个联合平稳的过程的互相关函数RXY第问两平稳过程独立t1 Y t2E X t1 E Y t2RxyRzRxRxmX以2Rxy第问RzRxX和Y独立且均值均为0Ry2-12已知两个相互独立的平稳过程X(t)和Y的自相关函数为 2一 , 、 一一 2RX ( ) 2e cos 0®

10、( ) 9 exp 3令随机过程，其中 A是均值为2,方差为9的随 机变量，且与X和丫相互独立。求过程z的均 值、方差和 次)AX。"。自相关函数？ 随机变量A,与*。)和丫相互独立E Z t EAgE X t gE Y tEX(t) JRx1) 0, EZ(t) 0Rz(") EZ(t)Z(t )EA2X(t)X(t)Y(t)Y(t )EA2Rx( )Ry()EA2 DA E2A 9 22 Rz ( ) 26e2” cos 0 9 exp 3 2DZ(t) Rz(0)260可以证明过程Z平稳2-14已知复随机过程Z(t) A exp j it i 1式中A(i LLn为n

11、个实随机变量, 个实数。求当A满足什么条件时,复 过 程 Z(t) 复 平mZ t mz复常数,mX+jnvi (i 1L ,n)为 nZ(t)复平稳？稳条 件RZ t,tRZmz t只要EARz t,tEitA与人间应满足条件:EA 0EAA 0,i ki,k 1,2,L ,nE A exp j itE A gexp ji 1i 10, EZ(t)中就存在 “t"。令EA 0E Z t Z tA exp j it g Aj exp j jt j ji 1j 1E AAj gexp j it j jt j j i 1 j 1E A2 gexp ji 1 j 1d2Rx()d2t) X

12、(t ) t2-16已知平稳过程X的均方可导，YX 证明X（t），Y的互相关函数和Y的自相关函数分别dRx ()Rxy() T10Rxy( ) EX(t)Y(t )e x(叫m型1imE"t t 0t) X(t)X(t ) tltm0Rx(t) Rx( ) dRx()E 1.0t 0产 Y(t )limt 0E X(t t)Y(t ) X(t)Y(t )limt 0tRxy(t)Rxy()dRxY()dtd2RX()1im Rxy ( )Rxy (0dt2oRy( ) E X (t)Y(t若X(t)为宽平稳(实)过程，则 x'(t)也是宽平稳(实)过程，且 X(t) 与X (

13、t)联合宽平稳。Ry()dRYx( )dRxY()dRxY()d2Rx()d22-17已知随机过程x(t)的数学期望Ex(t) t2 4,求随机过程丫(t) tx(t) t2的期望?IEx (t)Ex(t)t2 4 2tE Y(t) 3t22-18已知平稳过程x(t)的自相关函数1 2Rx ( ) 2exp 2 2求：其导数Y(t) X(t)的自相关函数和方差？X(t)和Y(t)的方差比?Ry()d2Rx()d2不含周期分量Y2 RY 02x2 Rx 0 2补充题：若某个噪声电压X t是一个各态历经过程，它的个样本函数为X t 2cos t 4 ,求该噪声的直流分量、交流 平均功率 解：直流分

14、量E X t、交流平均功率D X t各态历经过程可以用它的 任一个样本函数的时间平均来代替整个过程的统计平均1T1 TE X t =X(t) =lim X(t)dt lim 2cos t dt 0 T 2T TT 2T T4 1 T方法二：D X t E X1 2 t E2 X tX2(t) X(t)Rx( ) X(t)X(t ) pm 亓 TX(t)X(t )dtX(t) 02r1 T 21 TXT 2T T44再利用平稳过程自相关函数的性质D X tRX 0RX2(t)=limX2(t)dt lim 2cos t dt 2T 2T TT 2T T42-19已知随机过程X(t) Vcos3t

15、 ,其中v是均值和方 差皆为1的随机变量。令随机过程Y(t) ； ；X( )d 求丫的均值、自相关函数、协方差函数和方差？解：bb1.求均值，利用 EaX(t)dt aEX(t)dt随机过程的积分运算与数学期望运算的次序可以互换1 tE Y t E , 0X( )dsin3t3t1 tt 0E X( )d1 tE V cos3 d t 01 t12.求自相关函数Y(t) t 0X( )d ：气上限积分_ 1t11t2(")EY(t1)YG)E-0X( 1)d 1 -0 X(2)d2t1t21 t1 t20 0 EX( 1)X( 2)d 2d 111t21 t1 t做法一：Y(t) -

16、 qX( )d - qV cos3 dV sin 3t3tV sin 3tl V sin 3t2以(匕3)EY(G)Y(t2)E 123tl3t2sin 3t1 sin 3t222EV sin 3tlsin 3t29t1t29t1t23,求互协方差函数1CY(t1,t2)RY(ti，t2) EY(ti)E Y(t2)sin3ti sin3t2Slit24.求方差 D Y tCY t,t 方差是关于t的一元函数方法二：D Y tV sin3t3tsin2 3t9t2sin2 3t9t22-20已知平稳高斯过程X的自相关函数为Ij n Rx( ) 6exp 卜 Rx( ) 6 求当t固定时，过程X

17、(t)的四个状态X(t),X(t 1),X(t 2),X(t 3)的协方差矩阵？CCCC11/21314C C21C22C23C24分析：高斯过程四个状态的C31C32C33C34C41C42C43C44 441状态X(t),2状态X(t 1),3 状态X(t 2) ,4 状态X(t 3)X t平稳高斯，协方差阵只与时间差值有关Cx 0Cx 1Cx 2Cx 3Cx 1Cx 0Cx 1Cx 2Cx2Cx3Cx1Cx2Cx0Cx1Cx1Cx0 44CjkCx( )Rx( )mx2解：Xt平稳高斯，协方差阵只与时间差值有关mX2 lim RX ( )02CijRX( )mXRX( )RX(0)6RX

18、(1)i6e 2RX(2) 6eCX0CX1XXCx1Cx0Cx2Cx1Cx3Cx2CX2CX3XXCx1Cx2Cx0Cx1Cx1Cx03Rx(3) 6e16 6e °16e616e 1 6e 236e 2 6e 16e6e16e 26e6e6e 22mxlim Rx ()sin lim 一 0=10Gj = Rx()Rx(0) 6Rx(1) Rx(2)Rx(3)06 0 0 00 6 0 0C0 0 6 00 0 0 62-21已知平稳高斯过程 X的均值为0,令随机过程Y(t) X(t)2o _2_2证明Ry( )Rx(0)2 Rx()证：Ry( ) EY(t)Y(t)=EX2(t

19、)X2(t )EX：X：(j)nkn kQx( i, 2)nk1212 0EX2(t)X2(t )(X t为高斯平稳过程i14 0( 1, 2；5)J )221212 0rT r八rt r UTCXUQx( 1, 2; ) expjM Xuuuur MxCXRx(0) Rx()Rx( ) Rx(0)Qx( 1, 2;)122eXP2 RX 12L LRx(0)2 Rx()2RX( ) 12RX 241_2 _2expRx(0) 12Rx( ) 1 2 Rx(0) 2Ry()42(J )22122-22已知随机过程X(t) Acos( ot ),其中随机相位 服从 (0,2 )上的均匀分布；A可

20、能为常数，也可能为随机变量，且 若A为随机变量时，和随机变量 相互独立。当A具备什么 条件时，过程各态历经?分析：随机过程各态历经要求为平稳过程且X(t) EX(t)a22X(t)X(t ) Rx()解：A为常数时 E X tA2,0 R(t,t )万 cos E X tX(t)为平稳过程A为随机变量时 和随机变量EX(t) EAcos( °tR(t,t ) EX(t)X(tA2 r小E coscos(2t)EA相互独立Ecos( 0t)EA2cos(t)cos(t2 )2 )A2E万Ecos Ecos(2t 2 )EX2(t) E2X(t)为平稳过程1 X(t) Tim 2TTT Acos( 0t)dt 0X(t)X(t )1 T lim A cos(t T 2T T)cos(t2 )dtA22 TA22-1 im2TTTcoscos(2t)dtcoslim T 2TT丁 cos(2t)dtAcos 02若At常数X(t) EX(t)X(t)X(t