【人教版】八年级数学下第十七章《勾股定理》课时作业同步练习(含答案)

1、微课堂 第十七章 勾股定理 171 勾股定理 第 1 课时 勾股定理 01 基础题 知识点 1 勾股定理的证明1 利用图 1 或图 2 两个图形中的有关面积的等量关系都能证明数学中一个十分著名的定理， 这个定理称为勾股定理，该定理结论的数学表达式是 a2 b2c2.24 个全等的直角三角形的直角边分别为a， b，斜边为 c.现把它们适当拼合 ，可以得到如图所示的图形 ，利用这个图形可以验证勾股定理 ， 你能说明其中的道理吗？请试一试解：图形的总面积可以表示为1c2 2 2abc2 ab，也可以表示为 a2 b2 2 21ab a2 b2 ab， c2ab a2b2ab.a2b2c2.知识点 2

2、 利用勾股定理进行计算3在 ABC 中，A，B，C 的对应边分别是 a，b，c，若B90，则下列等式中成立的是 (C)A a2 b2 c2Ca2c2b2Bb2c2a2Dc2a2b24已知在 Rt ABC中，C90，AC2，BC3，则 AB 的长为 (C)A4B. 5C. 13D55已知直角三角形中30角所对的直角的边长是 2 3 cm，则另一条直角边的长是 (C)A 4 cmB 4 3 cmC6 cmD 6 3 cm6(2016 阿坝 )直角三角形斜边的长是 5，一直角边的长是 3，则此直角三角形的面积为 67在 ABC 中，C90，ABc，BCa，ACb.(1)a 7， b24， 求 c；(

3、2)a 4， c7，求 b. 解： (1) C90， ABC 是直角三角形 a2b2c2.72242 c2.c249576625. c 25.(2) C 90 ， ABC 是直角三角形a2b2c2.42b272.b27242491633. b 33.B60， C458如图，在 ABC 中，ADBC，垂足为点 D，(1)求 BAC 的度数；(2)若 AC 2，求 AD 的长 解： (1)BAC 180 60 45(2)AD BC， ADC 是直角三角形 C 45， DAC 45.AD CD.029中档题(2016荆门)如图，在 ABC 中，A 5B6根据勾股定理 ，得 AD 2.ABAC，AD

4、是BAC 的平分线已知 AB5，AD3，则 BC的长为 (C) C8D 1010如图，点 E 在正方形 ABCDA 48B 60内，满足C76AEB 90，AE 6，D80第 10 题图BE 8，则阴影部分的面积是 (C)11(2017陕西)如图，将两个大小、形状完全相同的 ABC 和 A B拼C在一起 ，其中点 A与点 A重合，点 C落 在边 AB 上，连接 BC若.ACBACB90，ACBC3，则 BC的长为(A)A 3 3B6C3 2 D. 21第 11 题图第 14 题图12(2016 东营)在 ABC 中，AB10，AC2 10，BC 边上的高 AD 6，则另一边 BC 等于(C)

5、A 10B8C6或 10D8或 1013若一直角三角形两边长分别为 12和 5，则第三边长为 13或 11914如图，在 Rt ABC 中，C90，AD 平分 CAB，AC6，BC8，CD315图 1 是我国古代著名的“赵爽弦图”的示意图，它是由四个全等的直角三角形围成的在 RtABC 中 ，若直角边 AC6，BC5，将四个直角三角形中边长为 6的直角边分别向外延长一倍 ，得到图 2 所示的“数学风车” ，则 这个风车的外围周长 （图乙中的实线 ）是 76.16如图 ，在 Rt ABC 中，ACB90，(1)求 AB 的长；(2)求 CD 的长BC15，AC 20，解： (1)在 RtABC

6、中， ACB 90， AB AC2BC2 202152 25.11(2)SABC2ACBC2ABCD ， ACBCABCD.201525CD. CD12.17（2016 益阳）在 ABC 中，AB15，BC14，AC13，求ABC 的面积 某学习小组经过合作交流 ， 给出了下面的解题思路 ， 请你按照他们的解题思路完成解答过程 作 AD BC 于点 D ， 设 BD x， 用含 x的代数式表示 CD. 根据勾股定理 ，利用 AD 作为“桥梁 ”，建利用勾股定理求 立方程模型求出 x. 出AD的长 ，再计算三角形面积 .解：在 ABC 中，AB 15，BC14，AC13， 设 BD x， 则 C

7、D 14 x.由勾股定理 ，得 AD2AB2BD2152x2，AD2AC2CD2132（14x）2. 152 x2 132（14x）2.解得 x9.AD 12.11SABC2BCAD 2141284.03 综合题18如图，已知 ABC 是腰长为 1的等腰直角三角形 ，以RtABC 的斜边 AC 为直角边，画第二个等腰 Rt ACD ， 再以 RtACD 的斜边 AD 为直角边 ，画第三个等腰 RtADE ， ，依此类推 ，则第 2 017 个等腰直角三角形的斜边长是 ( 2)2017第 2 课时 勾股定理的应用01 基础题知识点 1 勾股定理在平面图形中的应用1如图，一根垂直于地面的旗杆在离地

8、面5 m 处折断 ，旗杆顶部落在离旗杆底部 12 m 处 ，旗杆折断之前的高度是(D)A 5 mB12 mC13 mD2如图 ，有两棵树 ，一棵高8 米一只鸟从一棵树的树梢飞到另一棵树的树梢则小鸟至少飞行 10 米3八（2）班小明和小亮同学学习了“勾股定理”之后， 为了测得如图风筝的高度 CE，他们进行了如下操作： 测得 BD 的长度为 15 米；（注： BD CE） 根据手中剩余线的长度计算出风筝线 BC 的长为 25 米； 牵线放风筝的小明身高 1.6 米求风筝的高度 CE.解：在 Rt CDB 中， 由勾股定理 ，得 CD CB 2 BD 2 25215220（米） CECDDE201.

9、621.6（米）答：风筝的高度 CE 为 21.6 米4如图 ，甲船以 16 海里 /时的速度离开码头向东北方向航行 ，乙船同时由码头向西北方向航行 ，已知两船离开码头1.5 h 后相距 30 海里，问乙船每小时航行多少海里？解：设码头所在的位置为 C，1.5 h后甲船所在位置为 A，乙船所在位置为 B，则AC 与正北方向的夹角为 45， BC 与正北方向的夹角为 45， ACB 90.在 RtABC 中，AC162324（海里 ），AB30 海里由勾股定理 ， 得 BC2AB2AC2302242324.解得 BC 18.318212（海里 /小时 ）答：乙船每小时航行 12 海里知识点 2

10、勾股定理与方程的应用5印度数学家什迦逻 （11411225 年）曾提出过“荷花问题”：“平平湖水清可鉴， 面上半尺生红莲；出泥不染亭亭立 ，忽被强风吹一边；渔人观看忙向前 ，花离原位二尺远；能算诸君请解题 ，湖水如何知深浅？”请用学过的数学知识回答这个问题解：如图 ，由题意可知设 OA x， 则 OBOAACx0.5. 在 RtOAB 中，OA2AB2OB2， x222（x0.5）2.解得 x 3.75.水深 3.75 尺6如图，在一棵树 （AD）的 10 m高处（B）有两只猴子 ，其中一只爬下树走向离树 20 m（C）的池塘 ，而另一只则爬到树 顶 （D）后直扑池塘 ， 如果两只猴子经过的路

11、程相等 ，那么这棵树有多高？解： B为猴子的初始位置 ，则 AB10 m，C为池塘，则 AC20 m. 设 BD x m，则树高 AD （10 x）m.由题意知 BDCD ABAC，xCD 2010.CD （30x）m.在 RtACD 中，A 90， 由勾股定理得 AC2AD2CD2， 202 （10x）2（30x）2.x5.AD 105 15（m） 故这棵树有 15 m 高7（2017 绍兴 ）如图，小巷左右两侧是竖直的墙 距离地面 2.4 米 ，如果保持梯子底端位置不动知识点 3 两次勾股定理的应用，一架梯子斜靠在左墙时 ，梯子底端到左墙角的距离为 0.7 米 ，顶端，将梯子斜靠在右墙时

12、，顶端距离地面 2 米，那么小巷的宽度为 （C）C2.2米D2.4 米A 0.7 米B 1.5 米第 7 题图 第 8 题图8如图，滑竿在机械槽内运动 ，ACB 为直角，已知滑竿 AB 长2.5米，顶点 A 在AC上滑动，量得滑竿下端 B 距C点的距离为 1.5米，当端点 B向右移动 0.5米时，滑竿顶端 A下滑 0.5米02 中档题9如图 ，学校有一块长方形花圃 ，有极少数人为了避开拐角走“捷径” ，在花铺内走出了一条“路”他们仅仅少走了 步路(假设 2 步为 1 m)，却踩伤了花草 (D)A 4B 6C10如图为某楼梯，测得楼梯的长为5 米， 高 3 米， 计划在楼梯表面铺地毯，地毯的长度

13、至少为 (D)A4米B8 米C9米D 7 米11如图，长为 8 cm 的橡皮筋放置在x 轴上，固定两端 A 和 B，然后把中点 C向上拉升 3 cm到点 D，则橡皮筋被拉长了 2cm.第 11 题图第 12 题图习题解析12将一根 24 cm的筷子，置于底面直径为 15 cm，高8 cm的圆柱形水杯中 ，如图所示 ，设筷子露在杯子外面的长 度为 h cm，则 h 的取值范围是 7 h1613如图是一面长方形彩旗完全展平时的尺寸图(单位： cm) 其中长方形 ABCD 是由双层白布缝制的穿旗杆用的旗裤，阴影部分 DCEF 为长方形绸缎旗面 ，将穿好彩旗的旗杆垂直插在操场上 ， 旗杆从旗顶到地面的

14、高度为 220 cm. 在无风的天气里 ， 彩旗自然下垂求彩旗下垂时最低处离地面的最小高度h.解：彩旗自然下垂的长度就是长方形 DCEF 的对角线 DE 的长度 ， 连接 DE， 在 RtDEF 中，根据勾股定理 ， 得DE DF 2 EF 2 1202902150.h22015070(cm) 彩旗下垂时的最低处离地面的最小高度 h 为 70 cm.14超速行驶是引发交通事故的主要原因上周末，小鹏等三位同学在滨海大道红树林路段 ，尝试用自己所学的知识检测车速 ，观测点设在到公路 l 的距离为 100 米的 P 处这时 ，一辆富康轿车由西向东匀速驶来 ，测得此车从 A 处行驶到 B 处所用的时间

15、为 3秒，并测得APO60，BPO45，试判断此车是否超过了每小时 80 千米的 限制速度？解：在 Rt APO 中，APO60，则PAO30. AP2OP200 m，AO AP2OP2 2002 1002100 3(m)在 RtBOP 中，BPO45，则 BOOP100 m.AB AOBO100 310073(m)从 A 到 B小车行驶的速度为 73324.3(m/s)87.48 km/h80 km/h. 此车超过每小时 80 千米的限制速度03 综合题15如图，在 Rt ABC 中，C90，AB5 cm，AC3 cm，动点 P从点 B出发沿射线 BC以 1 cm/s的速度移 动 ， 设运动

16、的时间为 t s.(1) 求 BC 边的长；(2) 当 ABP 为直角三角形时 ，求 t的值解： (1)在 RtABC 中，由勾股定理 ，得 BC2AB2AC 2523216. BC 4 cm.(2)由题意 ，知 BPt cm，当 APB 为直角时 ，如图 1，点 P与点 C重合，BPBC4 cm， t4；当 BAP 为直角时 ，如图 2，BPt cm，CP(t4)cm，AC3 cm， 在 RtACP 中，AP2AC 2CP232(t4)2.在 RtBAP 中，AB 2AP2BP2，即 5232(t 4)2 t2.解得 t 25.4当 ABP 为直角三角形时 ，t4或 t25.401 基础题第

17、 3 课时 利用勾股定理作图知识点 1 在数轴上表示无理数1在数轴上作出表示 5的点 （保留作图痕迹 ，不写作法 ） 解：略知识点 2 网格中的无理数2如图，在边长为 1 个单位长度的小正方形组成的网格中，点 A ， B 都是格点 ，则线段 AB 的长度为(A)A5B6C7D25知识点 3 等腰三角形中的勾股定理3在 ABC 中，ABAC13 cm，BC10 cm，求等腰三角形的边上的高与面积024解：过点 A 作 ADBC 于 D，ABAC 13 cm，11BD CD BC 1022 5(cm) AD AB2BD2 13252 12(cm)11 SABC 2BC AD 2 10 1260(c

18、m 2)中档题（2017 南充）如图，等边 OAB 的边长为 2，A (1，1， )B ( 3，1)C ( 3， 3)D （1， 3）5（2017 成都）如图，数轴上点 A 所表示的实数是 517，连接 BD ，求 BD 的长如图 ，ABC 和 DCE 都是边长为038综合题仔细观察图形 ，认真分析下列各式S1 1；S1 2 ；S2 22；S3 23；OA22( 1)2 12，OA32( 2)2 13，OA42( 3)2 14，然后解答问题第 5 题图第 6 题图6（2017乐山）点A，B，C在格点图中的位置如图所示 ，格点小正方形的边长为 1，则点C到线段 AB 所在直线的解： ABC 和

19、DCE 都是边长为 CB CD，CDE DCE60.1 BDC DBC DCE30.2 BDE 90.在 RtBDE 中，DE 4， BE8，DB BE 2DE 2 82424 3.求：（1）请用含有 n（n是正整数 ）的等式表示上述变化规律；（2）推算出 OA10 的长；（3）求出 S12 S22S23 S120的值解： （1）OA n2 （ n 1）21 n，Sn 2n（n 为正整数 ）(2)OA 210( 9)2110，OA 10 10.(3)S12 S22 S32 S2101 2 3 9 10 4444 41 23 91041 1021055.4.小专题 （二 ） 巧用勾股定理解决折叠

20、与展开问题类型 1 利用勾股定理解决平面图形的折叠问题解决折叠问题关键是抓住对称性勾股定理的数学表达式是一个含有平方关系的等式 出方程 ， 运用方程思想分析问题和解决问题 ， 以简化求解 .， 求线段的长时 ， 可由此列例1】 直角三角形纸片的两直角边 AC8，BC6，现将ABC 如图折叠，折痕为 DE，使点A与点B重合，则 BE 的长为 2451（2017 黔西南）如图，将边长为 6 cm的正方形纸片 ABCD折叠，使点D落在AB边中点E处，点C落在点 Q处，9折痕为 FH，则线段 AF 的长是 94cm.第 1 题图 第 2 题图2如图，在长方形纸片 ABCD 中，已知 AD 8，折叠纸片

21、使 AB 边与对角线 AC 重合，点 B落在点 F处，折痕为 AE，且 EF3，则 AB6类型 2 利用勾股定理解决立体图形的展开问题立体图形中求表面距离最短时 ， 需要将立体图形展开成平面图形 ，然后将条件集中于一个直角三角形 ，利用勾股 定理求解【例 2】 （教材 P39T12 变式与应用 ）如图，有一个圆柱 ，它的高等于 12 cm，底面半径等于 3 cm，在圆柱的底面 A 点有一只蚂蚁 ，它想吃到上底面上与 A点相对的 B点的食物 ，需要爬行的最短路程是多少？ （取3）【思路点拨】 要求蚂蚁爬行的最短路径 ， 需将空间图形转化为平面图形 （即立体图形的平面展开图 ）， 把圆柱 沿着过

22、A点的 AA剪开，得到如图所示的平面展开图 ，因为“两点之间，线段最短 ”，所以蚂蚁应沿着平面展开图中 线段 AB 这条路线走【解答】1如图 ，由题意可得： AA 12，AB2239. AB 15.需要爬行的最短路径是 15 cm.3 如图是一个高为 10 cm ，底面圆的半径为4 cm 的圆柱体在 AA 1上有一个蜘蛛 Q，QA3 cm；在 BB1上有一只苍蝇 P，PB12 cm，蜘蛛沿圆柱体侧面爬到P 点吃苍蝇 ， 最短的路径是 162 25cm.(结果用带 和根号的式子表示)在 RtAAB 中， 根裾勾股定理得： AB2AA2AB212292225.4如图，在一个长为 2 m，宽为 1

23、m 的长方形草地上 ，放着一根长方体的木块 ，它的棱和草地宽 AD 平行且棱长大 于AD ，木块从正面看是边长为 0.2 m的正方形 ，一只蚂蚁从点 A处到达点 C处需要走的最短路程是 2.60m(精确到 0.01 m)5如图，长方体的高为 5 cm，底面长为 4 cm，宽为 1 cm.(1) 点 A1到点 C2 之间的距离是多少？宽为 1 cm，(2) 若一只蚂蚁从点 A2 爬到 C1，则爬行的最短路程是多少？解： (1)长方体的高为 5 cm， 底面长为 4 cm， A2C2 4212 17( cm)A1C2 52( 17)2 42(cm)(2) 如图 1 所示 ，A2C1 5252 5

24、2(cm) 如图 2 所示 ，A2C1 9212 82(cm)如图 3 所示 ，A2C1 62422 13(cm)5 2 2 131)的代数式表示 a，b，c，则 a n2 1，b2n，c n2 1；(2)猜想：以 a， b， c 为边的三角形是否为直角三角形？证明你的结论 解：以 a，b，c 为边的三角形是直角三角形证明： a2b2(n21)2(2n)2n42n214n2(n2 1)2c2， 以 a， b， c 为边的三角形是直角三角形章末复习 (二 ) 勾股定理01 基础题 知识点 1 勾股定理 1如图，在 ABC 中，C90，A30，AB12，则 AC(C)A. 6B 6 2C6 3D.

25、 12第 2 题图2如图 ，阴影部分是一个正方形 ，则此正方形的面积为 643如图，在RtABC 中，ACB90，AC3，BC4，以点 A为圆心，AC长为半径画弧 ，交AB于点 D， 则 BD 24如图，在四边形 ABCD 中，B90，CDAD，AD2CD22AB2.求证： ABBC.A 12 mC 16 m证明：连接 AC.在 ABC 中 ，B 90， AB2BC2AC2.CDAD， ADC 90.AD2CD2AC2. AD2CD22AB2， AB2BC22AB2.BC2AB2. AB0，BC0， ABBC.知识点 2 勾股定理的应用 5如图，小亮将升旗的绳子拉到旗杆底端 ，绳子末端刚好接触

26、到地面 ，然后将绳子末端拉到距离旗杆 8 m 处，发 现此时绳子末端距离地面 2 m， 则旗杆的高度为 (滑轮上方的部分忽略不计 )(D)B13 mD17 m第 5 题图 第 6 题图6已知 A，B，C三地位置如图所示 ，C90，A，C两地的距离是 4 km，B，C两地的距离是 3 km，则 A，B 两地的距离是 5km；若 A 地在 C 地的正东方向 ，则 B 地在 C 地的正北方向7(2016 烟台)如图，O为数轴原点 ，A，B两点分别对应 3，3，作腰长为 4的等腰 ABC ，连接 OC，以 O为圆 心，CO 长为半径画弧交数轴于点 M ，知识点 3 逆命题与逆定理，它是假命题8“同旁内角互补”的逆命题是互补的两个角是同旁内角 知识点 4 勾股定理的逆定理及其应用B直角三角形D等腰直角三角形02 中档题10如图 ，在 ABC 中，A. 3 1C. 5 1C90，AC2，点 D在BC上，ADC2B，AD 5，则BC的长为 (D)B. 3 111 (2016 漳州)如图 ，在 ABC 中， 长为正整数 ， 则点 D 的个数共有 (C)A5 个B4 个C3个D2 个12如图 ，每个小正方形的边长为 1，B60 D30A 90C45第 11 题图AB AC 5，BC8，D 是