1995考研数二真题及解析

1、1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题一、填空题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.把答案填在题中横线上.)1(1) 设 y cos(x )sin ，那么 y .x(2)微分方程y y 2x的通解为x 1 t(3)曲线 3 在t2处的切线方程为y t(4)nim("n III 产上)2(5)曲线yx2e x的渐近线方程为二、选择题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.每题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，把所选项前的字母填在题后的括号内.)设f(x)和(x)在(，)内有定义那()(A)f(x)必有间断点(B)(C) f (x)必有间断点(D)f(x)为连续函数，且

2、f (x) 0, (x)有间断点么(x)2必有间断点上)必有间断点f(x)(2)曲线y x(x 1)(2 x)与x轴所围图形的面积可表示为()2(A) ° x(x 1)(2 x)dx1 2(B) o x(x 1)(2 x)dx x(x 1)(2 x)dx12(C) ox(x 1)(2 x)dx x(x 1)(2 x)dx2(D) ° x(x 1)(2 x)dx 设f (x)在(，)内可导，且对任意x1,x2，当x1*2时，都有f(x1)f(x2)，那么(A)对任意 x, f (x) 0(B)()对任意x, f ( x) 0(C)函数f ( x)单调增加(D)函数 f( x)

3、单调增加(4)()三、(2)(4)(6)四、五、设函数 f(x)在0,1上 f(x) 0,那么 f(1卜 f (0)、f (1) ”0)或£(0) f(1)的大小顺()(A)f (1)f (0)f(1)f(0)(B)(C)f(1)f(0)f (1)f (0)(D)序是f (1)f(1) f(0)f (0)f (1)f(0)f(1) f (0)设f(x)可导，F(x)f (x)(1 |sinx|)，假设使 F(x)在 x0处可导，那么必有(A)f(0) 0(B)f (0) 0(C) f (0) f (0) 0(D)f (0) f (0) 0(此题共6小题，每题5分，总分值30分.)1

4、. cosx求 lim_ .x 0 x(1 cos . x)d2y设函数y y(x)由万程xef(y) ey确定，其中f具有二阶导数，且f 1,求dg. dx2设 f(x2 1) ln 一，且 f (x) lnx,求 (x)dx .x2 2x 1 八 xarctan：. x 0.设f(x)x,试讨论f (x)在x 0处的连续性.0, x 0,x 1 cost求摆线一拱(0 t 2 )的弧长.y t sint设单位质点在水平面内作直线运动，初速度vt 0v0,阻力与速度成正比(比例常数为1),问t为多少时此质点的速度为包?并求到此时刻该质点所经过的路程3(此题总分值8分)X2t求函数f(x) 0

5、 (2 t)e%t的最大值和最小值(此题总分值8分)0的特设y ex是微分方程xy p(x)y x的一个解，求此微分方程满足条件yxln2解.六、(此题总分值8分)如图，设曲线L的方程为y "*),且丫 0,又MT,MP分别为该曲线在点3(1 Vc2/ .一M(X0,y0)处的切线和法线，线段MP的长度为-一包乙(其中Vo y(xo),Voy0 y(%),试推导出点P(,)的坐标表达式.y*七、(此题总分值8分)一x sin t .一设 f(x) odt,计算 ° f(x)dx.八、(此题总分值f (x) 仅 lim 一x 0 x8分)1,且 f (x)0 ,证明 f(x)

6、 x.1995年全国硕士研究生入学统一考试数学二试题解析一、填空题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.)221 cos(x ) sin【答案】2xsin(x2) sin22xx x【解析】该函数是由两个复合函数的乘积构成，满足复合函数求导法那么,2、. 2 1,2、. 2 1y cos(x ) sin - cos(x ) sin 一2 2 12111sin(x ) 2x sin 一 cos(x ) 2sin - cos- ( 1) xx x xz 221 cos(x ) sin 2xsin(x2) sin2 - 2x .x x【相关知识点】复合函数求导法那么:y (f(x)的导数为 y (

7、f(x)f (x).(2)【答案】y g cosx .sinx 2x【解析】微分方程 y y2x对应的齐次方程y y 0的特征方程为r2 1 0,特征根为r1,2i,故对应齐次方程的通解为 C1cosx C2sin x .设非齐次方程的特解 Y ax b,那么Y a, Y0,代入微分方程y y 2x,得0 ax b 2x,比拟系数得a 2,b 0,故Y2x.所以通解为y C1 cos x C2 sin x 2x .【相关知识点】1.二阶线性非齐次万程解的结构：设 y (x)是二阶线性非齐次方程y P(x)y Q(x)y f (x)的一个特解.Y(x)是与之对应的齐次方程_ .一 y P(x)y

8、 Q(x)y 0的通解，那么y Y(x) y (x)是非齐次方程的通解.2.二阶常系数线性齐次方程通解的求解方法：对于求解二阶常系数线性齐次方程的通解Y(x)，可用特征方程法求解：即 y P(x)y Q(x)y 0中的P(x)、Q(x)均是常数，方程变为y py qy 0 .其特征方程写为r2 pr q 0 ,在复数域内解出两个特征根r1,r2；分三种情况:(1)两个不相等的实数根r1,r2，那么通解为y C1erx1 Czer2'(2)两个相等的实数根ri r2,那么通解为yCi C2X erx1;(3) 一对共轲复根口,2 i ，那么通解为y e x C1cos x C2sin x

9、.其中 gQ为常数.3.对于求解二阶线性非齐次万程y P(x)y Q(x)y f(x)的一个特解y (x)，可用待定系数法，有结论如下：如果f (x)Pm(x)e x,那么二阶常系数线性非齐次方程具有形如y*(x)xkQm(x)ex的特解，其中Qm(x)是与Pm(x)相同次数的多项式，而k按 不是特征方程的根、是特征方程的单根或是特征方程的重根依次取0、1或2.如果f(x) e xP|(x)cos x Pn(x)sin x,那么二阶常系数非齐次线性微分方程y p(x)y q(x)yf(x)的特解可设为yxke x Rm1)(x)cos x Rxin x,其中Rm)(x)与Rf (x)是m次多项

10、式，mmaxl,ni )不是特征方程的根、或是特征方程的单根依次取为0或1.【答案】y 3x 7 0【解析】切线的斜率为当 t 2时，x 5,ydy dxdy dt dxdt8 .故所求切线方程为【相关知识点】参数方程所确定函数的微分法:-1(4)【答案】12【解析】应用夹逼准那么求数列的极限1那么an3t22t如果3(x3.t 25).化简得(;,那么dydx3x 7 0.£(t)令2n 22III2nIIIn nn2n n n12111nn22n2n(n 1)2n又即所以n2n n12111n2 111n n2n(n 1)2n nlim -,21 .-lim ann nnimo，

11、一一八一m1由夹逼准那么，得lim an 一 .即n2一 12>im(-：-n n n 1 n n 2【答案】y 0【解析】函数y2 x2 , 、*,x2ex的定义域为全体实数，且2 x2_lim y lim x e 0,xx所以曲线只有一条水平渐近线y 0.【相关知识点】铅直渐近线：如函数y f (x)在其间断点xxo处有lim f (x)x xox xo是函数的一条铅直渐近线;水平渐近线：当lim f(x) a( a为常数)，那么y a为函数的水平渐近线 x二、选择题(此题共5小题，每题3分，总分值15分.)【答案】(D)【解析】方法一：反证法，利用连续函数的性质，即有限多个在同一点

12、处连续的函数之乘 积，仍然在该点处连续.设函数一区 无间断点，因为f (x)是连续函数，那么(x) 上) f(x)必无间断点，这 f(x)f(x)与(x)有间断点矛盾，故应选择(D).方法二：排除法，举出反修排除.、儿1, x 0,仅f(x) 1, (x)1, x 0,即方法二：画出曲线yx(x 1)(2 x)的草图，所求面积为图中两面积之和【解析】因为对任意 x1,x2，当x1 x2时，x1x2,那么函数f( x1) f ( x2)，即那么f(x) 1,f (x) 1, (x)21 都处处连续，排除(A),(B),(C).故应选择(D).(2)【答案】(C)【解析】方法一：利用定积分的求面积

13、公式有 220 x(x 1)(2 x) dx 0x(x 1)(2 x)dx 12ox(x 1)(2 x)dx 1 x(x 1)(2 x)dx 应选择(C).12o x(x 1)(2 x)dx x(x 1)(2 x)dx,故应选(C).【答案】(D)f( x1)f( x2)，故 f( x) (D).对于(A)(B)(C)可令f(x) x3,那么对任意x1,x2，当x1 x2时，都有f(x1)f(x2),但f (0) 3x2x00,f( x) 3( x)2 0,f( x)x3,在其定义域内单调减少.故排除(A)(B)(C).(4)【答案】(B)【解析】由f (x) 0可知f (x)在区间0,1上为

14、严格的单调递增函数，故f (1) f (x) f (0) ,(0 x 1)由微分中值定理，f(1) f(0) f ( ),(01).所以f (1) f (1) f(0) f ( ) f (0), (01)应选择(B).【答案】(A)【解析】函数f (x)在x x0处可导的充分必要条件是f (%)与f (x0)存在且相等.由于F(x) f (x) f (x) | sin x |,而f (x)可导，所以F (x)在x 0处可导等价于f (x) |sin x|在 x 0可导.令(x) f (x) |sin x |,那么f (x) |sin x| (0) limx 0 xf (x) | sin x |

15、(0) limx 0 x.f (x)sin x limf (0),x 0 xf (x)sin xlim f (0),x 0 x于是要使F(x)在x 0处可导，当且仅当f (0)f(0)，即 f (0)0.应选择(A).三、(此题共6小题，每题5分，总分值30分.)(1)【解析】利用等价无穷小计算 ，即当x 0时，sinxx. 22 xc x1 cosx1 cos. x原式 limx 011 2sin 2121lim2 lim 2 -1 cosx 22 (1 f (y) 0. 2 x 2x 0- 222xsin 2x -2/2(2)【解析】这是一个由复合函数和隐函数所确定的函数方法一：将方程两边

16、对x求导，得f (y) f (y)ye xe f (y) y e ycf(y) eey xf (y)ef(y)将xef(y)ey代入并化简，得 y1x(1 f (y)两边再对x求导，得0 x(1 f (y)(1 f (y) x( f (y) y)-2-2x(1 f (y)x(1 f (y)1x2(1 f (y)yf (y)x (1 f (y)21，y -x2(1 f (y) 23 .代入并化简得x(1 f (y)f (y)方法二：方程两边先取对数再对x求导.方程两边取对数得ln x f (y) y,求导得f (y) y y因为f 1,所以1x(1 f (y)以下同方法【相关知识点】复合函数求导

17、法那么：y(f(x)的导数为y(f(x)f (x).(3)【解析】首先应求出(x)的表达式.由f(x21)ln2x2- xlnx2 1 1x2 1 12令 x 1 t,得 f (t) t 1刁ln.又t 1f(x)In(x)(x) 1那么 (x) 1(x) 1一 x x.斛得 (x) 一x 1x 1 .(x)dx dxx 1(12、)dx x 2ln x 11 C.(4)【解析】函数f (x)在x x0处的导函数连续的充分必要条件是f (x。)与f (x。)存在且必与f (xo )相等.0时,f (x)1 arctan x江，由于1 x所以(x)(0)故f (x)在x(x)f(x)f(0)f

18、(x)如 f (x)0处连续.(5)【解析】由弧微分公式得22ds , x (t) y (t) dt所以(x)f(x)x(0).1 arctan x2x21 x4limarctan 工22sin t (1 cost)出cost)dt,2.s 0 , 2(1 cost) dt,2 2sin2 ；dt2 t 2 t2 sin- dt 2sin-dt0202cos-4( 1 1) 8.(6)【解析】设质点的运动速度为v(t),由题设，阻力为v(t),按牛顿第二定律有v(t),m她dt其中质量m 1,即生& v(t).dt这是简单变量可别离的微分方程，解之得v(t)另有初始条件v(0)v0,得

19、v(t)v°e当此质点的速度为 v0时，有v0 v0e t,得t ln3 .到此时刻该质点所经过的路程为2v0 .3ln3 tt 3v0s 0 v°e dt v。e 0四、(此题总分值8分)x2t【解析】对函数f(x)0 (2 t)e%t两边求导并令f (x) 0,得f (x) 2x(2 x2)e x20,解得驻点x 0,x 立.f (x) 0, x 技 f(x)严格单调增, f (x) 0, J2 x 0,f(x)严格单调减,f (x) 0, 0 x J2,f(x)严格单调增,f (x) 0, a/2 x , f(x)严格单调减,所以f(J2), f (夜)为函数f(x)

20、的极大值点，f(0)为函数f(x)的极小值点，且f (孙 ：(2 t)e tdt(2 t)e：:e %t 1 e 2,0f(0)0(2 t)etdt 0,又 lim f (x) li m f (x)(2 t)e tdt (2 t)e t e tdt 1,xx000所以 f ( J2)1 e2为函数f(x)最大值，f(0) 0为函数f(x)的最小值.【相关知识点】积分上限函数的求导公式:ddxxf t dt f xx五、(此题总分值8分)【解析】把y ex和y代入所给的一阶线性微分方程，得xex p(x)exx,解得 p(x) xe x线性方程被确定为xy(xex)y x,即1)y1.这是一阶线

21、性非齐次微分方程,通解为(e x 1)dx(ee1)dxdx再由yx e(eln2x ln2 。得 exdx7 dxe xe e dx CC)Cee故所求的特解为y exln 2Ceeln2【相关知识点】一阶线性非齐次微分方程0,即Cp(x)y q(x)的通解公式为：p(x) dxy e ( q(x)ep(x)dxdx C),其中C为常数.六、(此题总分值8分)【解析】要求点 P的坐标，也就是说，要用xo, y0, yo, yo,表示出由MP2 321 y。，有(x。)2 (y。)2又由法线的斜率与切线斜率互为负倒数的关系2 31y。2y。,知y。x0y。把式，即（xo）y0（y0）代入消去,得到22 22yo)(1yo) / yo ,由y o,知曲线是向上凹的yo,所以可化为yo XyoXoyo(yo