第14章_市场风险_VaR_历史模拟法

1、第 14 章Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 20121市场风险市场风险 VaR: 历史模拟法历史模拟法1.1 历史模拟法思路介绍历史模拟法思路介绍 l总思路：以历史数据为依据构造未来的若干种情形，以到时预测将来的目的。l如何构造各种情景：l第一个模拟场景是假设未来一天的市场所以变量变化同第一天的变化一样。l （情景1）Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John

2、C. Hull 2012211,10nnvvvv1.1 历史模拟法思路介绍历史模拟法思路介绍（续）（续） l第二个模拟场景是假设未来一天的市场所以变量变化同第二天的变化一样。 （情景2）l以此类推。 321,21nnvvvv1,11,1()()inininnnnnvvvivvvvv情 景情 景 n1.1 历史模拟法思路介绍历史模拟法思路介绍 （续）（续）l通过给予每一个情景同样的概率（1/n）可以得到我们所关心的变量第n+1天可能值 的经验分布。 最后通过经验分布计算其风险价值度VaRRisk Management and Financial Institutions 3e, Chapter

3、14, Copyright John C. Hull 201241nv1.2 拟合过程说明拟合过程说明Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 20125l1.2.0，以DJIA2008年9月25日为例说明情景如何构造l求：投资9月26日99%的VaR？DayDateDJIADayDateDJIA0Aug 7, 2006 11,219.383Aug 10, 200611,124.371Aug 8, 2006 11,173.594Aug 11, 2006 11,088.022

4、Aug 9, 2006 11,076.185Aug 14, 200611,097.87.497Sep 19 200811,388.44499Sep 24, 2008 10,825.17498Sep 22, 200811,015.69500Sep 25, 2008 11,022.061.2 拟合过程说明拟合过程说明Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 20126l例： 2008年9月25日有如下的投资l求：投资9月26日99%的VaR？IndexAmount Invest

5、ed ($000s)DJIA 4,000FTSE 100 3,000CAC 40 1,000Nikkei 225 2,000Total10,000 1.2 拟合过程说明拟合过程说明注：表中股票指数以美元计价7l采用历史模拟法，我们需要哪些数据？DayDateDJIAFTSE CAC 40Nikkei 0Aug 7, 2006 11,219.3811,131.84 6,373.89131.771Aug 8, 2006 11,173.5911,096.28 6,378.16134.382Aug 9, 2006 11,076.1811,185.35 6,474.04135.943Aug 10, 20

6、06 11,124.3711,016.71 6,357.49135.44.499Sep 24, 2008 10,825.179,438.58 6,033.93114.26500Sep 25, 2008 11,022.069,599.90 6,200.40112.821.2.1 第一步由历史数据构造情景第一步由历史数据构造情景Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 20128情景编号DJIAFTSECACNikkei投资组合价值损失110,977.089,569.236,2

7、04.55115.0510,014.334-14.334210,925.979,676.966,293.60114.1310,027.481-27,481311,070.019,455.166,088.77112.409,946.73653,264.49910,831.439,383.496,051.94113.859,857.465142.53550011,222.539,763.976,371.45111.4010,126.439-126.43938.219,1159.173,1106.022,111.2.2 把构造的损失进行排序把构造的损失进行排序Risk Management and

8、Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 20129情景编号损失 ($000s)494477.841339345.435349282.204329277.041487253.385227217.974131205.256从上表可以得知：1天 99%的 VaR=$253,3852.1 关于关于VaR的精确度的精确度l在历史模拟法中，对于交易组合价值变化分布的计算是基于过去发生的有限的观察值，正因如此，历史模拟法对于分布的分位数的估计并不是绝对准确。l肯德尔（Kendall）及斯图尔特（Stuart）的研究成果给出了

9、由抽样数据计算出的概率分布的分位数的置信区间。Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012102.1 VaR的估计量的标准差的估计量的标准差 假定概率分布的第 q 个分位数的估计值为 x ，n 为观察值的个数，这一估计的标准差为其中，f(x) 为对应于损失量为 x 的损失分布的密度函数值，这一函数值可以通过将经验数据与标准分布进行匹配来估计。nqqxf)1 ()(1Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapt

10、er 14, Copyright John C. Hull 2012112.2 例例14.1l假如采用历史模拟法从500个观测值中求取的0.99分位数的估计值为 2 500万美元l我们可以采用标准分布来对经验分布进行匹配，并由此求得f(x)的近似值。假定经验分布服从正态分布，其期望值为0，标准差为1 000万美元l在Excel中，0.99分位数所对应的数值为NORMINV(0.01,0,10) = 2 326 万(美元)， f(x) 的数值为NORMDIST(23.26,0,10,FALSE)=0.0027l因此，0.99分位数估计值的标准差为Risk Management and Finan

11、cial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 20121267. 150099. 001. 00027. 013.历史模拟法的扩展形式历史模拟法的扩展形式l历史模拟法的一个关键假设过去几年的收益率是同分布（即分布是静止不变的）l但是市场变量并非静态，有时市场的波动率会很高，有时很低。l因此，有必要进行改进。Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012133.1 对观测值设定权重（对最后一对观测值设定权

12、重（对最后一步进行改进）步进行改进）l一种较为自然的权重选择是使地权重随时 间回望期的延伸而按指数速度递减l将所有的观察值由最坏到最好进行排序l由损失最坏的情形开始，我们开始累积计算每一项权重的和，当权重总和达到某指定分位数界限时，停止计算Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 201214(1)1n in 3.1.1 将新方法用于上述例将新方法用于上述例Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14,

13、Copyright John C. Hull 201215情景编号($000s)权重累积权重494477.8410.005280.00528339345.4350.002430.00771349282.2040.002550.01027329277.0410.002310.01258487253.3850.005100.01768227217.9740.001390.01906131205.2560.000860.01992令=0.995，使用新方法可得 1天 99%的 VaR=$282,204.3.2 扩展扩展 2-考虑波动率的更新考虑波动率的更新l将市场变量波动率的更新模式，与历史模拟法并

14、用。l假定第 i 天的波动率是第 i-1 天波动率的两倍，因此可以预见今天到明天的变化量也应该是从第i - 1 天到第i 天变化量的两倍。l市场变量在第 i 个情形会变成Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012161111/)(iiniiinvvvvv3.2.1 在在4指数例子中，利用指数例子中，利用EWMA模型模型估计出的波动率估计出的波动率(% 每天每天)Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapte

15、r 14, Copyright John C. Hull 201217DayDateDJIAFTSE CAC 40Nikkei 0Aug 7, 20061.111.421.401.381Aug 8, 20061.081.381.361.432Aug 9, 20061.071.351.361.413Aug 10, 20061.041.361.391.37.499Sep 24, 20082.213.283.111.61500Sep 25, 20082.193.213.091.59经波动率调节的经波动率调节的500个个情景情景的的、 由高到低由高到低进行排序后的损失进行排序后的损失Risk Mana

16、gement and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 201218情景编号损失($000s)1311,082.969494 715.512227 687.720 98 661.221329 602.968 339 546.54074 492.7643.3 采用自助法计算估计值置信区间采用自助法计算估计值置信区间l假定有500个数据l我们可以采用再替换的形式对数据进行抽样500000次，由此可以 产生1000组500天的数据，对于每一组数据我们可以进行VaR的运算l对于计算值我们从小到大 进行排列，假如名

17、列第25位的值为530万美元，名列第475位的值为890万美元，那么对应于95%置信水平的置信区间为530万890万l这就是统计自助法Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012194.计算问题计算问题l为了避免交易组合价值的多次重复计算，金融机构有时会使用 delta/gamma 近似方法l当一个产品的价格 P 依赖于单一市场变量, S, 由 S 的变化而引起的价格变化可近似估计为Risk Management and Financial Institutions

18、3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 2012202)(21SSP5. 极值理论极值理论l极值理论可以描述一个变量 x 的经验概率分布的右尾部状态. (如果要描述左尾部状态，我们可以使用变量 x.）l我们先选择右端尾部的一个数值 ul我们可以使用 Gnedenko 的结论：随着分布 u 的增加， 趋向于广义Pareto分布。Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 201221)(1)()()(uFuFyuFyFu)(yFu广义广义P

19、areto 分布分布Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 201222l广义Pareto 分布有两个参数 x (有关分布的形状) 和 b (分布的规模因子)l广义Pareto 分布的累计分布函数为xbx/111y参数参数的的最大似然估计最大似然估计xbxbuniiuv11/1)(11lnRisk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 201223l我们将所

20、有大于 u 的观察值 xi,按从大到小进行排序。假设有 nu 个观测值比 u 大。l我们采用使得 最大的x 和 b 作为最大似然法估 计的参数对对4指数的例子使用最大似然估计指数的例子使用最大似然估计法法, u=160Risk Management and Financial Institutions 3e, Chapter 14, Copyright John C. Hull 201224情景编号损失($000s)排序494477.8411 -8.97339345.4352 -7.47349282.2043 -6.51329277.0414 -6.42487253.3855 -5.99304160.77822 -3.71总计-108.37bxbx1/1)(11lnuvi尾部概率尾