圆锥曲线题型归纳

1、椭圆题型总结一、椭圆的定义和方程问题（一）定义：1 .命题甲：动点P到两点A,B的距离之和PAPB2a（a0,常数）；命题乙：P的轨迹是以A、B为焦点的椭圆，则命题甲是命题乙的（B）A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2 .已知F1、F2是两个定点，且怛/24,若动点P满足PFiPF24则动点P的轨迹是（D）A.椭圆B.圆C.直线D线段3 .已知F1、F2是椭圆的两个焦点，P是椭圆上的一个动点，如果延长F1P到Q,使得PQPF2,那么动点Q的轨迹是（B）A.椭圆B.圆C.直线D.点224.椭圆x-y-1上一点M到焦点F1的距离为2,N为MF1的中点，O是椭圆

2、的中心，则ON的值259是4。225.选做：Fi是椭圆人1的左焦点，P在椭圆上运动，定点A（1,1）,求|PA|PFi|的最小95值。解：|PA|PF111PA12a|PF2|2a|AF2|6.2（二）标准方程求参数范围21.试讨论k的取值范围，使方程(略)一1表示圆，椭圆，双曲线。k32“m n 0” 是.“方程mx2ny21表示焦点在y轴上的椭圆”的A.充分而不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件3 .若方程x2siny2cos1表示焦点在y轴上的椭圆，所在的象限是（A）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限4 .方程xv13y2所表示的曲线是椭圆的右半

3、部分5 .已知方程x2ky22表示焦点在X轴上的椭圆，则实数k的范围是k>1（三）待定系数法求椭圆的标准方程1.根据下列条件求椭圆的标准方程：(1)2y169(2)2y52(3)两个焦点的坐标分别为（0,5）和（0,5）,椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；2x一1144长轴是短轴的2倍，且过点（2,6）；222xxy1,或11314837已知椭圆的中心在原点，以坐标轴为对称轴，且经过两点P（J6,1）,F2（V3,J2）,求椭圆方程.2.1.2 y_ 3简单几何性质求下列椭圆的标准方程(1)222匕1,或工144 801442y80过2y27(3, 0)点,离心率为 222993(3

4、)椭圆的对称轴为坐标轴上，短轴的一个端点与两个焦点组成一个正三角形，焦点到椭圆的最近距离是33。2y9(4)2y162x1221,或土92L 112椭圆短轴的一个端点到一个焦点的距离为2x25221,或二上11625(5)已知P点在以坐标轴为对称轴的椭圆上,5,焦点到椭圆中心的距离为3,则椭圆的标准方程为点 P到两焦点的距离分别为丑5和2,过P作长轴的33垂线恰好过椭圆的一个焦点。2 c 22 c 2匕竺1,或J " 151051022x y3.过椭圆一2 斗 1(a b 0)的左焦点 a b3则椭圆的离心率为 33F,作x轴的垂线交椭圆于点 P, F2为右焦点，若 F1PF2 60

5、 ,(四)椭圆系 22x y1.椭圆259共焦点，相同离心率221 y 1(0 k 9)与25 k 9 k的关系为(AA.相同的焦点2x2、求与椭圆Bo有相同的准线Co有相等的长、短轴Do有相等的焦距159 仁1 102y 1有相同焦点，且经过点 3, 2的椭圆标准方程。 4(五)焦点三角形4a221 .已知F1、F2为椭圆二1的两个焦点，过Fi的直线交椭圆于A、B两点。若F2AF2B12,259则AB|8。2 22.已知Fi、F2为椭圆二1的两个焦点，过F2且斜率不为0的直线交椭圆于A、B两点，则259ABFi的周长是20。2_x3.已知ABC的顶点B、C在椭圆一3在BC边上，则ABC的周长

6、为（六）焦点三角形的面积：y21上，顶点A是椭圆的一个焦点，且椭圆的另外一个焦点4,31.2已知点P是椭圆上y21上的一点，E、F2为焦点,4PF1?PF20，求点P到x轴的距离。2.3.4.解：设P（x,y）则2x设M是椭圆25cos解:4b2已知点332x2x4y23y21-R.R解得|y|3,所以求点P到X轴的距离为|y|W3332y16IPFi|21上的一点，Fi、F2为焦点，F1MF2,求F1MF2的面积。6|PF2|2|FiF2|2(IPFiI|PF2|)22|PFi|PF2|4c22|PFi|PF2|2|PFi|PF2|2|PFJ|PF2|2|PFiF1MF2EIS=1|PF11

7、1PF2|sin-16(226.3)2XP是椭圆2521上的一点，F1、9F2为焦点,12,则PF1F2的面积为_若x已知AB为经过椭圆a2J1(ab0)的中心的弦,b2F（c,0）为椭圆的右焦点，则4AFB的面积的最大值为cb。（七）焦点三角形x21 .设椭圆一9点的坐标。2x2 .椭圆92y-1的两焦点分别为42y-1的焦点为Fi、F22120OF1和F2,P为椭圆上一点,求PF1?PF2的最大值，并求此时P，点P在椭圆上，若PFi4,则PF22_;F1PF22X3.椭圆92y-1的焦点为F1、F24P为其上一动点，当F1PF2为钝角时，点P的横坐标的取值范围为353-5（八）与椭圆相关的

8、轨迹方程定义法:1.点M(x,y)满足/x2(y3)2xx2（y3）210,求点M的轨迹方程。2.3.4.5.22工土25161)2已知动圆P过定点A(3,0),并且在定圆B:(x3)2轨迹方程.2y64的内部与其相内切，求动圆圆心22土L116722_22已知圆C：(x3)y4,圆C2：(x3)y100,动圆P与C1外切，与C2内切，求动圆圆心P的轨迹方程.解：由题|PC1|PC21r210r1222所以点P的轨迹是：以C1,C2为焦点的距离之和为12的椭圆。c3,a6,方程为y-13627一，11.22.已知A(2,0),B是圆F：(x万)y4(F为圆心)上一动点，线段AB的垂直平分线交B

9、F于P,则动点P的轨迹方程为4y2已知A(0,-1),B(0,1),ABC的周长为6,则ABC的顶点C的轨迹方程是直接法4A6.若ABC的两个顶点坐标分别是B(0,6)和C(0,6),另两边AB、AC的斜率的乘积是一，顶点A922的轨迹方程为y-1。8136相关点法22.7.已知圆x y 9,PM 2MP '，求点从这个圆上任意一点 M的轨迹。P向x轴引垂线段PP',垂足为P',点M在PP'上，并且8.2x9一 2 已知圆x11,从这个圆上任意一点P向X轴引垂线段PP',则线段PP的中点M的轨迹方程是一2/2x4y1,二、直线和椭圆的位置关系(一)判断位

10、置关系1 .当m为何值时，直线l:yxm和椭圆9x216y2144(1)相交；(2)相切；(3)相离。yxm2解：由22消去y得25x232mx16m21440,判别式：576(25m)9x216y2144所以，当5m5时直线与椭圆相交；当m5时直线与椭圆相切；当m5或m5时直线与椭圆相离。2 .若直线ykx2与椭圆2x23y26有两个公共点，则实数k的取值范围为。(二)弦长问题221 .设椭圆C:x241(ab0)的左右两个焦点分别为Fl、F2,过右焦点F2且与x轴垂直的直ab线l与椭圆C相交，其中一个交点为M«2,1)°2 2(1) 求椭圆的方程；y-142(2) 设椭

11、圆C的一个顶点为B(0,-b),直线BF2交椭圆C于另一点N,求F1BN的面积。解：由(1)点B(0,J2),F2("2,0),直线BE的方程为：xy<24 23xy.2x2y2消去y得：3x24V2x0，解得x0或x1424.2.2所以点N的坐标为(工一，)所以SF1BNSF1F2BSF1F2N222("3'2)3(三)点差法22定理在椭圆Jyr1(a>b>0)中，若直线l与椭圆相交于M、N两点，点P(x0,y0)是弦a2b2MN的中点，弦MN所在的直线l的斜率为kMN ,则kMNV。x0b22 .a1.已知一直线与椭圆4x29y236相交于A、

12、B两点，弦AB的中点坐标为(1,1),求直线AB的方程.xx2.(1)(2)12_2214x19yl36解：设交点A(x1,yjBJz，丫2),则有，22y1y214x29y2362(2) -(1)得4(x2xj(x2x1)9(y2y1)(y2y1)0(y2y1)4即二k,又直线ab过点(1,1)(x2x1)9-，、-4，、所以直线AB的方程为：y1一(x1)9222.直线l经过点A(1,2),交椭圆y-1于两点P1、P2,3616(1)若A是线段P1P2的中点，求l的方程；(2)求P1P2的中点的轨迹.解：(1)设P1(x1y1)、P2(x2,V2),12 y1 w"2 y2 76

13、2X1则362X236(XiX2)(XlX2)36(yy2)(yy2)016-A(1,2)是线段P1P2的中点，xi+X2=2y1+y2=4,.2(X1X2)4(y1y2)。，即y1V23616X1X2.l的方程为y2(X1)92，即2X+9y-20=0.(2)设P1P2的中点M(xy),贝Ux1+x2=2x,y1+y2=2y,代入*式，得k3丫2X1X2M,又直线l经过点A(1,9y整理，得4x(x-1)+9y(y-2)=0P1P2的中点的轨迹:/12(X2)52(y1)2109(四)定值、定点问题1、已知动直线 y k(x 1)与椭圆2 X C :5uur uuirMA MB为定值.2y5

14、31相交于A、B两点，已知点-,0),求证:3证明：设交点k(x3y2则有X1X2A(x1 , y1), B(x1)消去y得(156k2-2 , X1X 21 3k2，y2 )3k2)x23k2MA(X13,y1),MB(X3k2 51 3k23，y2)MA uur MAMBuuir(X173)(X273)y y2(1,2、k )x1x27(3249k )(X1 X2)一9k219.MB为定值已知椭圆C中心在原点，焦点在 X轴上,焦距为2 ,短轴长为2 J3 .(1)求椭圆C的标准方程；(2)若直线l : ykx m k 0与椭圆交于不同的两点M、N ( M、N不是并求出定点的坐椭圆的左、右顶

15、点)，且以MN为直径的圆经过椭圆的右顶点A.求证：直线l过定点,标.解：(i)设椭圆的长半轴为a,短半轴长为b,半焦距为c,则4分2c2b2a2,23,22bc,a2,解得，椭圆b.3,C的标准方程为2匕1.3(H)由方程组22xy43ykxm消去y,得34k28kmx24m122由题意8km434k24m120,整理得:34k2设Mx1,y1、NX2,y2，则XiX28km234k224m12由已知,AMAN,且椭圆的右顶点为A(2,0)，x1x2km2x1X2X1X21k224m3124k28kmkm2234k2_2m4-234k2Xi2X22V1V2010分整理得7m216mk一2一.一

16、4k0.解得m2k2k一，均满足711分2k时，直线l的方程为kx2k,过定点(2,0),不符合题意舍去;2k时，直线l的方程为7故直线l过定点，且定点的坐标为(7,0)-13分20.在直角坐标系xOy中，点M到F1(J3,0)、F2(J3,0)的距离之和是4,点M的轨迹C与x轴的负半轴交于点A,不过点A的直线l：ykxb与轨迹C交于不同的两点P和Q.(1)求轨迹C的方程;(2)当uuruurAPAQ0时，求k与b的关系，并证明直线解：(1)二.点M至U(、3,0),(、/3,0)的距离之和是4,.M的轨迹C是长轴长为4,焦点在X轴上焦距为2J3的椭圆，其方程为y21(2)将ykxb,代入曲线

17、C的方程，整理得(14k2)x28kbx4b2因为直线l与曲线C交于不同的两点P和Q所以64k2b24(14k2)(4b24)_2216(4kb1)0.设P(vy1),Q%,y2),则xX28kb2,14k2X1X24b2414k2且y1y2(kX1b)(kX2b)k2X1X2kb(x1x2)b2.显然，曲线C与x轴的负半轴交于点A(2,0),uuruur所以AP(Xi2,必)，AQ(X2uuruuur2,y2),由APAQ0,得(X12)(X22)Niy0.将、代入上式，整理得12k216kb5b20,所以(2kb)(6k5b)0,即b62k或b-k.经检验，都符合条件.52k时，直线l的方

18、程为ykX显然,此时直线l经过定点(2,0)八、即直线l经过点A ,与题意不符.6k时，直线l的方程为5kX5 一一，-6一，一k(X -).显然，此时直线l经过7E点(一，0)点，且不过点6 5综上,k与b的关系且直线l经过定点(9,0)点.513分-2,2,结合相应的二次函数图像可得(1) 4m<-2,即 m< 。时,32(PM) min=|m+2|；三、最值问题X225.已知P为椭圆一y21上任意一点，M(m,0)(mCR),求PM的最小值。4目标：复习巩固定点与圆锥曲线上的点的连线段的最值问题。提示：设P(X,y),用距离公式表示出PM,利用二次函数思想求最小值。解：设P(

19、x,y),PM=J(xm)2y2=J(xm/21-=y /4m 9 . m2二-(x )1 ,x £2mx1W刈时，MF；的一般线与直相切，坐标是('-.-2 ,2)o|10 2.2 |- 2 10忑=25 5,此时点p的|10 2.2| 2 10-H= = 2、/5 g-, 此时点 P 的（3）m>>2即m>3时，（PM）min=|m-2|.32说明：（1）类似的，亦可求出最大值；（2）椭圆上到椭圆中心最近的点是短轴端点，最小值为b,最远的点是长轴端点，最大值为a;（3）椭圆上到左焦点最近的点是长轴左端点，最小值为a-c,最远的点是长轴右端点，最大值为a+

20、c;.X22.、一,一.一.一,.6.在椭圆一y1求一点P,是它到直线l:x+2y+10=0的距离最小，并求最大最小值。4目标：复习研究圆锥曲线上的点与直线的距离问题处理方法。提示：（1）可等价转化为与直线l平行的椭圆的切线l之间的距离；（1）也可以用椭圆的参数方程。2解法一：设直线m：x+2y+m=0与椭圆y214x2ym0贝x22，消去x,得8y2+4my+m2-4=0,A=瑜军得m=22.当m=2应时，直线与椭圆的切点P与直线l的距离最近，最近为坐标是（反§）；当m=-2应时，直线与椭圆的切点P与直线l的距离最远，最远为解法二：设椭圆上任意一点P（2cos0,sin0q,0,2

21、）则P到直线l的距离为12c°s一2sn101=2&"4，1055.,.当0时，P到直线l的距离最大，最大为2拆2此时点P的坐标是（>/2,）;452当。金一时，p到直线i的距离最小，最小为2后20,此时点p的坐标是（72,）o452说明：在上述解法一中体现了数形结合”的思想，利用数形结合顺利把点与直线的距离问题迅速转化成两平行线间的距离。在解法二中，利用椭圆的参数方程可迅速达到消元的目的，而且三角形式转换灵活多变,利用正余弦的有界性求最值或取值范围问题是一个不错的选择。227.设AB是过椭圆x-1中心的弦，Fi是椭圆的上焦点，925(1)若AABFi面积为4

22、J5,求直线AB的方程；(2)求ABFi面积的最大值。解：(1)设AB:y=kx,代入椭圆，得x2=,xi=-x2=又，Saabfi=|OFi|xi-x2|=2|xi-x2|=4,|xi-x2|=2,=5,k=,直线AB的方程为y=x。(2)SaABFi=|OFi|xi-x2|=4,，当k=0时，($ABFi)Max=i2OI9.设椭圆中心在坐标原点，A(2,0),B(0,i)是它的两个顶点，直线ykx(k0)与AB相交于点D,与椭圆相交于E、F两点.uurumr(i)若ED6DF,求k的值；(2)求四边形AEBF面积的最大值.2(i)解：依题设得椭圆的方程为y2i,4直线AB,EF的方程分别

23、为x2y2,ykx(k0).如图，设D(x0,kxO),E(xi,kxi),F(x2,kx2),其中x2,且X,x2满足方程(i4k2)x24,故x2xi2 .,i 4k2_10_7、1 4k2uuruuri5由ED6DF知x0x16(x2x0),得x0(6x2x1)x22,210由D在AB上知x02kx02,得x0.所以2J012k12k7，4k2223化简得24k25k60,解得k或k38(2)解法一：根据点到直线的距离公式和式知，点E,F到AB的距离分别为hM2kX2|2(12k，14k2)hM2kX22|2(12kJi4k2)55(14k2*)255(14k2)又AB也21J5,所以四

24、边形AEBF的面积为71AB(%h2)2g5g；(142L4)2j4k224k.2衣14k214k21.当2k1,即当k时，上式取等号.所以2解法二：由题设，BO1,AO2.S的最大值为2J2设ykx1，y2kx2,由得x20,y2y10,故四边形AEBF的面积为SSabefSaaefX22yJ(x22y2)y/X4y24X2y2W22(X24y2)2V2,当X22y2时，上式取等号.所以S的最大值为2J2.四、垂直关系10.（上海春季）已知椭圆C的两个焦点分别为与（1,0）、F2（1,0）,短轴的两个端点分别为BnB20若F1B1B2为等边三角形，求椭圆C的方程;(2)若椭圆C的短轴长为2,

25、过点F2的直线l与椭圆C相交于P、Q两点，且ILLTF1PFQr,求直线的方程。解：（1）设椭圆22C的方程为人工a2b2(ab0)。根据题意知a2a2bb2,解得a212b21,故椭圆c的方程为x当直线l的斜率不存在时，其方程为1,不符合题意;当直线l的斜率存在时，设直线l的方程为yk(x1)。y2x2k(x1)y21，得(2k21)x24k2x2(k21)0。P（x1，y1），Q(x2,y2),则x1x24k22k21xx22(k21)2k21unr，F1P(x11,必)，unrFQ(x21,V2)，uuiruuir因为F1PFQ,uuruuir所以F1PFQ0,即(Xi1)(X21)V1

26、V2X1X2(XiX2)1k2(x11)(X21)22(k21)X1X2(k21)(X1X2)k217k212k21故直线l的方程为。或X7y10。211.如图，设椭圆y21的上顶点为B,右焦点为F,直线l与椭圆交于M、N两点，问是否存在直线2l使彳导F为ABMN的垂心。若存在，求出直线l的方程；若不存在，说明理由。解：由已知可得，B(0,1),F(1,0),.kBF=-1ol的方程为y=x+m,代入椭圆方程整理，得223x4mx2m2设M国，y1),N(X2,则为X2.BNXMF4m53yX1X1X22m2I3y21X21，即yy2X1X2必X20。，V2x2m,(X1m)(X2m)x1x2

27、(X1m)即2x1x2(m1)(X1(m4m、21)()mm323m0,由(4m)212(2m22)248m2得m23又m1时，直线过B点，不合要求,故存在直线l:yX4满足题设条件。3双曲线题型总结.定义的应用1.动点P与点5)与点F2©5)满足|PF1Fx20。PF2I6,则点P的轨迹方程为2.已知点 Fi( 4,0)和 F2(4,0),曲线上的动点P到F1、F2的距离之差为6,则曲线方程为（）A.2B.92x1(y0)C.72y71(x0)2xD.93.已知平面上两定点Fi,F2及动点M,命题甲:MF1MF22a（a为常数），命题乙：“点M轨迹是以F1,F2为焦点的双曲线”,则

28、命题甲是命题乙的（A:充分不必要条件B:必要不充分条件C:充要条件D:既不充分也不必要条件22一4双曲线4xy640上一点P到它的一个焦点的距离等于16.5,则点P到另一个焦点的距离等225.设P是双曲线a91上一点，双曲线的一条渐近线方程为3x2y0,F2分别是双曲线的左、右焦点，若PE|3,则PF2的值为点P在双曲线上且 PF1 PF2,6.已知双曲线的中心在原点，两个焦点F1,F2分别为（/5,0）和（J5,0）,且PF1F2的面积为1,则双曲线的方程为7.已知双曲线的两个焦点为Fi(J5,0）,f2（J5,0）,p是双曲线上的一点,且PF1PF2,PFiIPF222B:-3则该双曲线的

29、方程是22A：L£1238.已知F1，F2为双曲线4b21(b0）的焦点,过52作垂直于x轴的直线交双曲线于点P,且PF1F230°2X9.双曲线一92y161的两个焦点为F1,F2,点P在双曲线上，若PF1PF2,则点P到X轴的距离为一22211.若椭圆1(m n 0)和双曲线 m na10.双曲线16x2-9y2=144上一点P（xo,yo）（x。0）到左焦点距离为4,则Xo=21（ab0）有相同的焦点F1,F2,点P是两条曲线的b一个交点，则IPF1HPF2I的值为12.动圆与两圆x2y21和x2y28x120都相切，则动圆圆心的轨迹为（）A.抛物线B.圆C.双曲线白

30、一支D.椭圆2213.P是双曲线x2y2r1（a0,b0）左支上的一点，Fl,F2为其左、右焦点，且焦距为2c,则PF1F2ab的内切圆圆心的横坐标为二.双曲线的几何性质1 ."ab<0"是"方程ax2by2c表示双曲线”的（）A.必要不充分条件B.充分不必要条件C.充要条件D.既不充分又不必要条件2 .双曲线2x2y2m的一个焦点是（0,J3）则m的值是3 .如果双曲线的渐近线方程为y3x,则离心率为44.双曲线mx2y21的虚轴长是实轴长的2倍，则m（）A:4B:1C:4D:144225.双曲线、1的两条渐进线互相垂直，那么该双曲线的离心率为（）abA:

31、2B：、3C:2D:32226 .双曲线xyy1的实轴长、虚轴长、焦距成等比数列，则其离心率为（）abA:.2b7c：4d、3227 .P是双曲线x2y21上一点，则P到两条渐近线的距离的积为228.双曲线x2yr1的两条渐近线互相垂直，则双曲线的离心率为.ab2 x9.已知双曲线 a21的两条渐近线的夹角为一，则双曲线的离心率为2310.已知双曲线L1的离心率为e2,则k的范围为4k222 ,其离心率为11 .若双曲线x2与1的一条渐近线的倾斜角为0ab2212 .方程一x一y一1表示双曲线，则m的取值范围2m2mA: 2 m 2 B: m 0C : m 0 D : m 22 x 13椭圆3

32、42幺2n2- 一- x1和双曲线T n216 1有相同的焦点,则实数 n的值是A: 5B: 3C :25D:9214.曲线-x一2-y 1(m 6)与曲线6 m1(5 m 9)的()A:焦距相等B :离心率相等C :焦点相同D :准线相同15 .已知椭圆2-23m 5n21和双曲线'2m2匕1有公共焦点，那么双曲线的渐近线方程为 3n16 .已知方程ax2 by2 b(ab 0),则此曲线是A:焦点在x轴上的双曲线B :焦点在y轴上的双曲线C :焦点在x轴上的椭圆 D :焦点在y轴上的椭圆.求双曲线方程221 .已知圆 C1:(x 5) y._2249与圆C2：(x 5) y 1 ,

33、圆C与圆Ci,圆C2均外切；则圆C的圆心C的轨迹方程是2 .若双曲线的两个焦点分别为(0, 2),(0 2),且经过点(2,炳，则双曲线的标准方程为3 .与曲线2x242y491共焦点,而与2x362y- 1共渐近线的双曲线方程为(642A:L162 x B: 162222y xx yC : 1 D: 9169164 .已知双曲线中心在原点，一个顶点的坐标为(3,0),且焦距与虚轴长之比为5 : 4 ,则双曲线的标准方程5.已知双曲线通过M(1,1),N(2,5)两点，求双曲线的标准方程2x26.(1)设P是双曲线-y2=1上的动点，O为坐标原点，M为线段OP中点，求点M的轨迹方程.4四.直线

34、与双曲线._.2_26的右支交于两点；求实数k的取值范围。2.过原点的直线l与双曲线y2x2 1有两个交点，则直线l的斜率的取值范围为1.直线ykx2与x3y.定义的应用221.x611(尸3)2D3.B4.32.526.4一1617.C8.2寸29._510.2111.ma512.C13.a二双曲线的几何性质1.A2,-23.5或5344.B5.6.C7.9.1010.12k03111.cos12.A13.B14.15.x16.B1.5.6.求双曲线方程设双曲线C方程为由题意得4m解:3)2.3.4.2二1162mxny1(mn0)25n双曲线的标准方程为8x27设P(Xo,yo)及M(x,

35、y)为线段OP中点4y21四.直线与双曲线1.kx3y2又22.3.1)U(1,oo)利用数形结合,4.解:(1)由已知得X。2x0则42x,y。(3k21)xx1x20xx22y02y1(1)代入(1)得4y21,点M的轨迹方程为12kx180两不同根为_272(1k)012k023k210x1，x2结合渐近线可求得,a23-2,所以，a1，所以双曲线方程为所以双曲线的渐近线方程分别3x一(2)由(1)知F1(0,2),F2(0,2),因为21ABi5严F21,所以AB“5AZ3、3、10,设A(x1，x1)，B(x2,x2),AB33中点M(x,y)则 xix22x,-x1噂 X2 2y,

36、AB 3310J(x2xi)2之乂2里x,)210,.33x2消去xi,x2并整理得：点M的轨迹方程为752y-1,所以点M轨迹是焦点在x轴上的椭圆.253抛物线.抛物线的定义1.若工是定直线？外的一定点，则过工与？相切圆的圆心轨迹是（）A.圆？?？B椭圆？?？C双曲线一支？?？D抛物线1.若点口到点与40的距离比它到直线工+5=0的距离小1,则F点的轨迹方程是（）A.艮=?B=一蒐工C.”三I®?D二3若点P到直线y=-1的距离比它到点（0,3）的距离小2,则点P的轨迹方程为（）=12y=12x=4yD.x2=6y4.已知点川3,2）,产是抛物线的焦点，点加在抛物线上移动时，阿卜”

37、阴取得最小值时.点的坐标为（）.A. (0, 0)B.C. NR D. (2, 2)8 .抛物线/三2工的焦点弦的端点为4"）J%为）9 .过抛物线y 2=4x的焦点作直线，交抛物线于 A（x1, y 1）么 |AB|二A. 8B. 10C. 65,已知点（一2,3）与抛物线,'2Px（小口）的焦点的距离是5,则声=:6 .在抛物线Mm上有一点产,它到焦点的距离是20,则产点的坐标是.7 .已知抛物线,"6I。）上一点用姆力到焦点干的距离等于4G，则血，且公+工”3,则网=.,B(x2,y2)两点,如果x1+x2=6,那()D.410.在抛物线上有一点F,它到焦点的

38、距离是20,则尸点的坐标是:11.(1)抛物线C:y2=4x上一点P到点A(3,4J2)与到准线的距离和最小，则点P的坐标为CAP BF(2)抛物线C:y2=4x上一点Q到点B(4,1)与到焦点F的距离和最小，则点Q的坐标为分析：(1)A在抛物线外，如图，连PF,则pH产，因而易发现，当A、P、F三点共线时，距离和最小。(2)B在抛物线内，如图，作QR±l交于R,则当BQ、R三点共线时,距离和最小。解：(1)(2,J2)连PF,当A、P、F三点共线时，|APPHPF最小，此时AF的方程为y3(x1)2.3.A. 4口 ? ? B4值 4口 C.；)船? D.4a即y=2”(x-1)，

39、代入y2=4x得P(2,2j2),(注：另一交点为J,J2),它为直线AF与抛物线的另一交点,2舍去)1,(2)(,1)4过Q作QRL交于R,当B、Q、R三点共线时，BQQFBQQR最小，此时Q点的纵坐标为1,c1一1，代入y2=4x得x=,Q(,1)44点评：这是利用定义将“点点距离”与“点线距离”互相转化的一个典型例题，请仔细体会。9.二.抛物线的几何性质焦点在直线3工-4,-12=0的抛物线的标准方程是y=竟(人4-)抛物线4口的焦点坐标是()A. x轴的负半轴上？?？ B或轴的正半轴上c. y轴的负半轴上？?？ d 丁轴4.抛物线,三1°戈的焦点到准线的距离是(A.?B.5?

40、C?D105.抛物线,+尸"的焦点位于()的正半轴上6 .抛物线工二号'（QH0）的焦点坐标为（）d'O）J'。）（：0）门匚川n,（一；A.R?B怎C.%?D以时为4口严口时为4口7 .抛物线'口工°）的焦点坐标是（）.ri勺1、（1（1s0I0,0,-.0A,%Bb.IcID.U6厘/三.求抛物线方程1 .已知原点为顶点，震轴为对称轴的抛物线的焦点在直线2k-47+11=0上，则此抛物线的方程是（）Ayb./=-"犬C.口艮=-22工2 .抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上点（-5,m）到焦点距离是6,则抛物线的方程是（

41、）A.y2=-2xB,y2=-4xC.y2=2xD.y2=-4x或y2=-36x3 .与椭圆41+5_/=2Q有相同的焦点，且顶点在原点的抛物线方程是（）A,二皿b./=±4工C.=4y口贯=±4尸4 .已知抛物线的顶点在原点，对称轴是x轴，抛物线上的点M（3,m）到焦点的距离等于5,求抛物线的方程和m的值.5 .求顶点在原点，以二轴为对称轴，其上各点与直线女斗4尸二12的最短距离为1的抛物线方程.6 .平面内过点A（-2,0）,且与直线x=2相切的动圆圆心的轨迹方程是（）A.y2=-2xB,y2=-4xC,y2=8xD.y2=-16x7 .已知动圆M与直线y=2相切，且与

42、定圆C:x2（y3）21外切，求动圆圆心M的轨迹方程.18 .动直线y=a,与抛物线yx相父于A点，动点B的坐标是（0,3a）,求线段AB中点M2的轨迹的方程.29 .已知点和抛物线V"工上的动点尸，点M分线段FW为产此山=31,求点打的轨迹方程.四.直线与抛物线的关系1 .过（0,1）作直线，使，它与抛物线二船仅有一个公共点，这样的直线有（）条A.1?B2?C3?D42 .设抛物线V）与直线v=（尢羊0）有两个公共点，其横坐标分别是F、药,而三是直线与近轴交点的横坐标，则石、飞、飞关系是（）C,演七二吃网+玉/D,11/=七石+现3 .抛物线yx2上一点到直线2xy40的距离最短的

43、点的坐标是（）A.（1,1）B.（-,-）C.（3,9）D.（2,4）24244 .过点M（2,4）作与抛物线y2=8x只有一个公共点的直线l有（）A.0条B.1条C.2条D.3条5 .过抛物线y=ax2（a>0）的焦点F作一直线交抛物线于P、Q两点，若线段PF与FQ的长分别是p、q,则11等于（）pqA.2aB.C.4aD.42aa6 .在抛物线V=内，通过点（2,1）且在此点被平分的弦所在直线的方程是.7过抛物线y2=x的焦点F的直线l的倾斜角9京直线l交抛物线于A,B两点，且点A在x轴上方，则|FA|的取值范围是（）1 2111、A（4.1+2B.（4,1C.4,+8）D.2,+o

44、o）8.抛物线y2=4x的焦点为F,A（x1,y1）,B（x2,y2）（x1>x2,y1>0,y2<0）在抛物线上，且存在实数%使AF+屈=方，丽|=25.求直线AB的方程；解答题12一1.如图，A1,2、B-,1是抛物线yaxa0上的两个点，过点A、B引抛物线的两条弦4AE,BF.（1）求实数a的值；（2）若直线AE与BF的斜率是互为相反数，且A,B两点在直线EF的两侧.直线EF的斜率是否为定值？若是求出该定值，若不是，说明理由；求四边形AEBF面积的取值范围.0uuuuuu3.已知抛物线E:y22Px(p0),直线xmy3与E交于A、B两点，且OAgDB6,其中。为坐标原

45、点.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点C的坐标为(3,0),记直线CA、CB的斜率分别为k1,k2,11-2证明2m为定值.k12k226 .如图，已知抛物线C：y24x,过焦点F斜率大于零的直线l交抛物线于A、B两点，且与其准线交于点D.(I)若线段AB的长为5,求直线l的方程；(n)在C上是否存在点M,使得对任意直线l,直线MA,MD,MB的斜率始终成等差数列，若存在求点M的坐标；若不存在，请说明理由7 .已知点F为抛物线E：y22Px(p0)的焦点，点A(2,m)在抛物线E上，且到原点的距离为2J3.(1)求抛物线E的方程；(2)已知点G(1,0),延长AF交抛物线E于点B,证明：以点

46、F为圆心且与直线GA相切的圆，必与直线GB相切.28 .已知抛物线C:y4x,过其焦点F作两条相互垂直且不平行于坐标轴的直线，它们分别交抛物线C于点Pi、P2和点R、P4,线段PP2、的中点分别为Mi、M2.(1)求线段P1P2的中点Mi的轨迹方程；(n)求FM1M2面积的最小值；(出)过Mi、M2的直线l是否过定点？若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由.x10 .在直角坐标系xOy中，曲线C:y与直线l:ykxaa0交于M,N两点.(1)当k0时,分别求C在点M和N处的切线方程；(2)y轴上是否存在点P,使得当k变动时，总有OPMOPN?说明理由.一.抛物线的定义1.D2,C3.A4.D5.4;6.(18,12)或(18,12);7.%，土？旧餐;8.49.A10.(18,12)或(18,12);二.抛物线的几何性质1.D2.戈或'=-I2，3.B4.B5.C6.C7.B.求抛物线方程1.D2.B3.B4.解析:设抛物线方程为x22py(p0),则焦点F(),由题意可得2-m 6p2 s P2cm(3)52故所求的抛物线方程为x2 8y ,m的值为 2