人教版初三(上)数学：二次函数的图象(教师版)

1、二次函数的图象为知识梳理)1 .二次函数的图象(1)二次函数丫=2*2 (a*0)的图象的画法：先取原点(0, 0),然后以原点为中心对称地选取x值，求出函数值，列表.(2)：在平面直角坐标系中描出表中的各点.：用平滑的曲线按顺序连接各点.在画抛物线时，取的点越密集，描出的图象就越精确，但取点多计算量就大，故一般在顶点的两 侧各取三四个点即可.连线成图象时，要按自变量从小到大(或从大到小)的顺序用平滑的曲线 连接起来.画抛物线丫=2、2 (aM)的图象时，还可以根据它的对称性，先用描点法描出抛物线的 一侧，再利用对称性画另一侧.(2)二次函数 y=ax2+bx+c (a*0)的图象二次函数y=

2、ax2+bx+c(a*0)的图象看作由二次函数y=ax2的图象向右或向左平移个单位， 2a再向上或向下平移I小士 I个单位得到的.4a2 .二次函数图象与系数的关系二次函数 y=ax2+bx+c (a*0 )二次项系数a决定抛物线的 和.当a>0时，抛物线向上开口：当a<0时，抛物线向下开口：还可以决定开口大小，越大， 开口就越一.一次项系数b和二次项系数a共同决定对称轴的位置.当a与b同号时(即ab>0),对称轴在y轴左：当a与b异号时(即ab<0),对称轴在y轴右.(简 称：左同右异).常数项c决定抛物线与y轴交点.抛物线与y轴交于(0, c).抛物线与x轴交点个数

3、. =b2 - 4ac>0时，抛物线与x轴有2个交点： =b2 - 4ac=0时，抛物线与x轴有1个交点： =b2 -4ac<0时，抛物线与x轴没有交点.3.二次函数图象与几何变换由于抛物线平移后的形状，故a不变，所以求平移后的抛物线解析式通常可利用两种方法： 一是求出原抛物线上任意两点平移后的坐标，利用待定系数法求出解析式： 二是只考虑平移后的顶点坐标，即可求出解析式.参考答案：1 .(1)列表；描点；连线：2 .开口方向大小小3 .不变会典例讲练)1 .动点的二次函数图象.【例1】（2014北京望京陈经纶中学期末）如图，直角梯形ABCD中，Z A=90% Z B=45°

4、;,底边AB=5,高AD=3,点E由B沿折线BCD向点D移动，EMJ_AB于M, EN_LAD于N,设BM=x,矩形AMEN的而积为y,那么y与x之间的函数关系的图象大致是（）1【解析】利用面积列出二次函数和一次函数解析式，利用面积的变化选择答案.解：根据已知可得：点E在未到达C之前，y=x （5-x） =5x-x?；且狂3,当x从0变化到2.5时，y逐渐变大，当x=2.5时，y有最大值，当x从2.5变化到3时，y逐渐变小，到达C之后，y=3 （5-x） =15-3x, x>3,根据二次函数和一次函数的性质.故选：A.练1.如图，等腰直角三角形ABC （/C=90。）的直角边长与正方形M

5、NPQ的边长均为4cm, CA与 MN在同一直线上，开始时A点与M点重合，让 ABC向右平移，直到C点与N点重合时 为止，设 ABC与正方形MNPQ的重叠部分（图中阴影部分）的面积为ycnf, MA的长度 为xcm,则y与x之间的函数关系大致为（）【解析】动点问题的函数图象：二次函数的图象.解：当xacm时，重合部分是边长是x的等腰直角三角形，面积y=&2,是一个开口向上的二次函数：当x>4时，重合部分是直角梯形，面积y=8-（x-4） 2,即y=-1x2+4x,是一个开口向下的二次函数.故选B.2 ,二次函数图象的象限分布.例2 （2015-111东淄博三中月考）已知y=ax?

6、+bx+c的图象如图所示,则y=ax+b的图象一定过（）C.第二三，四象限B.第一，二，四象限D.第一，三，四象限【解析】由抛物线开口向上得到a>0,由对称轴为x=-_N>0可以推出b<0,而一次函数与y轴 2a的交点为（0, b）,与x轴的交点为（-2 0）, 一次可以得到y=ax+b的图象象经过的象 a限.解：.抛物线开口向上，/. a>0>e.e对称轴为x= - >0»2a又丁 a>0, b<0t一次函数与y轴的交点为（0, b）,与x轴的交点为（-2，0）, a故图象一定过第一，三，四象限.故选D.练2,二次函数丫=乂2+6、丑

7、:的图象如图所示，则直线y=bx+c的图象不经过（）A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限【解析】本题可先由二次函数的图象得到字母系数的正负，再利用一次函数的图象与性质解答.解：由图象可知抛物线开口向下，a<0,/对称轴在y轴右侧，/.对称轴x= - >0t 2a/. b>0；抛物线与y轴的交点为在y轴的负半轴上，/. c<0；V b>0, c<0二. 一次函数y=bx+c的图象不经过第二象限.故选B.练3.在同一直角坐标系中，函数y=mx+m和y= - mx，2x+2（m是常数，且nixO）的图象可能是（）【解析】本题主要考查一次函数和二次函数的

8、图象所经过的象限的问题，关键是m的正负的确定， 对于二次函数y=ax?+bx+c,当a>0时,开口向上：当a<0时，开口向下.对称轴为x=-上， 2a与y轴的交点坐标为（0, c）.解：逐项分析A、由函数y=mx+m的图象可知m<0,即函数y= - mx?+2x+2开口方向朝上，与图象不符，故A选 项错误：B、由函数y=mx+m的图象可知m<0,对称轴为x=-袅-=|不<0,则对称轴应在y轴左 恻，与图象不符，故B选项错误：C、由函数y=mx+m的图象可知m>0,即函数y= - mx?+2x+2开口方向朝下，与图象不符，故C选 项错误；D、由函数y=mx+m

9、的图象可知mVO,即函数y=-mx2+2x+2开口方向朝上,对称轴为x= -至-则对称轴应在y轴左侧，与图象相符，故D选项正确：2a - 2ir ir3.二次函数的图象.【例3】（2014四川绵阳一中期中）在同一坐标系中,作出函数户kx2jly=kx-2 （k#0）的图象，只可能是（）卡卡辛【解析】根据题意，分k>0与k<0两种情况讨论，结合一次函数 分析选项可得答案.解：根据题意，当k>0时，函数y=kx?开口向上，而y=kx - 2的图象过一、三、当kVO时，函数y=kx?开口向下，而丫=10-2的图象过二、三、二次函数的图象与系数的关系,四象限，四象限，分析选项可得，只

10、有B符合，故选B.练4.二次函数y=2 （x+2） 2 - 1的图象是（）一X/孑-2：十A.:B. ：1C【解析】先根据解析式确定抛物线的顶点坐标、对称轴, 解：a=2>0,抛物线开口方向向上；二次函数解析式为y=2 （x+2） 2 - 1, 顶点坐标为（-2, - 1）,对称轴x= - 2.【然后对图象进行讨论选择.故选c.4.二次函数图象与系数的关系.【例4】（2014上海闸北区24校联考）已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论正 确的是（）A. a>0B. c<0C. b2 - 4ac<0D. a+b+c>0【解析】由抛物线的开口方向判

11、断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点得出c的值，然后根据抛 物线与x轴交点的个数及x=l时二次函数的值的情况进行推理,进而对所得结论进行判断.解：A、由二次函数的图象开口向下可得a<0,故选项错误：B、由抛物线与y轴交于x轴上方可得c>0,故选项错误：C、由抛物线与x轴有两个交点可以看出方程ax2+bx+c=O的根的判别式b2-4ac>0,故选项错 误：D、把x=l代入户ax2+bx+c得：y=a+b+c,由函数图象可以看出x=l时二次函数的值为正，正 确.故选D.练5.如图是二次函数y=ax2+bx+c图象的一部分，图象过点A （-3, 0）,对称轴为x=-l.给出四 个结

12、论：b2>4ac：2a+b=0： （3）a - b+c=0：5aVb.其中正确结论是（）A.B,C.D.【解析】由抛物线的开口向下知aVO,与y轴的交点在y轴的正半轴上得到c>0,由对称釉为x= -上=-1可以判定错误；由图象与x轴有交点，对称轴为x=-2-1,与y轴的交点在y 2a轴的正半轴上，可以推出b2-4ac>0,即b2>4ac,正确：由x=-l时y有最大值，由图 象可知ywO,错误.然后即可作出选择.解：.图象与x轴有交点，对称轴为x=-2-l,与y轴的交点在y轴的正半轴上，2a又.二次函数的图象是抛物线，.,.与X轴有两个交点，/. b2 - 4ac>

13、0,即b?>4ac,正确;抛物线的开口向下，/. a<0,/与y轴的交点在y轴的正半轴上，c>0,对称轴为*= -1, 2a2a=b,/. 2a+b=4a, axO,错误：X= - 1时y有最大值，由图象可知"0,错误：把x=l, x= - 3代入解析式得a+b+c=O, 9a - 3b+c=O,两边相加整理得5a - b= - c<0,即 5a<b.故选B.5.二次函数自变量的取值范围；例5 （2014秋天津蓟县中学期末）函数y=ax2 - 2x+l和y=ax+a （a是常数,且a*0）在同一直角坐标系中的图象可能是（）【解析】可先根据一次函数的图象判

14、断a的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正误. 解：A、由一次函数y=ax+a的图象可得：a<0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故 选项错误：B、由一次函数y=ax+a的图象可得：a<0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向下，故 选项错误；C、由一次函数y=ax+a的图象可得：a>0,此时二次函数y=ax2+bx+c的图象应该开口向上，对 称轴x=-3>0,故选项正确；2aD、由一次函数y=ax+a的图象可得：a<0>此时二次函数y=ax2+bx+c的对称轴x=-<0,2a故选项错误.故选C.练7.抛物线y

15、=ax?+bx+c与直线y=ax+b的大致图象只可能是（）【解析】可先根据一次函数的图象判断a、b的符号，再判断二次函数图象与实际是否相符，判断正 误.解：由这四个选项中的二次函数图象，开口向上，可判断a>0,对称轴在y轴的左侧，a与b的符号相同，a>0, b>0直线过第一二三象限，故选A.S3当堂检测）1 .二次函数y=ax2+bx+c （a#0）的图象如图所示，则下列结论：a>0： ®c>0： b2-4ac>0, 其中正确的个数是（）C. 2个D. 3个2 .二次函数丫=乂2+6入+<:的图象如图，则点M （b,三）在（）aC.第三象限

16、D.第四象限3.已知二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示,则a、b、c满足（）a<0, bVO, c<0C.a<0, b>0, c>0D. a>0, b<Ot c>04 .抛物线y=-x2+bx+c的部分图象如图所示，若y>0,则x的取值范围是.5 .已知抛物线产ax?+bx+c的部分图象如图所示，若y>0,则x的取值范围是6 .如图，OO的半径为2, J是函数y=1x2的图象，C2是函数y=-lx?的图象，则阴影部分的而2妻家庭作业）1 .若二次函数y=ax2+bx+c的顶点在第一象限，且经过点（0, 1）, （ - 1, 0

17、）,则5=2+6我的变化范 围是（）A. 0<s<2B. S>1C. 1<S<2D. - 1<S<12 .已知二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示，则卜.列6个代数式：ab, ac, a+b+c, a-b+c, 2a+b,2a-b中，其值为正的式子的个数是（）3 .二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下面四个结论中正确的结论有（）acVO； ab>0； （3）2a<b： （4）a+c>b：（5）4a+2b+c>0； （6）a+b+c>0.A.两个 B.三个C.四个 D.五个4 .二次函数y=ax2+bx+c

18、的图象如图所示，根据图象可得a, b, c与0的大小关系是（）A. a>Ot bVO, c<0B. a>0, b>0, c>0C. aVO, b<0, c<0D. a<0, b>0, c<05.已知b>0时，二次函数y=ax2+bx+a2-1的图象如下列四个图之一所示:A. -2B. - 1C. 1D. 26 .二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，下列结论错误的是（）7 .二次函数y=ax2+bx+c的图象过原点，且与x轴的正半轴相交，则下列各式正确的（）A. a>Ot bVO, c<0 B. c=0, ab

19、<0 C. axO, b<0, c=O D. a/0, b>0, c=08 .已知二次函数y=ax、bx+c的图象如图所示，下列结论：a+b+c>0； a - b+c>0；（3）abc<0；2a+b=O.其中正确的个数为（）A. 1个B,2个C.3个D. 4个9 .已知aVO, b>0»那么抛物线y=ax?+bx+2的顶点在（）A.第一象限B.第二象限 C.第三象限D.第四象限10 .已知二次函数y=ax?+bx+c的图象如图所示，那么点(且，也)在平面直角坐标系中的()C CA.第一象限 B.第二象限 C.第三象限D.第四象限11 .已知二

20、次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则a, b, c满足()A. a<0, b<0, c>0, b2 - 4ac>0 B. a<0, b<0, c<0, b2 - 4ac>0C. a<0» b>0, c>0, b2 - 4ac<0 D. a>0, bVO, c>0, b2 - 4ac>012 .初三数学课本上，用描点法画二次函数y=ax2+bx+c的图象时，列了如下表格:x.- 2 1012.根据表格上的信息回答问题：该二次函数y=ax2+bx+c在x=3时，y=.13 .如图是二次函数y

21、=a(x+1)2+2图象的一部分,该图在y轴右侧与x轴交点的坐标是14 .抛物线y=ax?+bx+c过点A (1, 0), B (3, 0),则此抛物线的对称轴是直线x=15 .如图所示的抛物线是二次函数y=ax2 - 3x+a2 - 1的图象，那么a的值是.16 .二次函数y=ax、bx+c的部分对应值如下表：x-3 - 201 35.y7 0 - 8 - 9 - 57 二次函数y=ax2+bx+c图象的对称轴为x=， x=2对应的函数值y=1参考答案:当堂检测1.【分析】由抛物线的开口向下得到aVO,由此判定错误：由抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上得到c>0,由此判定正确:由抛物

22、线与x轴有两个交点得到b2 - 4ac>0,由此判定正确.所以有2个正确的.【解答】解：.抛物线的开口向下，/. a<0,错误：.抛物线与y轴的交点为在y轴的正半轴上，/. c>0,正确；v抛物线与X轴有两个交点，/. b2 - 4ac>0,正确.有2个正确的.故选C.2.【分析】由抛物线的开口向下得到a<0,由与y轴的交点为在y轴的正半轴上得到c>0,进一步得 到£<0,由对称轴为x= -上>0可以推出b>0,最后即可确定点M （b,上）的位置.a2aa【解答】解：.抛物线的开口向下，/. a<0,/与y轴的交点为在y轴的

23、正半轴上，c>0,-<0, a对称轴为x= - >0, 2aa、b 异号，即 b>0,二点M （b,三）在第四象限. a故选D.3.【分析】由于开口向下可以判断aVO,由与y轴交于正半釉得到c>0,又由于对称轴x=-上V0, 2s可以得到b<0,所以可以找到结果.【解答】解：根据二次函数图象的性质，开口向下，/. a<0,/与y轴交于正半轴，/. c>0,又对称轴x= - -<0, 2ab<0,所以A正确.故选A.4.【分析】根据抛物线的对称轴为x=- 1, 一个交点为（1, 0）,可推出另一交点为（-3, 0）,结合 图象求出y&g

24、t;0时，x的范围.【解答】解：根据抛物线的图象可知：抛物线的对称轴为x=-1,已知一个交点为（1, 0）,根据对称性，则另一交点为（-3, 0）, 所以y>0时，x的取值范围是-3（xVl. 故答案为：-3VxVl.5.【分析】由图可知，该函数的对称轴是x=l,则x轴上与-1对应的点是3.观察图象可知丫>0时x 的取值范围.【解答】解：已知抛物线与x轴的一个交点是(-1, 0)对称轴为x=l,根据对称性，抛物线与x轴的另一交点为(3, 0),观察图象，当y>0时，-1VXV3.6.【分析】不规则图形面积通过对称转化为可求的图形面积.【解答】解：由图形观察可知，把x轴上边的阴

25、影部分的面积对称到下边就得到一个半圆阴影面积，则阴影部分的面积s=xnx 22=2-2故答案为：2ji.家庭作业1.【分析】由二次函数的解析式可知，当x=l时，所对应的函数值y=s=a+b+c.把点(0, 1), ( - 1, 0)代入y=ax?+bx+c,得出c=l, a - b+c=O,然后根据顶点在第一象限，可以画出草图并判 断出a与b的符号，进而求出S=a+b+c的变化范围.【解答】解：,二次函数y=ax?+bx+c的顶点在第一象限，且经过点(0,1), (- 1, 0),.易得：c=l, a - b+c=0, a<0, b>0,由a=b- l<0得到bVl,结合上而

26、b>0,所以OVbVl，由b=a+l>O得到a> - 1,结合上面a<0,所以-IVaVO，二.由得：-1 <a+b< 1,且 c=l,得到 0<a+b+c<2,/. 0<s<2.【分析】由抛物线的开口向下知aVO,与y轴的交点为在y轴的负半轴上可以推出cVO,然后就可 以判定ac的符号，对称轴为x= -二>0可以判定ab的符号：由于当x=l时，y=a+b+c> 2a0,当x=-l时，y=a-b+c<0：由对称轴为x= -上VI, aVO可以判定2a+b的符号：由 2aa<0, b>0可以判定2a-b的符

27、号.【解答】解：.抛物线的开口向下，a<0,与y轴的交点为在y轴的负半轴上，c<0,/. ac>0,对称轴为x= - >0,2aa、b 异号，即 b>0,/. ab<0,当 x=l 时,y=a+b+c>0>当 x= - 1 时，y=a - b+c<0.丁对称轴为x= -也VI, a VO,2a/. 2a+b<0,/. aVO, b>0,2a - b<0.有2个正确.故选A.3.【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称 轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断【解

28、答】解：错误，由函数图象开口向下及与y轴的交点在丫轴的负半轴可知，a<0, c<0,则 ac>0：错误，由函数图象开口向下可知，aVO,由对称轴在x轴的正半轴上可知，-殳 2a0,由于 aVO,故 b>0, ab<0：正确，由于aVO, b>0,所以2aVb；错误，由于 a<0, c<0, b>0,所以 a+c<0,故 a+c<b：错误，由函数图象可知对称轴乂=-殳>0, 0<殳<1,因为a<0,所以4a+2b 2a2aVO,因为 cVO,所以 4a+2b+cV0；正确，因为x=l时，由函数的图象可知y&

29、gt;0,所以a+b+c>0.故选A.4.【分析】由抛物线的开口方向判断a与0的关系，由抛物线与y轴的交点判断c与。的关系，然后 根据对称轴及抛物线与x轴交点情况进行推理，进而对所得结论进行判断.【解答】解：由抛物线的开口向下知a<0,与y轴的交点为在y轴的负半轴上，/. c<0,:对称轴为x= - >0, 2a/. a、b 异号，即 b>0.故选D.5.【分析】先根据所给条件和图象特征，判断出正确图形，再根据图形特征求出a的值.【解答】解：因为前两个图象的对称轴是y轴，所以-20,又因为arO,所以b=0,与bAO矛盾； 2a第三个图的对称轴-殳>0, a

30、>0,则bVO,与b>0矛盾；2a故第四个图正确.由于第四个图过原点，所以将（0, 0）代入解析式，得：a - 1=0,解得a=±l,由于开口向卜一，a= - 1.故选B.6.【分析】由抛物线的开口方向向上可以得到a>0,由与y轴的交点为在y轴的负半轴上可以推出c<0,而对称轴为x= -上>0可以推出b<0,由此可以确定abc的符号.2a【解答】解：抛物线的开口方向向上，/. a>0,/与y轴的交点为在y轴的负半轴上，c<0,/对称轴为x= - >0, 2a/. a、b 异号，即 b<0,/. abc>0.故选B.7.

31、【分析】二次函数y=ax2+bx+c的图象过原点，则可判断c=0,由对称轴公式x= -上>0,即可判 2a断a、b异号.【解答】解：.y=ax2+bx+c的图象过原点，"=0：又< x= - ->0t2a.也 vo, a/. ab<0.故选B.8.【分析】由抛物线的开口方向判断a的符号，由抛物线与y轴的交点判断c的符号，然后根据对称轴及抛物线中自变量x=l及x= - 1的情况进行推理，进而对所得结论进行判断.【解答】解：当x=l时，y=a+b+c<0,错误；当 x=-l 时，y=a - b+c>0,正确：由抛物线的开口向下知aVO,与y轴的交点为在

32、y轴原点，c=0,对称轴为x= -上2aVO, a、b同号，即b<0,因此abc=O,错误；对称轴为x=-1,得2a - b=0,错误：2a故选A.9.【分析】由aVO, b>0,故其图象开口向下，由对称轴乂=-殳>0在x轴的正半轴，而c=2>0, 2a可以得到图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，故可以确定抛物线y=ax2+bx+2的顶点所在象限.【解答】解：,抛物线丫=2乂2+6乂+2中,a<0, b>0,图象开口向下，,/对称轴x= - >0, 2a/.对称轴在x轴的正半轴，c=2>0,图象与y轴的交点在y轴的正半轴上，故抛物线y=ax2+bx+2的顶点在第一象限.故选A.10.【分析】根据对称轴的位置、开口方向、与y轴的交点的位置即可判断出a、b、c的符号，进而求出（3.k）的符号.C C【解答】解：如图所示：抛物线开口向上，a>0,又对称轴在y轴左侧，-<0,2ab>0,又;图象与y轴交于负半轴，/. c<0,-vo,上VO, c c点（3 k）在第三象限. c c故选C.11.【分析】根据抛物线的开口方向判定a的符号，根据对称轴的位置来确定b的符