函数模型及其应用

1、函数模型及其应用一、构建函数模型的基本步骤：1、审题：弄清题意，分析条件和结论，理顺数量关系；2、建模：引进数学符号，一般地，设自变量为 x，函数为 y ，必要时引入其他相关 辅助变量，并用 x、 y和辅助变量表示各相关量，然后根据已知条件建立关系式，即 所谓的数学模型；3、求模：利用数学方法将得到的常规函数问题予以解答，求得结果；4、还原：将所得的结果还原为实际问题的意义，再转译成具体问题的回答。二、常见函数模型：1、一次函数模型； 2、二次函数模型； 3、分段函数模型； 4、指数函数模型；5、对数函数模型； 6、对勾函数模型； 7、分式函数模型。题型 1：一次函数模型因一次函数 y kx

2、b（ k 0）的图象是一条直线， 因而该模型又称为直线模型， 当 k 0时，函数值的增长特点是直线上升；当 k 0 时，函数值则是直线下降。例 1：某工厂在甲、乙两地的两个分工厂各生产同一种机器12台和 6 台。现销售给 A地10台， B地8台。已知从甲地到 A地、 B地的运费分别是 400元和 800元，从乙地到A地、 B地的运费分别是 300元和 500元，（1）设从乙地运 x台至 A地，求总运费 y关于 x 的函数解析式；（2）若总运费不超过 9000元，共有几种调运方案；3）求出总运费最低的方案和最低运费题型 2：二次函数模型二次函数 y ax2 bx c（ a 0 ）为生活中最常见的

3、一种数学模型，因二次函数可求其最大值（或最小值），故常常最优、最省等最值问题是二次函数的模型。例 2：渔场中鱼群的最大养殖量为 m吨，为保证鱼群的生长空间， 实际养殖量不能达 到最大养殖量，必须留下适当的空闲量，已知鱼群的年增长量 y吨和实际养殖量 x 吨 与空闲率的乘积成正比，比例系数为 k（k 0） 。（1）写出 y 关于 x 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；（2）求鱼群年增长量的最大值；（3）当鱼群的年增长量达到最大值时，求 k 的取值范围。例 3：某租赁公司拥有汽车 100 辆，当每辆车的月租金为 3000元时，可全部租出。 当每辆车的月租金每增加 50 元时，未租出的车将会增加

4、一辆。租出的车每辆每月需 要维护费 150元，未租出的车每辆每月需要维护费 50 元。（1）当每辆车的月租金定为 3600 元时，能租出多少辆车？（2）当每辆车的月租金定为多少元时，租赁公司的月收益最大？最大月收益是多 少？练习：某个体经营者把开始六个月试销 A、B两种商品的逐月投资与所获纯利润列成表：投资 A种商品金额 （ 万 元）1234560.61.31.81.81.4获纯利润 （万元）595240投资 B种商品金额 （ 万 元）1234560.20.40.71.21.5获纯利润 （万元）596161该经营者准备下月投入 12 万元经营这两种产品，但不知投入 A、B两种商品各 多少才最合

5、算， 请你帮助制定一个资金投入方案， 使得该经营者能获得最大的利润， 并按你的方案求出该经营者下月可获得的最大纯利润（结果保留两位有效数字）。题型 3：分式函数模型求得的函数解析式中，分母含有自变量时，此类函数称为分式函数模型，由于分式 函数的特征不是很明显，因而在过程中要注意转化。例 4：某地区上年度电价为 0.8元 /kW h，年用电量为 akW h ，本年度计划将电价降到 0.55元/ kW h至0.75元 /kW h之间，而用户期望电价为 0.4元/ kW h经测算，下调电价后 新增的用电量与实际电价和用户期望电价的差成反比 （比例系数为 k ）。该地区电力 的成本为 0.3元 /kW

6、 h 。（1）写出本年度电价下调后，电力部门的收益 y 与实际电价 x的函数关系式；（2）设 k 0.2a，当电价最低定为多少时仍可保证电力部门的收益比上年至少增长20% ？（注：收益 =实际用电量×（实际电价 - 成本价）练习：某地上年度电价为 0.8 元，年用量为 1 亿度，本年度计划将电价调至 0.55 元0.75 元之间，经测算，若电价调至 x元，则本年度新增用电量 y（亿度） 与（x 0.4）元成反比例，又当 x 0.65元时， y 0.8.1）求 y与 x之间的函数关系式；（ 2）若每度电的成本价为 0.3 ，则电价调至多少时，本年度电力部门的收益将比上 年度增加 20%

7、？ 收益=用电量 （ 实际电价成本价 ） 题型 4：分段函数模型在不同的背景前提下，两个变量之间的关系不一样时，需要我们针对自变量的范围进行分类，求得各种不同情况下的两个变量之间的关系即为分段函数，分段函数易 将数学问题最优化。例 5：某市居民自来水收费标准如下：当每户每月用水不超过4 吨时，每吨为 1.8元；当用水超过 4 吨时，超过部分每吨 3元。某月甲、乙两户共交水费 y元，已知甲、 乙两用户该月用水量分别为 5x和 3x。（1）求 y关于 x的函数解析式；（ 2）若甲、乙两户该月共交水费 26.4 元，请分别求出甲乙两户该月的用水量和水费。练习： 1、“依法纳税是每个公民应尽的义务”，

8、国家征收个人工资、薪金所得税是 分段计算的：总收入不超过 1000 元的，免征个人工资、薪金所得税；超过 1000 元 部分需征税，设全月纳税所得额（所得额指工资、薪金中应纳税的部分）为 x,x 全月总收入 1000 元，税率见下表：级数全月应纳税所得额 x税率1不超过 500 元部分5%2超过 500 元至 2000 元部分10%3超过 2000 元至 5000 元部分15%45%9超过 100000 元部分1）若应纳税额为 f （x） ，试用分段函数表示 13级纳税额 f （x）的计算公式 .（2）某人 2000年 10月份工资总收入为 4200元，试计算这个人 10月份应纳个人所得税多少

9、元？2、某公司生产一种产品每年投入固定成本 0.5 万元，此外每生产 100 件这种产品还 需要增加投资 0.25 万元，经预测知，市场对这种产品的年需求量为 500 件，且当出 售的这种产品的数量为 t （单位：百件）时，销售所得的收入约为 5t 1 t 2 （万元） .2（1）若该公司的年产量为 x（单位：百件） （x 0） 时，试把该公司生产并销售这种产 品所得的年利润表示为当年产量 x 的函数 .（2）当该公司的年产量多大时，当年所得利润最大？题型 5：指数函数模型形如 y kax（a 0且 a 1，k R且k 0）的函数模型称为指数函数模型，当 a 1时， 其增长特点是随着自变量的增

10、大，函数值增大的速度越来越快，我们常称为“指数 爆炸”。例 6：某电器公司生产 A型电脑， 2006 年这种电脑每台平均生产成本为 5000 元，并 以纯利润 20%确定出厂价，从 2007 年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产 成本逐年降低，到 2010年，尽管 A型电脑出厂价仅是 2006 年出厂价的 80% ，但却实 现了 50%纯利润的高效益。（1）求 2010 年每台 A型电脑的生产成本；（2）以 2006年的生产成本为基数，求 2006-2010 年生产成本平均每年降低的百分 数（精确到 0.01 ，以下数据可供参考： 5 2.236 ， 6 2.449 ）练习： 1、某城市

11、现有人口 100 万，如果 20年后该城市人口总数不超过 120万，年 自然增长率应控制在多少以内？2、某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质2%，每过滤一次可使杂质含量减少 1 ，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？ 3（已知： lg 2 0.3010,lg 3 0.4771）3、根据总的发展战略，第二阶段，我国工农业生产总值从 2000年到 2020年间要翻 两番，问这 20 年间，年平均增长率至少要多少，才能完成这一阶段构想？4、按复利计算利率的一种储蓄，本金为 a元，每期利率为 r ，设本利和为 y，存期为 x ，写出本利和 y随存期 x变化的函数

12、式 .如果存入本金 1000元，每期利率 2.25%， 试计算 5 期后的本利和是多少？题型 6：对数函数模型自变量出现在对数函数模型中，当对数的底数 a 1 时，其增长特点是开始阶段增长 得较快，但随着 x的逐渐增大，其函数值变化越来越慢， 我们称之为“蜗牛式增长” ， 由于对数函数与指数函数互为反函数，因而对数函数模型其实是建立在指数函数模 型的基础上。题型 7：对勾函数模型形如 f（x） x a （a 0,x 0 ）的函数模型，其图像的形状在第一象限犹如“”，利x用奇函数图象的对称性，我们称之为“对勾”，在现实生活中有着广泛的应用，就 目前而言，常利用该函数的单调性来解决函数模型。例 7

13、：某单位用 2160万元购得一块空地， 计划在该地块上建造一栋至少 10 层、每层 2000平方米的楼房经测算，如果将楼房建为 x（ x 10）层，则每平方米的平均建筑费用为 560 48x （单位：元）。为了使楼房每平方米的平均综合费用最少，该楼房应建为多少层？注：平均综合费用 =平均建筑费用 +平均购地费用，平均购地费用购地总费用 建筑总面积课后作业1、某商场将空调先按原价提高 40%，然后打出广告“大酬宾八折优惠”，结果每台空调比原来多赚了 270 元，则原来每台空调为 元。2、手机的价格不断降低，若每隔半年其价格降低 1 ，则现价为 2560元的手机，两 4年后的价格为（）A.900

14、元 B.810 元 C.1440 元 D.160 元3、某工厂生产某种产品固定成本为 2000 万元，并且每成产一单位产品，成本增加10 万元。又知总收入 K 是单位产品数 Q的函数： K（Q） 40Q 1 Q2 ，则总利润 L（Q）的最大值为 。4、某公司在甲、 乙两地销售一种品牌车， 利润（单位： 万元）分别为 L1 5.06x 0.15x2和 L2 2x，其中 x为销售量（单位：辆）。若该公司在这两地共销售15 辆车，则能获得最大利润为 。A. 45.606万元 B. 45.6万元 C. 45.56万元 D. 45.51万元5、某人 2000年 7月1日存入一年期款 a元（年利率为 r

15、，且到期自动转存），则到2007年 7月 1日本利全部取出可得（）Aa（1 r）7元B a（1 r）6元C a a(1 r)7元D a a(1 r) a(1 r)2 a(1 r)6元精心整理6、某产品进货单价 40 元，按 50 元一个出售可卖出 500 个，若每涨价 1 元，其销售 量就减少 10 个。（ 1）定价元时，日销售额最大为。（ 2）定价元时，日利润最大为。7、一种放射性元素，最初的质量为 500g ，按每年 10的速度衰减，则它的质量衰减到一半所需要的年数为（精确到 0.1， lg2 0.3010 ， lg3 0.4771 ）8、一个水池每小时注入水量是全池的 1 ，水池还没有注水部分与总量的比 y 随时间10x （小量）变化的关系式为 。9、某自来水厂的蓄水池中有 400 吨水，每天