动点最值基本模型

1、动点最值基本模型原创： 向北 向北数学 2018-05-14从合肥各区的模考卷来看，最值问题仍是 2018中考第 10或 14题的热门。本文以瑶海 蜀山庐阳二模卷中最值问题为例，对最值问进行简要分类和例析，欢迎指正。一、最值类型1. 饮马型：即将军饮马型，通常为两条线段之和的最值问题，利用对称性质将其中一条 线段进行转换， 再利用两点之间线段最短 （或三角形三边关系） 得到结果。（本公众号有 “【解 题模型】将军饮马” ）2. 小垂型：即小垂回家型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为直线，利用垂 线段最短的性质得到结果。3. 穿心型：即一箭穿心型，通常为一条线段的最值问题，即动点的轨迹为

2、圆或弧，利用 点与圆的位置关系得到结果。 （本公众号有“一箭穿心，圆来如此一文” ）4. 转换型：即一加半型，通常为一条线段与另一条线段一半的和的最值问题，即将那半 条线段利用三角形中位线或 30 °的对边等知识进行转换，再利用饮马或小垂或穿心。5. 三边型：即三角形三边关系关系型，通常利用两边之和大于第三边、两边之差小于第 三边求其最大（小）值。6. 结合型：即以上类型的综合运用，大多为饮马+小垂【如包河一模 20 题】【瑶海一模第 10 题】、小垂 +穿心【如庐阳二模第 10 题】、饮马 +穿心【如瑶海二模第 10 题】饮马 +转换 【如蜀山二模第 10 题】等二、分类例析一、饮

3、马型例1：如图，在正方形 ABCD中，点 E在CD上， CE=3, DE=1, 点P在AC上，则 PE+PD 的最小值是 .解析：如图例 2：如图所示， 正方形 ABCD的面积为 12，ABE是等边三角形， 点 E 在正方形 ABCD 内，在对角线 AC 上有一点 P，使 PD+PE的和最小，则这个最小值为解析：如下图、小垂型例 3：如图，在 RtABC 中， C90°，AC8，BC6，点 P是 AB 上的任意一点，作 PD AC 于点 D，PECB 于点 E，连接 DE，则 DE的最小值为 解析：如下图三、穿心型例 4：如图，在边长为 4 的菱形 ABCD 中， ABC=120&#

4、176;， M 是 AD 边的中点， N 是 AB 边上一动点， 将AMN沿MN翻折得到 AMN，连接 A'C，则 A'C长度的最小值是 .解析：如下图四、转换型例 5:如图， P为菱形 ABCD内一点，且 P到 A、B两点的距离相等， 若 C=60°，CD=4， 则的最小值为 解析： 因为 P到 A、B两点的距离相等， 所以 P 在 AB 的垂直平分线上， 又因菱形 ABCD 中 C为 60°，所以 ABD为等边三角形， AB 的垂直平分线经过点 D,如下图由 ADP=30度，可将 PD的一半进行转换，即过点 P作 AD的垂线。如图，即 B、P、 F三点共

5、线，且 BFAD 时最短五、三边型例 6：如图， MON=90 °，矩形 ABCD的顶点 A、B分别在边 OM，ON 上，当 B在边 ON上运动时， A随之在边 OM 上运动，矩形 ABCD的形状保持不变，其中 AB=2，BC=1，运 动过程中，点 D到点 O 的最大距离为 解析：如下图因为 AB 为定长，所以取其中点 E，则 OE为定值，在 ODE中， DE为定 值， OE为定值，根据三角形三边关系即可得到OD 的最大值。例 7：如图，已知 ABC中， ACB=90°， BC=4， AC=8，点 D在 AC上，且 AD=6，将 线段 AD绕点 A旋转至 AD'，

6、F为 BD'的中点，连结 CF，则线段 CF的取值范围解析：解法一：瓜豆原理，点 F 的轨迹为圆，一箭穿心便可以求出其取值范围。解法二：如下图，取 AB 的中点 M ，连接 FM,CM，由斜边上的中线等于斜边的一半得CM为定值，由三角形中位线得 FM为定值，所以在 CFM中，三边关系可得到 CF的取值范 围.例 8：如图， BA=1，BC=2，以 AC为一边做正方形 AEDC，使 E，B 两点落在直线 AC 的 两侧，当 ABC变化时，求 BE 的最大值 .解析：将 AEB以点 A 中心顺时针旋转 90°，得到 ACB',如下图所示，连接 BB'，所 以 B&

7、#39;C=BE，在 BB'C 中， BB'为定值， BC为定值，三角形三边关系即可得到B'C的最大值，即 BE的值 .6. 结合型例9：如图，正方形 ABCD中， AB=4, E为CD边的中点， F、G为 AB、 AD边上的点，且AF=2GD, 连接 E、DF 相交于点 P，当 AP为最小值时， DG=解析：由 AF=2GD， AD=2DE，得 AFD DGE.如下图GEDF, 那么线段 AP中，A点为定点， P为动点，由 DPE为直角，所以 P的轨迹为一以 DE中点为圆心的一段弧。如下图 由一箭穿心可得到 AP 的最小值为 A,P,M 三点共线，而此时，由 DMP

8、FAP可得到AP=AF即可得到结果 .三、模考分析【庐阳二模第 10题】如图，在平面直角坐标系中， A(6,0),B(0,8),点 C在 y 轴正半轴上， 点 D 在 x 的正半轴上，且 CD=6，以 CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB 于点 E、F，则线段 EF的最大值为 如图，在平面直角坐标系中， A(6,0),B(0,8),点 C在 y 轴正半轴上，点 D 在 x 的正半轴上，且 CD=6，以 CD为直径在第一象限作半圆，交线段AB 于点 E、F，则线段 EF的最大值为 解析：线段 EF由于半圆的变化而变化，所以应将其作为弦的变化来看，而弦长又与弦 心距存在变量之间的关系，所以首先作

9、出弦心距.如下动图，所以当 PQ 最小时， EF最大。方法一：穿心小垂( P点为以 O点圆心， OP为半径的弧上)求出 OQ的最值，即 PQ 的最小值，再由勾股定理和垂径定理可求得 EF.方法二：三边 +小垂（三角形 OPQ）求出 OQ 的最值解析：由抛物线解析式可求出点 A、B 的坐标分别为，所以 OAP=30°，如下图【瑶海二模第 10 题】如图，矩形 ABCD中， AB=2,AD=3,点 E,F分别为 AD,DC边上的点， 且 EF=2,点 G 为 EF的中点，点 P 为 BC上一动点 .则 PA+PG的最小值为（ ）A.3 B.4C.2 5D.5解析：因为 G 为 EF的中点，EF=2，所以点 G 的轨迹为以 D 为圆心 DG 为半径的弧， 【饮 马+穿心】即 A'，P，G，D四点共线时， PA+PG最小（ PA+PG=PA' +PG+DG）