八个有趣模型——搞定空间几何体地外接球与内切球(教师版)

1、八个有趣模型搞定空间几何体的外接球与内切球一、有关定义 1球的定义：空间中到定点的距离等于定长的点的集合（轨迹）叫球面，简称球.2外接球的定义：若一个多面体的各个顶点都在一个球的球面上， 则称这个多面体是这个球的内接多面 体，这个球是这个多面体的外接球 .3内切球的定义： 若一个多面体的各面都与一个球的球面相切，则称这个多面体是这个球的外切多面体，这个球是这个多面体的内切球 .二、外接球的有关知识与方法1性质：性质 1：过球心的平面截球面所得圆是大圆，大圆的半径与球的半径相等；性质 2：经过小圆的直径与小圆面垂直的平面必过球心，该平面截球所得圆是大圆；性质 3：过球心与小圆圆心的直线垂直于小圆

2、所在的平面（类比：圆的垂径定理）；性质 4：球心在大圆面和小圆面上的射影是相应圆的圆心；性质 5：在同一球中，过两相交圆的圆心垂直于相应的圆面的直线相交，交点是球心（类比：在同圆中， 两相交弦的中垂线交点是圆心） .2结论：结论 1：长方体的外接球的球心在体对角线的交点处，即长方体的体对角线的中点是球心；结论 2：若由长方体切得的多面体的所有顶点是原长方体的顶点，则所得多面体与原长方体的外接球相同；结论 3：长方体的外接球直径就是面对角线及与此面垂直的棱构成的直角三角形的外接圆圆心，换言之， 就是：底面的一条对角线与一条高（棱）构成的直角三角形的外接圆是大圆；结论 4：圆柱体的外接球球心在上下

3、两底面圆的圆心连一段中点处；结论 5：圆柱体轴截面矩形的外接圆是大圆，该矩形的对角线（外接圆直径）是球的直径；结论 6：直棱柱的外接球与该棱柱外接圆柱体有相同的外接球；结论 7：圆锥体的外接球球心在圆锥的高所在的直线上；结论 8：圆锥体轴截面等腰三角形的外接圆是大圆，该三角形的外接圆直径是球的直径；结论 9：侧棱相等的棱锥的外接球与该棱锥外接圆锥有相同的外接球.3 终极利器 ： 勾股定理、正定理 及余弦定理 （ 解三角形求线段长度） ；三、内切球的有关知识与方法1若球与平面相切，则切点与球心连线与切面垂直. （与直线切圆的结论有一致性） .2内切球球心到多面体各面的距离均相等，外接球球心到多面

4、体各顶点的距离均相等. （类比：与多边形的内切圆） .3正多面体的内切球和外接球的球心重合.4正棱锥的内切球和外接球球心都在高线上，但不一定重合.5基本方法： （1）构造三角形利用相似比和勾股定理；（ 2）体积分割是求内切球半径的通用做法（等体积法 ） .四、与台体相关的，此略 .五、八大模型第一讲 柱体背景的模型类型一、墙角模型三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）方法：找三条两两垂直的线段，直接用公式 （2R） ac aAcb图1-1b2c2 ，即 2Ra2 b2 c2 ，求出例1A1）已知各顶点都在同一球面上的正四棱柱的高为B 20 C 24164，D体积为 16，则这个球的表面

5、积是（ 32解：V a2h 16 ， a 2 ， 4R2 a2 a2 h24 4 16 24 ， S 24 ，选 C；2）若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3 ，则其外接球的表面积是解：4R2 3 3 3 9， S 4 R2 9 ；3）在正三棱锥 S ABC中， M、N 分别是棱SC、BC的中点，且 AM MN ,若侧棱 SA 2 3 ,则正三棱锥 S ABC 外接球的表面积是. 36解：引理： 正三棱锥的对棱互相垂直 . 证明如下：如图（ 3）-1 ， 取AB,BC的中点 D,E，连接 AE,CD ， AE,CD交于 H，连接 SH， 则 H 是底面正三角形 ABC 的中心，SH 平面

6、 ABC ， SH AB，AC BC， AD BD， CD AB， AB 平面 SCD，AB SC，同理： BC SA， AC SB，即正三棱锥的对棱互垂直， 本题图如图（ 3）-2，AM MN ， SB/ MN ，AM SB， AC SB ， SB 平面 SAC ，SB SA， SB SC ， SB SA， BC SA，SA 平面 SBC， SA SC， 故三棱锥 S ABC 的三棱条侧棱两两互相垂直，C（3）题-1（引理）（3）题-2（解答图）(2R)2(23)2(23)2(23)236，即 4R236，正三棱锥S ABC 外接球的表面积是 36 .（4）在四面体S ABC 中，SA 平面

7、 ABC ，BAC 120 ,SA AC 2, AB 1, 则该四面体的外接球的表面积为（D )1040A.11B.7C.D.33BC2rsin BAC 3273，2 2 2 2 7 2 4040(2R)2 (2r)2 SA2 ( )2 4 ，S ，选 D 3 335）如果三棱锥的三个侧面两两垂直，它们的面积分别为6、 4 、 3，那么它的外接球的表面积是解：由已知得三条侧棱两两垂直，设三条侧棱长分别为a,b,c( a,b,c R )，则解：在 ABC中， BC2 AC2 AB2 2AB BC cos120 7， BC 7， ABC的外接球直径为ab 122222 2bc 8 ， abc 24

8、，a 3，b 4，c 2，（2R）2a2b2c229， S 4 R229 ，ac 66）已知某几何体的三视图如图所示，三视图是腰长为1的等腰直角三角形和边长为 1的正方形，则该几何体外接球的体积为（6）题图6）题直观图AB CD ，AD BC ，AC BD )AxDycyzCbx a图2-12 2 2 2 (2R)2 a2 b2 c2类型二、对棱相等模型（补形为长方体）题设：三棱锥（即四面体） 中，已知三组对棱分别相等， 求外接球半径 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为a,b,c， AD BC x ，AB CD y ， AC BD z， 列方

9、程组，222a b x2 2 2b c y222caz11 补充 ：图 2-1 中， VA BCD abc abc 4 abc . A BCD 6 32222222 2 2第三步：根据墙角模型， 2R a2 b2 c2x2y2z2 ，R2x2y2z2，Rx2y2z2 ，2 8 8 求出 R.思考 ：如何求棱长为 a 的正四面体体积，如何求其外接球体积？例 2（1）如下图所示三棱锥 A BCD ，其中 AB CD 5,AC BD 6,AD BC 7, 则该三棱锥外接 球的表面积为 .解：对棱相等，补形为长方体，如图 2-1 ，设长宽高分别为 a,b,c ，2（a2 b2 c2） 25 36 49

10、 110 ， 2 2 2 2a b c 55 ， 4R 55 ， S 55（1） 题图（ 2）在三棱锥 A BCD中， AB CD 2， AD BC 3， AC BD 4 ，则三棱锥 A BCD 外接 29球的表面积为 .2解：如图 2-1 ，设补形为长方体，三个长度为三对面的对角线长，设长宽高分别为a, b, c ，则 a2 b2 9，2 2 22(a2 b2 c2) 9 4 16 29 ，22 2 2 2 2 2b2c24 ， c2a216 2(a2 b2c2)9 4 16 29 ，b2c2294R2 29 ， S 29223）正四面体的各条棱长都为2 ，则该正面体外接球的体积为解：正四面

11、体对棱相等的模式，放入正方体中，2R 3 ，34）棱长为 2 的正四面体的四个顶点都在同一个球面上，若过该球球心的一个截面如下图，则图中三 角形 （正四面体的截面 ）的面积是.（4）题解答图解：如解答图，将正四面体放入正方体中，截面为PCO1 ，面积是 2 .类型三、汉堡模型（直棱柱的外接球、圆柱的外接球）题设：如图 3-1，图 3-2，图 3-3, 直三 棱柱内接于球（同时直棱柱也内接于圆柱，棱柱的上下底面可以是任意三角形）第一步：确定球心 O的位置， O1是 ABC的外心，则 OO1 平面 ABC ；11第二步：算出小圆 O1的半径 AO1 r ，OO1AA1h（ AA1 h也是圆柱的高）

12、 ；22第三步：勾股定理： OA2 O1A2 O1O2R2 (h)2 r2 Rr2 (h)2，解出 R22例 3（ 1）一个正六棱柱的底面上正六边形，其侧棱垂直于底面，已知该六棱柱的顶点都在同一个球面上，9 且该六棱柱的体积为 9 ，底面周长为 3 ，则这个球的体积为81 解：设正六边形边长为 a ，正六棱柱的高为 h ，底面外接圆的半径为 r ，则 a ，2正六棱柱的底面积为 S 6 3（1）23 3 ，V柱Sh 3 3 h9，h3，4R212（3）244 2 8 柱 8 8也可 R2 ( 3)2 (1)2 1)，22R 1 ，球的体积为 V球 4球32）直三棱柱 ABC A1B1C1 的各

13、顶点都在同一球面上，若AB AC AA1 2 , BAC 120 ，则此球的表面积等于 .解： BC 2 3，2r 2 3 4，r 2，R 5， S 20 ； sin 120（3）已知 EAB 所在的平面与矩形 ABCD所在的平面互相垂直，EA EB 3, AD 2, AEB 60 ，则多面体 E ABCD 的外接球的表面积为 . 16解：折叠型，D法一： EAB的外接圆半径为 r13，OO1 1， R 1 3 2；法二： O1M3 ， r2 O2D13 ， R2223 13 4 ， R 2 ， S表 16 ；44法三：补形为直三棱柱，可改变直三棱柱的放置方式为立式，算法可同上，略. 换一种方

14、式，通过算圆柱的轴截面的对角线长来求球的直径：(2R)2 (2 3)2 22 16，S表 16 ；4）在直三棱柱 ABC A1B1C1 中，AB 4,AC 6,A,AA134 ，则直三棱柱ABC A1B1C1 的外接球的表面积为160解：法一：27BC2 16 36 2 4 6 1 28， BC 2 7， 2r23473 ， r273，R2r2 ( AA1)2228401604， S表3 3 3法二：求圆柱的轴截面的对角线长得球直径，此略第二讲 锥体背景的模型类型四、切瓜模型（两个大小圆面互相垂直且交于小圆直径正弦定理求大圆直径是通法）OOAB图4-1CPPOAACCBBO1图4-3图4-41

15、如图 4-1 ，平面 PAC 平面 ABC，且 AB BC（即 AC为小圆的直径） ，且 P的射影是 ABC的外 心 三棱锥 P ABC的三条侧棱相等三棱 P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P 点也是圆锥的顶点 .解题步骤： 第一步：确定球心 O的位置，取 ABC 的外心 O1，则 P , O, O1三点共线；第二步：先算出小圆 O1 的半径 AO1 r ，再算出棱锥的高 PO1 h （也是圆锥的高） ；第三步：勾股定理： OA2 O1A2 O1O2R2 （h R）2 r 2 ，解出 R；事实上， ACP的外接圆就是大圆，直接用 正弦定理 也可求解出 R.2如图 4-2 ，平面 PA

16、C 平面 ABC，且 AB BC（即 AC为小圆的直径） ，且 PA AC，则 利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：（2R）2 PA2 （2r）2 2R PA2 （2r）2 ； R2 r2 OO12R r 2 OO123如图 4-3 ，平面 PAC 平面 ABC ，且 AB BC （即 AC 为小圆的直径）OC2 O1C2 O1O2R2 r 2 O1O2AC 2 R2 O1O24题设：如图 4-4 ，平面 PAC 平面 ABC，且 AB BC（即 AC为小圆的直径） 第一步：易知球心 O必是 PAC的外心，即 PAC 的外接圆是大圆，先求出小圆的直径 AC 2r ； 第二步：在 PAC 中，可根

17、据正弦定理a b c2R，求出 R.sin A sinB sinC例 4 （1）正四棱锥的顶点都在同一球面上， 若该棱锥的高为 1，底面边长为 2 3 ，则该球的表面积为.解：法一：由正弦定理（用大圆求外接球直径） ；法二：找球心联合勾股定理，2R 7 ， S 4 R2 49 ；2）正四棱锥 S ABCD 的底面边长和各侧棱长都为 2 ，各顶点都在同一球面上，则此球体积为4 解：方法一：找球心的位置， 易知 r 1，h 1，h r ，故球心在正方形的中心 ABCD 处，R 1，V3 方法二：大圆是轴截面所的外接圆，即大圆是SAC的外接圆，此处特殊， Rt SAC 的斜边是球半径，42R 2，

18、R 1， V.3（3）一个正三棱锥的四个顶点都在半径为 三棱锥的体积是（ ） A 3 3B 3 C43解：高 h R 1，底面外接圆的半径为1的球面上，其中底面的三个顶点在该球的一个大圆上，则该正4312R 1，直径为 2R 2 ，设底面边长为a ，则 2Ra 2sin60a 3，S 3 a2 3 3 ，三棱锥的体积为44V 1Sh34）在三棱锥 P ABC 中， PA PB PC3,侧棱 PA与底面 ABC所成的角为 60 ，则该三棱锥外接球的体积为（AB.C. 4D.解：选 D，由线面角的知识，得ABC 的顶点A,B,C在以 r 3为半径的圆上，在圆锥中求解， R 1；25）已知三棱锥 S

19、 ABC 的所有顶点都在球径,且 SC 2，则此棱锥的体积为（O的求面上 , ABC 是边长为 1的正三角形 , SC为球 O的直 ）AAB 36D解：OO1R2 r 26，h3263V球 1Sh 1 3 2 6 2球 3 3 4 3 6类型五、垂面模型(一条直线垂直于一个平面)1题设：如图 5， PA 平面 ABC ，求外接球半径解题步骤：第一步：将 ABC画在小圆面上， A为小圆直径的一个端点，作小圆的直径AD，连接 PD，则 PD必过球心 O ；第二步： O1为 ABC的外心，所以 OO1 平面 ABC ，算出小圆 O1的半径 O1D r (三角形的外接圆直 径算法：利用正弦定理，得 a

20、b c2r )， OO1 1 PA ；sin A sin B sinC2第三步：利用勾股定理求三棱锥的外接球半径：(2R)2 PA2 (2r)22RPA2 (2r)2 ； R2 r 2 OO12R r 2 OO12 .2题设：如图 5-1 至 5-8 这七个图形， P的射影是 ABC的外心 三棱锥 P ABC 的 三条侧棱相等 三棱锥 P ABC的底面 ABC在圆锥的底上，顶点 P 点也是圆锥的 顶点 .第一步：确定球心 O的位置，取 ABC 的外心 O1，则 P , O, O1三点共线；第二步：先算出小圆 O1 的半径 AO1 r ，再算出棱锥的高 PO1 h （也是圆锥的高） ；第三步：勾

21、股定理： OA2 O1A2 O1O2R2 (h R)2 r 2 ，解出 R方法二：小圆直径参与构造大圆，用 正弦定理 求大圆直径得球的直径 .例 5 一个几何体的三视图如图所示，则该几何体外接球的表面积为( )CA 3C16D 以上都不对B解：选 C，法一：（勾股定理）利用球心的位置求球半径，球心在圆锥的高线上，( 3 R)2 1 R2, R 2 , S 4 R216；3法二：（大圆法求外接球直径）如图，球心在圆锥的高线上，故圆锥的轴截面三角形PMN 的外接圆是大24圆，于是 2R ，下略；sin60 3第三讲 二面角背景的模型类型六、折叠模型题设：两个全等三角形或等腰三角形拼在一起，或菱形折

22、叠 （ 如图 6）图6第一步：先画出如图 6所示的图形，将 BCD画在小圆上，找出 BCD和 A BD的外心 H1和 H2；22CH12 OC 2第二步：过 H1和H 2分别作平面 BCD和平面 A BD的垂线，两垂线的交点即为球心 O，连接 OE,OC ； 第三步：解 OEH 1 ，算出 OH1，在 Rt OCH 1中，勾股定理： OH12注：易知 O,H1,E,H2 四点共面且四点共圆，证略例 6（1）三棱锥 P ABC中，平面 PAC 平面 ABC， PAC和 三棱锥 P ABC 外接球的半径为.解：如图， 2r1 2r22sin6043 ， r1R2 O2H 2 r12 1 4 52

23、1 3 3 3153；1法二： O2H， O1H3AH 1，ABC 均为边长为 2的正三角形，则1）题213，O2H3 ，R2 AO2 AH 2 O1H 2 O1O25，3，15R135 ；2）在直角梯形 ABCD中， AB/ CD ，A 90 ， C 45 ， AB AD 1，沿对角线 BD 折成四面体 A BCD ，使平面 ABD 平面 表面积为 4BCD ，若四面体 A BCD 的顶点在同一个球面上，则该项球的(2)题-1(2)题-2S(3)题解：如图，易知球心在 BC 的中点处， S表 4 ；3（3）在四面体 S ABC中， AB BC， AB BC 2，二面角 S AC B的余弦值为

24、，则四3面体 S ABC 的外接球表面积为 63 解：如图，法一： cos SO1 B cos( OO1O2 ) 23sin OO1O23 ， cos OO1O26 ，OO1O1O2cos OO1O2332 ， R2 1 1 3 ， S 4 R2 6 ；2 2 2法二：延长 BO1到 D使 DO1 BO1 r1，由余弦定理得 SB6，SD2 ，大圆直径为 2R SB 6；（4）在边长为 2 3的菱形 ABCD中， BAD 60 ，沿对角线 BD折成二面角 A BD C 为120 的四 面体 ABCD ，则此四面体的外接球表面积为 28（4）题图解：如图，取 BD的中点 M ， ABD 和 CB

25、D的外接圆半径为 r1 r2 2， ABD和 CBD的外心 O1,O2 到弦 BD 的距离（弦心距）为 d1 d 2 1，法一：四边形 OO1MO 2的外接圆直径 OM 2，R7， S 28 ；法二： OO13 ， R 7 ；法三：作出 CBD的外接圆直径 CE,则 AM CM 3， CE 4，ME 1， AE7， AC 3 3，cos AEC7 16 272727， sin AEC3327，2RACsin AEC33 33 2 7，27（5） 在四棱锥 ABCD 中， BDA 120 ， BDC 150 ，AD BD 2，CD3，二面角 A BD C的平面角的大小为 120 ，则此四面体的外

26、接球的体积为解：如图，过两小圆圆心作相应小圆所在平面的垂线确定球心，（5）题解答图 -1（5） 题解答图 -2AB 2 3，r2 2，弦心距 O2M3，BC13，r113 ，弦心距 O1M 2 3，O1O221，OMO1O22 7 ，sin 120法一：R2 OD2 MD2 OM2 29， R29， V球 116 29 ；116 2933法二： OO22 OM2 O2M 2 25， R2 OD2 r22 OO22 29， R 29， V球类型七、两直角三角形拼接在一起 （斜边相同 ,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥）模型C题设：如图 7， APB ACB 90 ，求三棱锥 P ABC 外接球

27、半径（分析：取公共的斜边的中点O，1连接 OP,OC ，则 OA OB OC OP AB ， O为三棱锥 P ABC外接球球心，然后在 OCP中2 求出半径），当看作矩形沿对角线折起所得三棱锥时与折起成的二面角大小无关，只要不是平角球半径都 为定值 .例 7（1）在矩形 ABCD中， AB 4，BC 3，沿 AC将矩形 ABCD折成一个直二面角 B AC D，解：则四面体 ABCD 的外接球的体积为（）A125B 125 C 125D12512 9 6 3 54 3 4 125 125（1）2R AC 5，R，VR3，选 C23 3 8 62）在矩形 ABCD中， AB 2，BC 3，沿BD将

28、矩形 ABCD折叠，连接 AC ，所得三棱锥 A BCD的外接球的表面积为 解： BD的中点是球心 O， 2R BD13 ，S 4 R2 13 .第四讲 多面体的内切球问题模型类型八、锥体的内切球问题1题设：如图 8-1 ，三棱锥 P ABC 上正三棱锥，求其内切球的半径 .第一步：先现出内切球的截面图， E,H 分别是两个三角形的外心；1第二步：求 DH BD ， PO PH r ， PD是侧面 ABP 的高；3第三步：由 POE相似于 PDH ，建立等式： OE PO，解出 rDH PD2题设：如图 8-2 ，四棱锥 P ABC 是正四棱锥，求其内切球的半径第一步：先现出内切球的截面图，

29、P,O,H 三点共线；1第二步：求 FH BC ， PO PH r ， PF 是侧面 PCD 的高； 2OG PO第三步：由 POG 相似于 PFH ，建立等式： OG PO ，解出HF PF3题设：三棱锥 P ABC 是任意三棱锥，求其的内切球半径 方法： 等体积法 ，即内切球球心与四个面构成的四个三棱锥的体积之和相等 第一步：先画出四个表面的面积和整个锥体体积；第二步：设内切球的半径为 r ，建立等式：VPABCVOABCVOPABVOPACVOPBCVP ABC1 1 13S ABC r 3SPAB r 3SPAC r113SPBC r 3(SABC SPAB SPAC S PBC) r

30、第三步：解出 r3VP ABCSO ABC SO PABSO PACSO PBC例 8 （ 1）棱长为 a 的正四面体的内切球表面积是a26解：设正四面体内切球的半径为r ，将正四面体放入棱长为a2的正方体中（即补形为正方体） ，如图，则1 VP ABC 3V正方体3a2262又 VP ABC4 1Sr33a243a2r，3A3a23 a a 2 ar， r， 内切球的表面积为 S表 4 r （注：还有别的方法，此略）3 6 2 2 6 62）正四棱锥 S ABCD 的底面边长为 2 ，侧棱长为 3，则其内切球的半径为122解：如图， 正四棱锥 S ABCD 的高 h 7 ，正四棱锥 S ABCD 的体积为 VS ABCD47侧面斜高 h1 2 2 ，正四棱锥 S ABCD 的表面积为 S表 4 8 2 ，1 4 8 2正四棱锥 S ABCD的体积为 VS ABCD 31S表r 4 8 247477(2 2 1)