保险精算例题

1、保险精算例题第二章【例 2.1】 某人 1997年 1月 1日借款 1000元，假设借款年利率为 5% ，试分别以单利和复利计算：（1）如果 1999年 1月 1日还款，需要的还款总额为多少？（2）如果 1997年 5月 20日还款，需要的还款总额为多少？（ 3）借款多长时间后需要还款 1200 元。 解：（1）1997年 1月 1日到 1999年 1月 1日为 2年。 在单利下，还款总额为：A（2）=A（0）（1+2i）=1000 （1×+2 ×5%）=1100（元） 在复利下，还款总额为：A（2）=A（0）（1+i）2 =1000×（1+5%）2=1102.5

2、（元）（2）从 1997年 1月 1日到 1997年 5月 20日为 140天，计息天数为 139 天。在单利下，还款总额为：139 1000×（1+ 365 ×5%） =1019.04（元） 在复利下，还款总额为：1391000（× 1+5%）365 =1018.75（元） （4）设借款 t 年后需要还款 1200 元。 在单利下，有1200=1000×（1+0.05t）可得：在复利下，有1200=1000×(1+0.05)t可得：t 3.74（年）【例 2.2】以 1000元本金进行 5年投资，前 2 年的利率为 5%，后 年的利率为 6%

3、 ，以单利和复利分别计算 5 年后的累积资金。 解：在单利下，有A(5)=1000 ×(1+2 ×5%+3×6%)=12800(元)在复利下，有A(5)+1000 ×(1+5%)2 ×(1+6%)3=13130.95(元 )【例 2.3】计算 1998年 1月 1日 1000元在复利贴现率为 5%下 199 年 1 月 1 日的现值及年利率。解：（1）1995年 1月 1日的现值为：1000×（1-0.05） 3=857.38（元）（2）年利率为：di=1-d=0.05=0.95=0.053例 2.4】1998 年 8 月 1 日某投

4、资资金的价值为 14000 元，计算：1）在年利息率为 6%时，以复利计算，这笔资金在 1996年 8月 1日的现值2）在利率贴现率为 6%时，这笔资金在 1996年 8月 1 日的现值 解：（1）以知利率时，用折现系数计算现值， 14000元 2 年前的现值为：114000×（ 1.06 ） 2=12459.95（元）3）用贴现率计算现值， 14000元 2 年前的现值为：14000×（1-0.06）2=12370.4（元）6%年实际利率下一年不同结算次数的名义年贴现率m1234612d（m0.05660.057430.057710.057850.057990.05813

5、0.0582）0【例 2.5】某人以每月 3%的利率从银行贷款 1000 元，那么在复利计 息下， 3 年后他欠银行都少钱？解：3%是月结利率， 3 年后的累积欠款额可以直接按 36个月的复利 计算本息，有1000×（ 1.03） 36=2898.28（元）故三个月后他欠款 2898.28 元。【例 2.6】（1）求每月结算的年利率为 12% 的实际利率。（2）求每月结 算的年贴现率为 10% 的实际贴现率。（3）求相当于每月结算的年利 率为 12% 的半年结算的贴现率。解：（1）实际利率为：（m）i=（1+i ）m1m12%1+ 12121=12.68%故实际利率为 12.68%2

6、）实际贴现率为：d=1（1(m) d ) m m=1(110% 44 ) 4=9.63%因此，实际贴现率为 9.63%。（3）由（ 1+i）-1=1d，有（ m）（ n）（1+i ）-m =（1 d ）nmn（1+1122% ）-12=（1 d（22）2（ ） 12%d（2）=2×1 （1+ 12 ）-6=11.59%【例 2.7 】某人从银行借款 4000元，这笔借款的利息每年结算 4 次， 年利率为 16%。那么，他在借款 21 个月后欠银行的歀为多少？ 解：年利率为 16%，每年结算 4次，也就是每 3 个月结算一次，每次 结算的利息率为 4%（16%/4=4%），21个月共结

7、算 7 次（ 21/7=7 ）。这 样， 4000元本金在结算 7 次后的本利和为：4000×（ 1+4%）7=5263.73 （元）值得注意的是，在单利下，由于利率只在本金上计量，故没有名 义利率和实际利率的区别。例 2.8 】某人在 1998 年 7 月 22 日贷款 4000 元，如果利息力是 14%，在复利下，试求解以下问题：（1）贷款额在 2003年 7 月 22日的价值。（2）年利率 i 。（3） 名义利率 i（12） 解：（1）如果一致年利率 i，4000元贷款额在 2003年 7月 22日的值 为 4000（ 1+i）5。有公式（ 2.20），利息力与利率有如下关系：

8、e&=1+i从而5 0.74000×（ 1+i ）5=4000×e0.7 =8055.01 （元）（2）由（1+i）= e 0.14，的年利率为：i= e 0.14 1=0.15027（3）由（ 2.14a ）式和（ 2.20 ）式，有（12）（1+i ）12=1+i= e0.1412i12=12×（ e0.14/12 1）=0.14082【例 2.9 】某人以每半年结算一次的年利率 6%借款 50000元，两年后 他还了 30000元，又过了 3年再还了 20000元，求 7年后的欠款额为 多少？解：设他在 7 年后的欠款额为 X，有X=50000

9、15;1.03 1430000×1.03 1020000×1.034=12801.82（元） 【例 2.10 】某人在 1995年 1月 1 日存入银行 8000元，两年后又存 入 6000 元， 2001年 1 月 1 日取出 12000元。如果利率为 5%，计算2004年 1月 1日其账户上的余额。解：依题意X=8000 ×1.059+6000×1.05712000×1.05 3=6961.73 （元）【例 2.11 】某人在 1996年 1月 1日存款 4000元，在 2000年 1月 1 日存款 6000元， 2003年 1月 1日存款

10、 5000元。如果年利率为 7%， 计算在 2002年 1月 1日账户中的存款总额。解： X=4000 ×1.07 6+6000×1.07 2+5000×1.07 （-1）=17545.22 （元）故在 2002年 1月 1日，账户存款总额为 17545.22 元.【例 2.12 】某人 1995年 1月 1日在其银行账户上存款 2000元，1998 年 1 月 1 日存款 3000 元，如果之后没有存取项，年月日的账户余额 为 7100 元，计算实际利率。解：2000（1+i）5+3000（1+i）2=7100由f（i）=2000（1+i）5+3000（1+i）

11、27100=0i=0.11+ 11.71 × 0.001=0.1115310.22 （ -11.71）【例 2.13 】某人从银行贷款 20 万元用于购买住房，规定的还款期是 30 年。假设贷款利率为 5%，如果从贷款第 2 年开始每年等额还款， 求每年需要的还款数额。解：设每年需要的还款额为 X, 根据题意，有 由于贷款和还款在零时刻的现值是相等的，有200000=Xa30X=20000300i =13010.29 (元)1 v30率为 6%，第一次年金额领取从购买时开始，试计算每年可以领取的a15 =20002000 2000d . =1 15a15 1 vi例 2.14 】某人

12、用 2000 元一次性购买了 15 年确定年金，假设年利数额。 解：XX=由于d=1+i =0.0566故X=194.27（元）【例 2.15】某人在 30 岁时计划每年初存入 300 元建立个人账户，如果他 60 岁退休，存款年利率假设恒定为 3%。（ 1）求退休时个人账户的累积额。（2） 如果个人账户累积额在退休后以固定年金的方式在 20 年内每 年领取一次，求每年可以领取的数额。解：（1）退休时个人账户累积额是 30 年定期的年金终值：300 s30 =X a240240 240. =1 a240 =v240=1 (1/1.002466)240 =181.7144d0.002466 /1

13、.002466X=81.03（元）例 2.17】某人贷款 50000元购买汽车，从贷款后第 9 个月开始在 5 年中每月还款，利率为 6% ，求每月的还款额。解：月利率 j 为：（1+j ） 12=1.06j=0.004868在第 8 个月，有X a60 =50000（1+j）8X=1001.0921（元）设每月可以领取到的数额为 x 元，则有300 s30 =12x a（2102）根据名义贴现率的计算公式，可得： d（12）=121-（1+i）-1/12=0.029522426.（.12） 1 20a（2102）=1dv（12） =15.11814259X= 14700.80 =81.03（

14、元）12 15.11814259因而每月可以领取的年仅为 81.03 元。【例 2.18】某年金每年付款 1 次，连续付款 10 年，年利率为 5%， 年给付额为：第 1年末支付 100元，第 2年末直至第 9年末每次支付 200元，第 10年末支付 100元，计算 t=0 时这些付款的现值。 解：依题意，有现值 =100 a9 +100 a9 × v=100 a9 （1+v） =1387.72（元） 【例 2.19】若存入银行 10 万元，建立一项永续奖励基金，从第一年 后开始支取年金，设利率为 4% ，求每年可以提取的最大数额。 解：设每年可以提取的最大数额为 x，则100000

15、=xa = xX=4000（元）【例 2.20】某年金第 1 年末收付 1000 元，以后每隔一年收付额比前1 年增加 100 元，共收付 10 年。若年利率为 5% ，求第 10 年末的年 金总值。解：这一变额年金可以分解为每年 900元的 10 年定额年金和 100元 的 10 年等差递增年金。因此，第 10 年末的年金终值为：900 s10 +10（0 Is）1010 .=900× （1 i） 1 +100× s10 10ii=17733.68 （元）【例 2.21】我国城镇职工基本养老保险采取社会统筹与个人账户相结 合的方式，个人账户以个人缴费工资的 8% 计入。如

16、果某职工从 20 岁参加个人账户保险，当年工资为 6000 元，工资年增长为 2% ，个 人账户的累积利率为 4% 。求在他 60 岁退休时，个人账户的累积额。 解：个人账户在 20 岁时的现值为：2 2 39 396000×0.08 ×（ 1+1.02v+1.02 2v2+1.02 39v39）40=480× 1（1.02 v） =13480.63 （元）1 1.02v在 60 岁时的累积额为：13480.63 ×1.04 40=64720.78 （元） 【例 2.22】在例 2.21 中，如果个人账户累积利率在刚参加个人账户 的前 10 年内为 4%

17、 ，退休前的 10 年内为 4%，退休前的 10 年内为 2%，中间 20年为 3% ，求这时个人账户在退休时的累积额。 解：在职工 20 岁至 29岁间，个人账户在 20 岁的现值为：10480× 1（1.02/1.04 ） =4405.216554 （元）1 1.02 /1.04在职工 30 岁至 49 岁间，个人账户在 20岁的现值为：20480 ×1.02 20 × 1（1.02/1.03 ） ×1 1.02/1.03101）=7217.296894（元）1.04在职工 30 岁至 49 岁间，个人账户在 20岁的现值为：20 10480

18、5;1.02 30×10×（ 1 ）×（ 1 ）=3252.134534（元）1.03 1.04个人账户在 60 岁时的累积值为：10 20 （4405.216554+7217.296894+3252.134534 ）× 1.04 10×1.03 20×1.02 10=48475.95 （元）【例 2.23 】一项永续年金，第 1 年末付 1000 元，弟 2 年末付 2000 元，以后各年每年增加 1000 元，直到年付 15000元后，支付水平保 持在每年 15000元的水平上不变， 并一直继续下去。在利率水平 7.5% 下，计算

19、此年金的现值。解：这一年金可以分解为一个递增确定的年金和一个永续年金， 年金 现值为，PV=100015000Ia）15 + i×v151 . 15 15= i ×1000 （ a15 -15v 15）+15000v15=126522.1 （元）【例 2.24 】设 A向 B借款 20000元，期限为 5年，年实际利率为 6%，A在每年末以等额分期方式偿还贷款。试计算：（1） 每年末应偿还的金额。（ 2）各年末的未偿还本金金额。（3） 每年末偿还金额中利息和本金金额解：依公式（ 2.40），有R=B0 =4747.93（元） ani时期每年末偿还金额支付 利息偿还 本金年末

20、未偿还贷款余额020000.0014747.931200.003547.9316452.0724747.93987.123760.8012691.2734747.93761.483986.458704.8244747.93522.294225.644479.1854747.93268.754479.180【例 2.25】某人用 10 年分期还款的方式偿还一笔 50000 元的贷款， 假设他在 10 年内每半年还款一次，每半年结算的年利率为 13%，从 贷款 6 个月后开始第 1次还款。求第 6 年末尚未还清的贷款余额。 解：设未来每次还款额为 P，10年内每半年一次的还款意味着 20 个 半年

21、的还款，半年结算的利率为 6.5% （13%/2=6.5% ） 由于贷款开始时刻的贷款额与还款额的现值相等，有 50000=Pa20 0.065所以P=4537.82（元）第 6年末尚未还清的贷款余额等于最后 8 个半年内需要定期偿还的贷 款的现值。Pa80.065=27629.75（元）【例 2.27】某笔 7000 元的贷款，用每年末偿还 1000 元及最后一次偿 付剩余不足 1000 元的方式还款。假定年利率为 10% ，第一次付款再 贷款一年后。计算第 9 次付款后剩余的本金。解：如果用未来计算， 需要先计算出还款的期限和最后一次还款的数 额。在 10%利率下，未来 12 年每年 10

22、00元的年金现值为： 1000a12 0.1 =6813.692（元）设第 13 次不足 1000 元的还款额为 x，有7000=6813.692+xv13X=643.1864（元）从而，第 9 次付款后剩余的本金为：1000a3 0.1 +643.186v4=2926.16（元）例 2.28】某人从银行获得一笔贷款， 期限为 10 年，贷款利率为 5% ， 他采用变额分期偿还法偿还贷款，其中每年末的偿还金额分别为20000元， 19000元， 18000元， ，试计算：（1） 贷款原始本金。（2）第 5年所偿还的本金和利息。 解：（1）贷款本金等于分期偿还额的现值：B0=10000×

23、;a100.05+10000×（Da）100.05=122782.65（元） （2）按将来法，第 4 年末的未偿还本金余额为：B4=10000×a60.05+10000×（Da）60.05=69243.08（元）第 5 年偿还的利息为：I5=i B 4=3462（元）第 5 年的偿还额为：R5=16000（元）故第 5 年偿还的本金额为：P5=R 5-I 5=12538（元）【例 2.29】一笔金额为 10000元的贷款，年利率 10%，期限为 8 年， 每年末偿还一次，每次的偿还额以 30% 的速度递增，试计算前 3 年 每年偿还的本金和利息各是多少？ 解：这里

24、的偿还金额按几何级数增长，设第一年的偿还金额为R1，81（1.3）810000= R1× 1.1 =14.027 R10.1 0.3R1=712.90（元）这时，应偿还的利息大于偿还的总金额， 偿还金额不足利息支付的部 分为：P 1=R1-I 1=-287.10 （元）这样， 1 年后的未偿还本金余额增加为：B 1= B0- P 1=10287.10 （元）第 2 年的各项余额分别为：R2=926.77（元）I2=1028.71（元）P2=-101.94（元）B2=10389.04（元）【例 2.30】在例 2.24中，假设 A 以等额偿债基金方式偿还贷款，偿 债基金利率也为 6%

25、，其他条件不变，试构造偿债基金表。 解：本例中， i=j=0.06 ，A 每期向偿债基金储蓄 D，则D= B0 =3547.93（元）sn j此外，A 还要向 B 支付当期利息 I：I=i B 0=20000×0.06=1200 （元）所以每期支付金额合计为：R=D+I=4747.93 （元）【例 2.31 】假设例 2.28 中的其他条件不变， 贷款利率变为 6%，借款 人通过利率为 5%的偿债基金来偿还贷款，求贷款本金总额。 解：以公式（ 2.51 ），有B0=k=1R（k 1+j）1（i-j）anj=113982（元）【例 2.32】一笔贷款的期限为 4 年，年实际利率为 12

26、% ，借款人用 偿债基金法偿还贷款，偿债基金利率为 8% ，借款人每年末支付的总 金额依次为 1000元， 1000 元， 10000 元， 10000元，试计算贷款本 金为多少？解：令原始贷款本金为 B0，则每年应支付的利息金额为 0.12 B0，则 各期向偿债基金储蓄的金额分别为1000-0.12 B0， 1000-0.12 B0，10000-0.12 B0，10000-0.12 B0。他们在还款期末的累计额正是初始的 贷款额：B0=（1000-0.12 B0） s4 0.08 +9000s2 0.08=15075（元）【例 2.33】债券的面值为 1000元，年息票率为 5% ，期限为

27、6 年， 到期按面值偿还，投资者要求的年收益率为 5.5% ，试计算债券购买 价格。解： F=C=1000r=g=0.05i=0.055p=50 a6 0.055 +1000/1.0556=975.02（元）【例 2.34】假设两种债券的面值都为 1000 元，而且期限相同，收益 率都为 5% 。其中一种债券的价格为 1136.78元，年息票率为 2.5%， 另一种债券的价格为 P，年息票率为 1.25% ，试计算 P。解：由 Makeham 公式，有P1=K+0.0250.02× (1000-K)=1136.78( 元)K=452.88（元）故0.0125P=K+ 0.02 

28、15; （1000-K）=794.83 （元）【例 2.35 】某债券面值为 1000 元，名义年息率为 9%，半年支付一次， 期限为 10 年，前 5 年每半年收益率为 4%，后 5年每半年收益率为 5%， 计算债券价值。解：依题意，有前 5 年的息票在零时刻的现值为：45a100.04=364.99（元）零时刻剩余 10 个息票的现值为：45a10 0.05 ×1.04 -10=234.74（ 元）零食可赎回债券的现值为：1000（1.04）-10（1.05 ） -10 =414.73 （元） 债券价值为以上三者之和，即364.99+234.74+414.73=1014.46 （

29、元）【例 2.36 】试计算例 2.33 中第三个息票支付其的账面值增加额。 解：B3-B2= C1+（g- i ）a3i -C1+（g-i） a4i =4.04 （元） 【例 2.37 】某 5年期债券面值为 1000元，名义息票率 8%，没半年支 付一次，每半年结算的名义收益率为 7.5%，计算支付第 6 次息票是 账面价值的变化。解：支付第 5 次息票后的账面价值为：B 5=4050.0375+1000×（1.0375）-5=1011.21（元）支付第 6 次息票后的账面价值为：B6=4040.0375 +1000×（1.0375）-4=1009.13（元）故支付第

30、6 次息票是账面价值的变化为：B 5-B 6=2.08 （元）【例 2.38 】3 年期债券面值 1000元，名义息票率 6%，没半年支付一 次，每半年结算的名义收益率为 8%，试计算：（1）支付第 2 次息票时，账面价值中包含的利息是都少？（2）支付第 3 次息票是，账面价值变是多少？（ 3）建立债券分期付款计划表。解:（1） F=C=1000r=0.03i=0.04支付第 2 次息票后的账面价值为：B2=30 a4 0.04 +1000×（ 1.04）-4=963.70（元） 利息为：B2× 0.04=38.55 （元）2）账面价值的改变是第 2次，第 3 次账面价值之

31、差，为：B3-B2=8.55（元）【例 2.39】某 5年期的债券面值为 1000元，每半年支付 1 次的息票 为 60元，每半年结算的名义收益率为 8% 。如果在购买 2年 2 个月 后，债券以其当时账面几个卖出，试用理论法计算账面价值。解：F=1000n=10Fr=60i=4%k=4t=13 第 2 年末的账面价值是：B4= Fr an k i +Cv n-k =1104.84（元）2年 2月后，用理论法计算账面价值得：Bk-1+t =Bk-1（1+i）t=1119.38（元）【例 2.40】设债券面值为 2000 元，年息票率为 8% ，投资者要求的 年收益为 12% ，期限为 3 年，

32、到期按面值偿还，试计算债券在各季 度末的价格和账面值。解：根据公式，有P0=B0=C1+ （g-i ） an =1807.85（元）P0.25= P0（ 1+i）0.25=1859.81（元）按理论法：FrB0.25= P0（1+i ）0.25- i ×（1+i ）0.25-1=1821.49（元）按半理论法：B0.25= P0（1+i） 0.25-0.25Fr=1819.81（元）按实践方法：B0.25= P0（ 1+0.25i） -0.25Fr=1822.09（元）第五章【例 5.1】某人在 40岁时投保了 3年期 10000元定期寿险，保险金在 死亡年年末赔付。以中国人寿保险业

33、经验生命表（ 1990-1993）（男女 混合）和利率 5% ，计算趸缴净保费。解：趸缴净保费为：1 2 310000 A140:3 =10000（v× q40 + v2 × p40×q41+v3× 2 p40×q42）=（1 0.001650） （1 0.001812） 0.001993 =31.053=49.28（元）【例 5.2】张某在 50 岁时投保了一份保额 100000元的 30 年定期寿 险。假设 lx =1000（1- 1x05 ），预定利率为 0.08，求该保单的趸缴净 保费。解：该生命表的最大年龄是 105 岁，所以 t 的

34、取值范围是 0 到 55，所求的赔付现值是：1100000 A 50:3029100000 1.08t0(t 1)t p50q 50 tl 50 t t p5050 tl 5055 t55q50 t 155 t (54 t) p50 t55 t155 t故，该保单的趸缴净保费是：1100000 A 50:3029100000 1.08t0(t 1)55 t 155 55 t=20468.70(元)【例 5.3】假设例 5.2 中张某 50 岁时购买的是保额为 100000 元的终 身寿险。已知 l x 1000(1 1x05)，预定利率为 0.08，求该保单的趸缴净 保费。解：55(t 1)1

35、00000A50 100000 1.08 (t 1) t p50 q50 1t0= 100000 1= 55 1.0811.085611.08=22421.91(元)例 5.4】某人在 40岁时买了保险额为 20000元的终身寿险， 假设他的生存函数可以表示为 s(x) 1 10x5，死亡赔付在死亡年年末， i=10% ， 求这一保单的精算现值。解：由s(x)1 105t p 40s(40 t) 65 ts(40)65q 1 p1q40 t 1 p40 t 65 t保单精算现值为：t120000A40 20000t 0vt 1 tpx qx t由生存函数可以看出t p40 0 t 65因此t1

36、64 1 65 t 120000A40 20000t 0(11.1) 6565t 651 t=3070.65(元)【例 5.5】在例 5.2中，假设 50 岁的张某购买的是一份 30年的两全保险，死亡年年末给付， 保额为 100000 元，求该保单的趸缴净保费。解： 100000A50:30 100000A150:30 100000A50:13030= 20468.70 100000 (1.08) 30 p50=24985.85(元)【例 5.6】某人在 40 岁时投保了一份寿险保单， 死亡年年末赔付。 如果在 40 岁到 65 岁之间死亡，保险公司赔付 50000元；在 65 岁到 75 岁

37、之间死亡，受益人可领取 100000元的保险金；在 75 岁之后死亡， 保险金为 30000 元。利用转换函数写出保单精算的表达式。 解：这份保单可以分解成一份 50000元的 25 年定期寿险、一份 100000元的延期 25 年的 10年定期寿险与一份 30000元延期 35 年的终身寿 险的组合。这样，这份保单的精算现值可以表示为：50000(M 40 M 60) 100000(M 65 M 75) 30000M 75D 40化简得：50000M 40 50000M 65 70000M 75D 40例 5.7】对（x ）的一份 3 年期变额寿险，各年的死亡赔付额和死亡概率如下表所示：Kb

38、k+1qk+103000000.0213500000.0424000000.06假设预定利率为 6% ，计算这一保单的精算现值。解:依题意，这一保单的精算现值为：23300000v qx 350000v px qx 1 400000v 2px qx 2=36829（元）例 5.8】某人在 30 岁投保，假设生存函数在 0 到 100 间均匀分布， z 为死亡赔付现值随机变量，已知利息力为 0.05，求 A130:10 和 A30 。 解：（1）由于生存函数在 0到 100间均匀分布，但 x=30 时，剩余寿1命在 0,70间均匀分布，概率密度 f（t）=710 ，故1A30:10 E(Z)A3

39、0 E(Z)10 0.05t 10 e 70 dt70 0.05t0e710dt0.51e0.05 700.05 701e0.05 700.11240.2771【例 5.9】某人在 30 岁时投保了 50000元的 30 年两全保险，设预定 利率为 6% ，以中国人寿保险业经验生命表 (1990-1993)(男女混合)， 求这一保单的趸缴净保费。解：在死亡均匀分布假设下，趸缴净保费为：i 1 150000 A30:30 50000 A30:30 A30:3050000 0.06 M 30 M 60 50000 D 60 ln1.06D 30D3010 年死亡赔付 500009467.26例 5

40、.10】在例 5.9 中，如果契约规定在投保的前 元，后 20 年死亡赔付 30000 元，满期存货给付 20000元，求这一保 单的趸缴净保费 解：这是一个变额保险，可以分解为三部分，趸缴净保费为：1150000 A30:10 30000 A40:20 10E30 20000 30E300.06 50000 (M 30 M 40) 30000 (M 40 M 60) 20000D 60ln1.06 D 30D304270.52【例 5.11】已知 A0 =0.8663，i=0.06， 求 A(012) 。解：由i 1.0612 i(12) 12 12 )可算得:i (12) =0.05841

41、1(1再由( 5.38)式，得：(12) iA0 (12) A0 0.8899i【例 2.12】假设某人 41岁时投保了 1 单位元的终身寿险，死亡年末 赔付。已知 i=0.05，p40=0.9972， A41 A10 0.00822 ，求 A41。v 1 0.952381i2v 0.90703q40 1 p40 0.0028由公式Ax vqx vpxAx 1有A41 A40 A41 (vq40 v p40A41) A41(1 vp40) vq40 0.00822A41 0.21654第六章【例 6.1】李明今年 20 岁，如果他能活到 60 岁，它将能从保险公司 得到 1000 元的一次性给

42、付。设年利率为 6% ，试写出这笔给付在李 明 20 岁时的现值。解：李明从 20 岁活到 60 岁的概率是 p ，从 20 岁到 60 岁死亡的 40 20概率为( 1 40 p )，如果活到 60 岁，他可以获得 1000 元给付，死 亡则没有给付。因此，他获得给付的期望值为：1000 40 p20 0 (1 40 p20) 1000 40 p20例 6.2】设 n>t ，证明并解释下面两个式子：（1） nEx tEx n tEx 1（2） tE x1t n tn px v t px v n t px 1 tEx n t Ex t2）将 nEx tExn tEx t两边同乘以n Ex

43、 n tE，得：n E x n 1E x 1 证明：（1） nEx vnt E x1nEx n tEx t例 6.3】张华今年 30 岁，从今年起，只要他存活，可以在每年年初获得 1000 元的生存给付，假设年利率为 9% 。计算这一年金的精算 现值。解：这是一个每年给付 1000 元的终身生存年金，每一次给付经过折 现后在 30 岁时的价值总和合即为这笔年金在 30岁时的精算现值。因 此，给付的现值是：121000 1000 p30 1.09 1 1000 2p30 1.092 .k1000k 0 k p30 1.09k0例 6.4】某人今年 45 岁，花费 10000 元购买了一份年金产品

44、， 保单 承诺从下一年开始， 每年可以领到等额的给付， 已知利率 i=5%, 一句 附表中国人寿保险业经验生命表( 1990-1993)(男女混合)的资料， 试计算每年可以领取的金额。解：这是一个期末负终身年金的例子， 题目中已经给出了这份年金购 买时的现值，要求计算年金每次的给付额。设每次的给付额为p，p a45 10000a45N 56 15.128D 45P=661.03(元)【例 6.5】王明在 40 随时购买了一份年金产品， 承诺在未来 20年内， 如果他存活，则可以在每年年初领取 1000 元的给付，一旦死亡，则 给付立即停止。 20年期满，保单自动中止，无论 20 年后是否存活，

45、 不再继续给付。以附表中国人寿保险业经验生命表( 1990-1993)(男 女混合)的资料，假设预定利率为 i=6% ，使计算这笔年金的精算现 值。解：其精算现值为：1000a40:20 1000 N 40 N 60D 40=11882.82（元）【例 6.6】某人在 30 随时购买了一份年金，约定的给付为：从 51 岁 起，如果被保险人生存，每年可以得到 5000 元的给付，直到被保险 人死亡为止。设年利率为 6% ，存活函数为 l x l 0(1 100) ，试计算这 笔年金在购买时的精算现值 解：由存活函数可得生存概率：p l 30 k 70 kk p30 l 30 70又因为20ka3

46、0k E 30 vk 21 k 21k p 30因而这笔年金的精算现值为：5000 2070a30 5000 1.06k 21k 70 k70=12358.09（元）例 6.7】对于（ 30）的从 60 岁起每年年初 6000 元的生存年金，预定利率为 6% ，以中国人寿保险业经验生命表（ 1990-1993）（男女混合）的资料，求保单的趸缴净现值。解：有公式（ 6.13），保单的趸缴净保费为：6000 30 a30 6000 a60 30E30=10787.38（元）例 6.8】某人在 35 随时购买了一份年金产品，这份年金将从他 60岁退休起的 25 年内，每年年初给付 5000 元生存年

47、金。给定利率为6% ，根据中国人寿保险业经验生命表（ 1990-1993）（男女混合），计算这一年金的精算现值。解：其精算现值为：5000 25 a35:25 5000 N 60 N 85D 35=11683（元）例 6.9】某 30 岁的人投保养老保险， 保险契约规定， 如果被保险人存活的 60 岁，则确定给付 10年年金，若被保险人在 6069 岁间 死亡， 由其指定的受益人继续领取， 知道领取满十年为止。 如果被保 险人在 70岁仍然存活， 则从 70岁起以生存为条件得到年金。 如果年 仅每年年初支付一次，一次支付 6000 元，预定利率为 6% ，以中国 人寿保险业经验生命表（ 199

48、0-1993）（男女混合）资料，计算保单趸 缴净保费。解:趸缴净保费为：6000 (a10 10 a60) 30E30 106000(1 v N 70) D 60i D 60 D 3010790.86例 6.10】如果一个 x 岁的人获得了一份每年 1 单位元的连续年金， 试用随机变量 y 表示给付变量的现值1）用（x）的余寿随机变量 T 的函数表示 y2）利用 y 是 T 的函数这一条件计算年金的精算现值 ax3）死亡给付 1 单位元终身寿险的精算现值的随机变量是 Z，给付Y 也 Z 之间的关系4）利用（3）中的关系，用Ax表示 ax解：（1） y aTT1 vT1vax3）因为T1 vT所以Y1Z4) ax E(Y) 1 E(Z) 1 Ax例 6.11 】已知某人的生命具有常数死亡力0.04 ，设利息力0.06 ，试计算 : (1)ax (2)aT 超过 ax的概率 .解： (1)已知死亡力，则t pxaxet0v0 x sdt p xdtte1 102) P r(aTax)1Pr(10.06T0e.06)Pr(Tln 0.40.06ln0.4 f dt T0.060.54【例 6.12】在例 6.7 中，若年金每月支付一次，求趸缴额。 解：趸缴净保费为