数理经济学茹少峰第章课后题及答案

1、1.求下列函数的极值。(1) y2x xyy23ax 3by(2)y2x1 2x/ 316ln x(3) yx 1(4)yx 1x解：(1)根据二元函数极值的必要条件，可得fx 2x y 3a 0，fyx2y3b 0解得，(x,y)(2a b,2b a)为可能的极值点。根据充分条件，函数 f (x, y)的二阶导师组成的 Hessian矩阵为3b22H 30,因此(2a b,2b a)为f (x, y)的严格极小值点，极值为 3a 5ab(2) 根据一元函数极值的必要条件，可得因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。(3) 根据一元函数极值的必要条件，可得 求得极值点为X 1。由充分

2、条件知y 6x 6。当x 1时y0，所以该函数极值不存在。2.(4)根据一元函数极值的必要条件，可得 求的极值点为由充分条件知当x e时,讨论函数f x，e。2xln x 3x。4x13e因此该函数存在极大值为2xy x2y 1的极值。解：根据二元函数极值的必要条件,可得1 1(肓,(x,y)(为可1 1 1 1(x,y) (0,0),(x,y)(形),(x,y)(1,尹x,y)能的极值点。根据充分条件，函数f (x, y)的二阶导师组成的Hessian矩阵为(x, y) (0,0)时,10，因此函数在该点无极值;1 - 21 J/Vy12 3 23 2 12H0，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数

3、在该点有严格极小值为(x, y)1 1（2）时，H0，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值为(x, y)1 1(2, 2)时，H3212矩阵，因此函数在该点有严格极大值为12321 ；812 0，( 1)A0,( 1)2 A2则海赛矩阵为负定1 1(x, y)( 一,一)时，H2 22 0，( 1)A0,( 1)2 A2则海赛矩阵为负定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为3.试说明对于任意的生产函数f (x) AK是凹函数。证明：f KKLKK1)KL , fLL A2(1)K L所以函数的Hessia n矩阵为因为01,0所以H（K丄）0;且(1)A10,( 1)2A20 ,Hess

4、ian 是负定的，因此生产函数是严格凹函数。4.考虑生产函数y LaK1,1,1，试说明该生产函数对于L和K的任意取值都是严格凹函数。如果1，该函数是什么形状?证明：（1）同上，可求得函数的Hessian矩阵为Hessian是负定的，该函数对于K、L任意取值都是严格凹函数。5.某完全竞争厂商由单一可变投入L （劳动），每期工资率为 W。若该厂商每期的固定成本为F，产品的价格为 Po，要求:（1） 写岀厂商的生产函数、收益函数、成本函数和利润函数;（2） 何为利润最大化的一阶条件？解释此条件的经济意义;(3)什么样的经济环境才能保证利润最大化而不是最小?解：(1)生产函数为：Q f(L)收益函数

5、为:R P Q P f(L)成本函数为：C L W0 F利润函数为:R C Pf (L) (LWo F)(2)利润最大化的一阶条件为:- PWoo,即Wo。该条件的经济LLL P含义为：在利润最大化时，单个要素的边际产量等于要素单位成本与产品价格的比值。(3)要满足利润最大化而不是最小，则要满足利润最大化的二阶充分条件：6.某厂商有如下的总成本函数C与总需求函数Q:因为P 0，所以df(L)2d2L，也就是说，在边际产出递减规律的经济条件下才能实现利润最0大化.Q 100 P.1C -Q3-7Q2111Q50,3请回答下列问题：(1) 确定总收益函数 R与总利润函数(2) 确定利润最大化的产岀

6、水平及最大利润解：(1) R PQ Q(100 Q)(2)利润最大化的一阶必要条件为：解得，Q 1,Q11。利润最大化的二阶充分条件为：2Q 12 ,2Q当Q 1时，0,函数取得极小值为;2q当Q 11时，一厂 0，函数取得极大值为;2Q所以，在产岀水平为 11时，利润最大为。7.设有二次利润函数Q hQ2 jQ k,试确定系数所满足的约束，使下列命题成立:(1)证明若什么也不生产，由于固定成本的关系，利润将为负；(2)证明利润函数为严格凹函数;(3) 求在正的产岀水平 Q下的最大化利润。解：(1 )由题可知，当 Q 0时，k。由于固定成本存在的关系，利润为负，因此系数必须满足的条件为 k 0

7、。8.假设有一个垄断市场环境下的两产品厂商,产品的价格分别为Pl和F2，产品的需求函数Q及(2)因为利润函数为严格凹函数，其一阶必要条件为2hQ j 0，Q求得Qj ；二阶充分条件为2h22h。2q函数为严格凹函数满足的充要条件：f(x)0，即 h2q0,因此，h 0。(3)在正的产岀水平下，Qj0，因此j 0。2h成本函数C为:Qi 40-2R-P2，Q2 35-R-P2，C Q12 Qf 10，求利润最大化的价格水平。解：利润函数PiQ1 P2Q2 C227片 3P2 8RP2270P1185P22835利润最大化的一阶必要条件为:14P1R8P22700,P28R 6巳 1850解得，P

8、17,P221.5,又 11140, 2260，112221220所以，在利润最大化是价格水平为P17,P221.5,R和P?，单位时间内i产品9.假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商，产品的价格分别为 的产岀水平为Qi，厂商成本函数为 C 2Q12 Q1Q2 2Q；，求：(1) 利润最大化的产岀水平；(2) 若总成本函数为 C 2Q12 2Q；，两产品的生产是否存在技术相关性，Q1与Q2的新最优水平是多少？(3) 对参变量P和P2进行比较静态分析。解：（1）P1Q1 P2Q2 (2Q i2 Q1Q2 2Q22)4QQ2P2 4Q2 Q10可得 Qi 4P, Q2313P1 4P23(2)RQ

9、i P2Q2 (2Q 12 2Q22)Pi 4QiPi4Q20 ,1i可得，QiP|, Q2P2442而0,即在最优产量下,Qi Q2Q1,Q2不存在技术相关性。（3）由（1 ）问中的最优产量 Q1 么弓一 ,Q2313R 4P23Qi4 QiP13 P21Q213 Q23 R3 P2413即，产品1价格上升1单位，产量上升，价格下降；3314产品1价格上升1单位，产量下降，价格下降；3310.一个公司有严格凹的生产函数Q K,L。给定P 产品价格，r 资本的利用率,工资要求：（1）对利润达到最大化的投入要素K与L进行比较静态分析，并作简要的分析说明;（2） 假定生产函数是规模报酬递减的Coo

10、b-Douglas函数，做同样的比较静态分析。解：（i） PQ（K, L） rK wL利润最大化时，最优解为K K （P,r,w）， L L （P,r,w）PQ (K ,L )rKwL为最优值函数。Q KKQ LLr变化对最大利润的影响为： PrPwKrKrrL rr利润最大化时有 P Qr0 P Qw 0K，L(2)则r即当资本利用率或工资提高时，利润率随之下降，当产品价格上涨时，最大利润率随之上升。PK L rK wL利润最大化时，最优解为(P,r,w)，L L(P,r,w)11.所以,PQ (K丄)rK wL为最优值函数。考虑参数为(1)(2)解:(2)(K ) (L )a的极大化问题函

11、数X, a3ax 4a2利用包络定理求函数f x; a的最大值关于参数分析参数a对目标函数的最大值的影响。(1)假设最优解为 x x( a)，一阶条件为 f(x (a), a) 0，即参数a与木匾函数的最大值同向变动。12.考虑参数最优化问题 max f x, a(1)(2)解:(2)a的导数;2x (a) 3a343a x 23x求目标函数的极大值关于参数 a的导数;eax213 ( a为参数)：分析参数a对目标函数的极大值的影响(假设这个问题的最优解(1)假设最优解x x (a)利用包络定理x a 0)ox (a)0，由(。中结果，叫严0，所以参数a对目标函数极值的影响是同增同减的。13.

12、给定依赖于投入参数y的短期总成本函数 c q，yay bq舄，这里a，b，d 0，求长期总成本函数 cL q o解：长期总成本函数 C(q) min Cs(q, y) ay bqdq2ya,b,d 0要使上式为极小值，必须满足一阶必要条件:沁 a 电 0，即 y dq4y 4a代入可得C(q) a4adq bq 算qQ 16 p，旅游乘客的需求函数该航空公司在两个市场如何定价才能解：总利润函数4P2 78P376由一阶必要条件可得,39P 4二阶充分条件可得,80，即该点为极大值。15.给定一个价格接受的厂商的生产函数Q K,L。假设Qkl 0，即资本的边际产量随着劳动力的增加而增加。给定产品价格P，资本的租金率r和工资3,则它的利润函数为nK,L PQ K,L nK 3L。假设厂商利润极大化问题的二阶充分条件成立,试分别讨论外生变量r、 3和P之一的变化对各个内生变量的最优值k和L的影响。解：由题可知，厂商最优值为K (P,r,w) , L L