二次函数动点问题解答方法技巧(含例解标准答案)

1、二次函数动点问题解答方法技 巧（含例解答案）作者： 日期：函数解题思路方法总结： 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标，需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 根据图象的位置判断二次函数 ax2+bx+c=0 中 a,b,c 的符号，或由二次函数中 a,b,c 的符号判 断图象的位置，要数形结合； 二次函数的图象关于对称轴对称， 可利用这一性质， 求和已知一点对称的点坐标， 或已知与 x 轴的一个交点坐标，可由对称性求出另一个交点坐标 . 与二次函数有关的还有二次三项式，二次三项式 ax2+bx+c a0本身就是所含字母 x 的二次函数；

2、下面以 a>0 时为例，揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：动点问题题型方法归纳总结动态几何特点 问题背景是特殊图形，考查问题也是特殊图形，所以要把握好一般与特殊的关系；分析过程中，特别要关注图形的特性（特殊角、特殊图形的性质、图形的特殊位置。 ） 动点问题一直是中考热点，近几年考查探究运动中的特殊性：等腰三角形、直角三角形、 相似三角形、平行四边形、梯形、特殊角或其三角函数、线段或面积的最值。 下面就此问题的常见题型作简单介绍，解题方法、关键给以点拨。二、 抛物线上动点25、（湖北十堰市） 如图， 已知抛物线 y ax2 bx 3（ a 0）与 x轴交于点 A（1，0

3、）和点 B（3，0），与 y轴交 于点 C（1）求抛物线的解析式；（2）设抛物线的对称轴与 x轴交于点 M ，问在对称轴上是否存在点P，使 CMP 为等腰三角形？若存在，请直接写出所有符合条件的点 P 的坐标；若不存在，请说明理由（3）如图，若点 E为第二象限抛物线上一动点，连接 BE、CE，求四边形 BOCE 面积的最大值，并求此时 E点的 坐标3注意：第（ 2）问按等腰三角形顶点位置分类讨论画图再由图形性质求点P坐标 C为顶点时，以 C为圆心 CM为半径画弧， 与对称轴交点即为所求点 P， M为顶点时， 以 M为圆心 MC为半径画弧， 与对称轴交点即为所求点 P， P 为顶点时，线段 MC

4、的垂直平分线与对称轴交点即为所求点P。第（ 3）问方法一，先写出面积函数关系式，再求最大值（涉及二次函数最值）； 方法二，先求与 BC平行且与抛物线相切点的坐标（涉及简单二元二次方程组） ，再求面积。070809动点个数两个一个两个问题背景特殊菱形两边上移动特殊直角梯形三边上移动抛物线中特殊直角梯形底边上移动考查难点探究相似三角形探究三角形面积函 数关系式探究等腰三角形考点菱形性质特殊角三角函数 求直线、抛物线解析式相似三角形不等式求直线解析式四边形面积的表 示动三角形面积函 数矩形性质求抛物线顶点坐标探究平行四边形 探究动三角形面积是定 值探究等腰三角形存在性特点菱形是含 60°的

5、特殊菱形； AOB是底角为 30°的等腰三 角形。一个动点速度是参数字母。 探究相似三角形时， 按对应角 不同分类讨论； 先画图，再探究。 通过相似三角形过度， 转化相 似比得出方程。利用 a、 t 范围，运用不等式 求出 a、 t 的值。观察图形构造特 征适当割补表示面 积动点按到拐点时 间分段分类 画出矩形必备条 件的图形探究其存 在性直角梯形是特殊的（一底 角是 45°）点动带动线动 线动中的特殊性（两个交 点 D 、E是定点； 动线段 PF 长度是定值， PF=OA ） 通过相似三角形过度，转 化相似比得出方程。 探究等腰三角形时，先画 图，再探究（按边相等分类 讨

6、论）共同点： 特殊四边形为背景； 点动带线动得出动三角形； 探究动三角形问题（相似、等腰三角形、面积函数关系式） 求直线、抛物线解析式； 探究存在性问题时，先画出图形，再根据图形性质探究答案。二次函数的动态问题（动点）1.如图，已知抛物线 C1与坐标轴的交点依次是 A（ 4，0） ， B（ 2，0） ， E（0，8） （1）求抛物线 C1关于原点对称的抛物线 C2 的解析式；（ 2）设抛物线 C1的顶点为 M ，抛物线 C2与 x轴分别交 于C，D两点（点 C在点 D的左侧），顶点为 N ，四边形 MDNA 的面积为 S若点 A，点 D 同时以每秒 1 个单位 的速度沿水平方向分别向右、 向左

7、运动；与此同时，点M ， 点 N 同时以每秒 2 个单位的速度沿坚直方向分别向下、 向 上运动，直到点 A 与点 D重合为止求出四边形 MDNA 的面积 S与运动时间 t之间的关系式， 并写出自变量 t 的取 值范围；（3）当 t为何值时，四边形 MDNA的面积 S有最大值， 并求出此最大值；解1）点 A（ 4，0） ，点 B（2，0） ，点 E（0，8） 关于原点的对称点分别为D （4，0） ， C （2，0） ，F（0， 8）（ 4）在运动过程中， 四边形 MDNA 能否形成矩形？若能， 求出此时 t 的值；若不能，请说明理由设抛物线 C2 的解析式是2y ax bx c（a 0） ，16

8、a 4b c 0， 则 4a 2b c 0，c 8a 1， 解得 b 6，c 8所以所求抛物线的解析式是y2 x6x8（ 2）由（ 1）可计算得点M （ 3，1），N （3，1） 过点 N 作 NH AD ，垂足为 H当运动到时刻 t 时， AD2OD82t，NH 1 2t根据中心对称的性质 OA OD，OM ON ，所以四边形 MDNA 是平行四边形 所以 S 2S ADN 所以，四边形 MDNA 的面积 S （8 2t）（1 2t） 4t2 14t 8 因为运动至点 A与点 D 重合为止，据题意可知 0t 4所以，所求关系式是 S 4t2 14t 8，t 的取值范围是 0t 4（3） S

9、4 t 7 81，（0t 4）44 所以 t 7 时， S 有最大值 8144提示：也可用顶点坐标公式来求（ 4）在运动过程中四边形 MDNA 能形成矩形由（ 2）知四边形 MDNA是平行四边形，对角线是 AD，MN ，所以当 AD MN时四边形 MDNA是矩形 所以 OD ON 所以 OD2 ON2 OH2 NH 2所以 t2 4t2 2 0 解之得 t16 2，t26 2（舍）所以在运动过程中四边形 MDNA 可以形成矩形，此时 t 6 2 点评 本题以二次函数为背景，结合动态问题、存在性问题、最值问题，是一道较传统的压轴题，能力要求较高。322. （ 06福建龙岩卷）如图，已知抛物线y

10、x2 bx c与坐标轴交于 A，B，C三点，点 A 的横坐标为 1，过43点C（0，3）的直线 yx 3与x轴交于点 Q ，点P是线段 BC上的一个动点， PH OB于点 H 若PB 5t，4t且 0 t 1（1）确定 b， c的值： b ， c ；2）写出点 B，Q， P的坐标（其中 Q，P用含 t的式子表示）B（_ ，_）， Q（_ ，_）， P（_，_） ；3）依点 P 的变化，是否存在t的值，使 PQB 为等腰三角形？若存在，求出所有t 的值；若不存在，说明理由9解 （1） b4c3（2） B（4，0）Q（4t，0）P（4 4t，3t ）3）存在 t 的值，有以下三种情况当 PQ PB

11、 时Q PH OB ，则 GH HB4 4t 4t 4t当 PB QB 时得 4 4t 5tt49当 PQQB 时，如图解法一：过 Q作 QDBP ，又 PQ QBBP 则 BD BP25t2又 BDQ BOCBDBO5t24t 32BQBC4 4t557 解法二：作 RtOBC 斜边中线 OE 则 OE BE， BE BC25，2此时 OEB PQBBEOBBQPBB524 4tt 325745t解法三：在 Rt PHQ中有 QH2(8t 4)2 (3t)2 (4257t2 32t 0BPH2PQ24t)232t，t 0 (舍去)57又Q0 t 11 4 32当t 1或 4或32时， PQB

12、为等腰三角形3 9 57解法四： 数学往往有两个思考方向：代数和几何，有时可以独立思考，有时需要综合运用。 代数讨论：计算出 PQB 三边长度，均用 t 表示，再讨论分析15RtPHQ 中用勾股定理计算 PQ 长度，而 PB、BQ 长度都可以直接直接用 t 表示，进行分组讨论即可计算。 点评 此题综合性较强，涉及函数、相似性等代数、几何知识，1、 2 小题不难，第 3 小题是比较常规的关于等腰三角形的分类讨论，需要注意的是在进行讨论并且得出结论后应当检验，在本题中若求出的 矛盾，应舍去t 值与题目中的 0 t 113.如图 1，已知直线 y x 与抛物线 y2（1）求 A， B两点的坐标；（

13、2）求线段 AB 的垂直平分线的解析式；（3）如图 2，取与线段 AB 等长的一根橡皮筋，端点分别固定在A， B两处用铅笔拉着这根橡皮筋使笔尖P 在直线 AB 上方的抛物线上移动， 动点 P 将与 A，B 构成无数个三角形， 这些三角形中是否存在一个面积最大的三角形？ 如果存在，求出最大面积，并指出此时1x2 6 交于 A，B 两点4P 点的坐标；如果不存在，y解 （ 1）解：依题意得12x41 x26解之得x1y1A（6， 3）， B（ 4，2）2）作 AB 的垂直平分线交x 轴， y 轴于 C，D 两点，由（ 1）可知： OA3 5 OB25AB 5 5OM 1 AB OB2过B作BEx轴

14、， E为垂足OC OB由 BEO OCM ，得：OMOEOC5同理： OD ，2554，0 ，0，请简要说明理由y2AB 于 M （如图1）第图126设 CD 的解析式为kxb(k 0)50k4 5b 2AB 的垂直平分线的解析式为：2x3）若存在点 P使 APB 的面积最大，则点P 在与直线 AB 平行且和抛物线只有一个交点的直线1xm2上，并设该直线与x 轴， y 轴交于 G， H 两点如图 2）1x212x41x4Q 抛物线与直线只有一个交点，14 (m46) 0 ，2541，243在直线 GH： y25中，4G 225 ，00，254GH设 O 到 GH25 54的距离为d，12gOG

15、gOH25 5d45521GHgd1 2522254Q AB GH，P到 AB的距离等于 O到GH 的距离 d 另解：过 P做 PCy轴， PC交AB 于 C，当 PC最大时 PBA 在AB 边上的高h 最大（ h 与 PC夹角固定），则 S,从而可以表示 PC 长度，进行极值PBA最大 问题转化为求 PC 最大值，设 P（x, 求取。最后，以 PC 为底边，分别计算 SPBC 和 SPAC 即可。 点评 这是一道涉及二次函数、方程、几何知识的综合压轴题，有一定的能力要求，第3 小题是一个最值问题，解此类题时需数形结合方可较轻松的解决问题。4.如图，正方形 ABCD的顶点 A， B的坐标分别为

16、 0，10 ，8，4 ，顶点 C，D 在第一象限点 P从点 A出发，沿正方形按逆时针方向匀速运动， 同时，点Q从点 E 4，0 出发，沿x轴正方向以相同速度运动 当点P到达点 C时，P， Q两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒（1）求正方形 ABCD 的边长（2）当点 P在 AB边上运动时， OPQ的面积 S （平方单位）与时间 t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分S 取最大值时点 P 的坐标如图所示） ，求 P，Q 两点的运动速度3）求（ 2）中面积 S （平方单位）与时间 t （秒）的函数关系式及面积4）若点 P，Q保持（ 2）中的速度不变，则点P 沿着 AB 边运动时，OPQ 的大

17、小随着时间 t的增大而增大；沿着抛物线 y2axbxc a 0 的顶点坐标是b ，4ac b22a 4a解 （ 1）作BFQ A 0，10 ，yDAPCQOExy 轴于 图F B 8，4 ，BC边运动时， OPQ的大小随着时间 t的增大而减小当点 P沿着这两边运动时，使 OPQ 90o的点 P个FB 8，FA 6 AB 10 2)又 Q AB 10，10 10 13）方法一：作PGy 轴于GAAPGAt，即FAAB6103GAt5OG103t5P，Q 两点的运动速度均为每秒 1个单位Q OQ 4 t ，G ，则 PG BF 11S OQOGt4223219即 St2t2010519Qb519

18、，2a 233210当 t 时， S 有最大值310 3t50 10 ，34 76此时 GP t， OG 105 153 31t，55点 P 的坐标为 15 ，58 分）方法二：当 t 5 时， OG 7，1 63 OQ 9，S 2OGgOQ 2 设所求函数关系式为 S at2bt 20 23Q 抛物线过点 10，28 ，5，2100a 10b 20 28，6325a 5b 20 .2310，3t219t 20105S19b2a193且 0 10 ，310当t19 时，3S 有最大值此时 GP7615，OG315点 P 的坐标为76，3115 5（4）2 点评 本题主要考查函数性质的简单运用和

19、几何知识，是近年来较为流行的试题，解题的关键在于结合题目的要求 动中取静，相信解决这种问题不会非常难。5. 如图， Rt ABC中， B 90o， CAB 30o 它的顶点 A的坐标为 （10，0） ，顶点 B的坐标为 （5，5 3） ，AB 10 ，点P从点 A出发，沿 A BC 的方向匀速运动，同时点Q 从点 D（0，2） 出发，沿 y 轴正方向以相同速度运动，当点 P 到达点 C时，两点同时停止运动，设运动的时间为t 秒1）求 BAO 的度数2）当点 P在AB上运动时， OPQ的面积 S （平方单位）与时间t （秒）之间的函数图象为抛物线的一部分，如图），求点 P 的运动速度3）求（ 2

20、）中面积 S与时间 t之间的函数关系式及面积 S取最大值时点 P 的坐标4）如果点 P，Q保持（ 2）中的速度不变，那么点 P沿 AB边运动时，OPQ 的大小随着时间 t 的增大而增大；沿着 BC 边运动时，OPQ的大小随着时间 t的增大而减小，当点 P沿这两边运动时，使 OPQ 90o的点 P有几个？请说明理由第 2A9 x解: （1） BAO 60o（ 2）点 P 的运动速度为OPQ 90o的点 P有 2个3) P(10 t，3t)( 0t5)QS2(2t 2)(10 t)29121t24当t9时， S 有最大值为2此时 P11，9 3 224）当点 P 沿这两边运动时，121，4当点 P

21、 与点 A重合时， OPQ 90o，当点 P运动到与点 B重合时， OQ 的长是 12单位长度，由 OPH OPM 得： OM20 3311.5，所以 OQ OM ，从而 OPQ90o所以当点 P 在 AB 边上运动时，OPQ90o的点 P有 1个同理当点 P在 BC边上运动时，可算得10 3OQ 12 17.8作OPM 90o交 y轴于点 M ，作 PH y轴于点 H ，3而构成直角时交y 轴于0，35 335 320.217.8，所以 OCQ 90o，从而 OPQ 90o的点 P 也有 1个所以当点 P 沿这两边运动时，OPQ 90o的点 P有 2 个第 296. （本题满分 14 分）如

22、图12 ，直线 y4与 x轴交于点 A，与 y轴交于点C ，已知二次函数的图象经过点A、C和点 B 1,0 .1）求该二次函数的关系式；2）设该二次函数的图象的顶点为M ，求四边形 AOCM 的面积；33）有两动点 D 、 E同时从点 O出发，其中点 D以每秒 3个单位长度的速度沿折线 OAC 按O AC的路线运动，点 E以每秒 4个单位长度的速度沿折线 OCA按O C A的路线运动，当 D 、 E两点相遇时，它们 都停止运动 .设D、E同时从点 O出发 t秒时， ODE的面积为 S . 请问 D 、 E两点在运动过程中，是否存在 DE OC ，若存在，请求出此时 t 的值；若不存在，请说明理

23、 由； 请求出 S关于 t 的函数关系式，并写出自变量 t 的取值范围； 设 S0 是中函数 S的最大值，那么 S0 = .解：（ 1）令 x 0，则 y 4 ；令 y 0则 x 3 A 3，0 C 0，4二次函数的图象过点 C 0，4 ，可设二次函数的关系式为y ax2 bx 4又该函数图象过点 A 3，0 B 1，00 9a 3b 4 ，0ab 4解之，得a4 ， b8334 2 8所求二次函数的关系式为 y 4 x2 8 x 4 332) y428xx43342x11633顶点 M 的坐标为 1，3过点 M 作 MF x 轴于 F S四边形 AOCMS AFMS梯形 FOCM3116 1

24、132161 103四边形不存在 DE OC DE OC，则点 D，（3）若设点AOCM 的面积为10E 应分别在线段 OA， CA 上，此时 1t 2，在 Rt AOC 中，AC 5 E 的坐标为x1，y1x14t 4 ， x， x112t 12 DEOC，12t 1252t t34524 （秒）34112现分情况讨论如下：）当0t 1 时， S13tg4t3t2；22）当1t 2时，设点E 的坐标为x2，y2 y25 4t 4 ，3616t4558 t>2 ，3 不存在 DEOC 根据题意得 D， E 两点相遇的时间为2不满足 1 tS32t36 16t）当52424时，设点1112

25、t2527t5E 的坐标为x3 ，y336 16t设点 D 的坐标为 x4 , y43t 32，56t 12 y4SSAOES AOD1233t536 16t 1352726t 125y3，类似可得 S0243807.关于 x的二次函数 yx2 （k2 4）x 2k 2以 y轴为对称轴，且与 y轴的交点在 x轴上方（1）求此抛物线的解析式，并在下面的直角坐标系中画出函数的草图；（2）设 A是 y 轴右侧抛物线上的一个动点，过点A作 AB垂直于 x轴于点 B，再过点 A作 x轴的平行线交抛物线于点 D，过点 D作DC垂直于 x轴于点 C ，得到矩形 ABCD 设矩形 ABCD的周长为 l，点 A

26、的横坐标为 x，试 求 l 关于 x 的函数关系式；3）当点 A在 y 轴右侧的抛物线上运动时，矩形 ABCD 能否成为正方形若能，请求出此时正方形的周长；若不能，请说明理由参考资料：抛物线2ax2 bx c（a 0） 的顶点坐标是b ，4ac b ，对称轴是直线2a4ab2a解：（1）据题意得：k2k 2 当 k 2 时， 2k 2 当 k 2 时， 2k 206 0 又抛物线与 y 轴的交点在x 轴上方， k 2 抛物线的解析式为：2yx2 2 函数的草图如图所示只要与坐标轴的三个交点的位置及图象大致形状正确即可）2）解：令 x2 20，得 x2 不0x 2时， A1D1 2x ， A1B

27、1x2 2 ，2( A1B1A1D1)2x24x4当xA2D22x，2A2 B2( x2)x2 2 l 2(A2D2A2B2 ) 2x24x4l 关于 x 的函数关系是：当0x 2 时， l2x24x4；当x2 时， l 2x24x43）解法一：当 0 x2 时，令 A1B1 A1D1 ，得 x2 2x 2 0 解得x 1 3 （舍），或 x 13将x1 3 代入 l22x 4x4，当 x 2 时，令 A2B2 A2D2 ，得 x22x20解得 x 1 3 （舍），或 x 1 3 将 x 1 3 代入 l 2x2 4x 4 ，得 l 8 38综上，矩形 ABCD 能成为正方形，且当x31时正方

28、形的周长为8 3 8 解法二：当 0 x 2 时，同“解法一”可得x1 3 正方形的周长 l 4A1D1 8x 8 38当 x 2 时，同“解法一”可得 x 13正方形的周长 l 4A2D2 8x 8 38综上，矩形 ABCD 能成为正方形，且当x31时正方形的周长为8 3 8 解法三： Q点 A在 y 轴右侧的抛物线上，x 0，且点 A 的坐标为 （x， x2 2）令 AB AD ，则 x2 2 2x x2 2 2x ， L L 或 x2 22x L L8 3 8 得l1 3 ；由解得 x1 3 （舍），或 x8 3 8；当 x3 1 时，正方形的周长为8 3 8；当 x3 1 时，正方形的

29、周长为由解得 x 1 3（ 舍），或 x 1 3 又 l 8x ，当 x 1 3时l 8 3 8；当 x 1 3 时 l 8 3 8 综上，矩形 ABCD 能成为正方形，且当 x 3 1时正方形的周长为 8 3 8；当 x3 1时，正方形的周长为8 3 8 8.已知抛物线 yax2bxc与x轴交于 A、B两点，与 y轴交于点 C，其中点 B在 x轴的正半轴上， 点C在y轴的 正半轴上，线段 OB、OC的长（ OB<OC）是方程 x210x160的两个根，且抛物线的对称轴是直线x2（1）求 A、B、C 三点的坐标；（2）求此抛物线的表达式；（3）连接 AC、BC，若点 E是线段 AB上的一

30、个动点 （与点 A、点B不重合），过点 E作EFAC交BC于点 F， 连接 CE，设 AE 的长为 m， CEF 的面积为 S，求 S与 m之间的函数关系式，并写出自变量m的取值范围；（4）在（ 3）的基础上试说明 S是否存在最大值，若存在，请求出S的最大值，并求出此时点 E 的坐标，判断此时 BCE 的形状；若不存在，请说明理由第 26 题图解：（ 1）解方程 x210x160得 x12，x28点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，且 OB<OC 点 B 的坐标为（ 2， 0），点 C 的坐标为（ 0， 8） 又抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x 2

31、 由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为（ 6， 0）（2）点 C （0， 8）在抛物线 yax2bxc 的图象上 c 8，将 A（ 6，0）、B（2，0）代入表达式，得第 26 题图 （ 批卷教师用图 ）036a 6b804a2b8解得2所求抛物线的表达式为 y 32x283x83）依题意， AEm，则 BE 8m，OA 6，OC 8， AC10 EFAC BEF BAC EFBE即EF8 mACAB即10 8405m EF FG 4EF54FG4 55405m48m4×8128m）（ 8 m）1S S BCE SBFE 2（ 8 m）1 1 1 2 2（8m）（88m）2（8m）m

32、 2m24m自变量 m 的取值范围是 0<m< 8（ 4）存在理由： S12m24m 21（m4）28且 12<0，当 m4 时， S有最大值， S 最大值8 m 4，点 E 的坐标为（ 2， 0）BCE 为等腰三角形9.（ 14分）如图：抛物线经过 A（-3，0）、B（0，4）、C（4，0）三点 .（ 1） 求抛物线的解析式 .（2）已知 AD = AB（D 在线段 AC 上），有一动点 P从点 A沿线段 AC 以每秒 1个单位长度的速度移动； 同时另一个动点 Q 以某一速度从点 B 沿线段 BC 移动，经过 t 秒的移动，线段 PQ 被 BD 垂直平分，求 t 的值；(

33、3)在( 2)的情况下，抛物线的对称轴上是否存在一点M ，使 MQ+MC 的值最小？若存在，请求出点M 的坐标；若不存在，请说明理由。7332b注：抛物线 y ax2 bx c 的对称轴为 x )1)解法一：设抛物线的解析式为y = a (x +3 )(x - 4)因为 B(0，4)在抛物线上，所以 4 = a ( 0 + 3 ) ( 0 - 4 ) 解得 a= -1/311 2 1所以抛物线解析式为 y (x 3)(x 4)x2x 433 32解法二：设抛物线的解析式为 y ax2 bx c (a 0) ，依题意得：c=4 且 9a 3b 4 016a 4b 4 0a解得b所以 所求的抛物线

34、的解析式为 y1x2 1x 4332）连接 DQ，在 Rt AOB 中， ABAO2 BO232 42 5所以 AD=AB= 5 ，AC=AD+CD=3 + 4 = 7 ，CD = AC - AD = 7 5 = 2 因为 BD 垂直平分 PQ，所以 PD=QD ，PQBD，所以 PDB= QDB 因为 AD=AB ，所以 ABD= ADB ， ABD= QDB ，所以 DQAB 所以 CQD= CBA 。 CDQ= CAB ，所以 CDQ CABDQ CDDQ 即2, DQ10AB CA57710252525所以 AP=AD DP = AD DQ=525 ， t17=777所以 t 的值是2

35、5（3）答对称轴上存在一点 M ，使 MQ+MC 的值最小b1理由：因为抛物线的对称轴为 x b 12a 21所以 A（- 3，0），C（4，0）两点关于直线 x 1 对称21连接 AQ 交直线 x 于点 M ，则2过点 Q 作 QE x 轴，于 E，所以DQAB， BAO= QDE ，MQ+MC 的值最小QE DQ BO AB 所以 QE= 8 ，7QED= BOA=900 DQE ABO107 DE536 20DE 即 QEAO 4DE= 6 ，所以 OE = OD + DE=2+ 7，所以设直线 AQ 的解析式为kx m (k0)77Q（20，8）77则 7 k3k所以直线 AQx由此得

36、由此得的解析式为84124418x412441联立128x412441128x412441所以1M(22841)则：在对称轴上存在点 M （2481)，使 MQ+MC的值最小。10. 如图 9，在平面直角坐标系中，二次函数yax2 bxc(a0） 的图象的顶点为 D点，与 y 轴交于 C 点，与 x轴交于 A、B 两点， A 点在原点的左侧，1OBOC ，tan ACO 3（1）求这个二次函数的表达式（ 2）经过 C、D 两点的直线，与 点的四边形为平行四边形？若存在， （ 3 ）若B 点的坐标为（ 3，0），E，在该抛物线上是否存在这样的点F，使以点 A、C、E、F 为顶F 的坐标；若不存在

37、，请说明理由M、N两点，且以 MN为直径的圆与 x 轴相切，求该圆半径的长度 （4）如图 10，若点 G（2，y）是该抛物线上一点，点 P是直线 AG下方的抛物线上一动点，当点P 运动到什么位置时， APG的面积最大？求出此时 P 点的坐标和 APG的最大面积 .x 轴交于点 请求出点 平行于 x 轴的直线与该抛物线交于22391）方法一：由已知得： C（0，3），A（1，0） 1 分abc0将 A、 B、 C三点的坐标代入得 9a 3b c 0 2 分 c3a1解得： b 2 3 分 c3所以这个二次函数的表达式为：yx22x33 分方法二：由已知得： C（0， 3）， A（ 1，0）1分设

38、该表达式为： y a（x 1）（x3）2 分将 C点的坐标代入得： a 13 分所以这个二次函数的表达式为：yx22x33 分（注：表达式的最终结果用三种形式中的任一种都不扣分）（2）方法一：存在， F 点的坐标为（ 2， 3） 4 分理由：易得 D（1， 4），所以直线 CD的解析式为： y x 3E点的坐标为（ 3，0） 4 分由 A、 C、 E、 F 四点的坐标得： AECF2，AECF以 A、C、E、F 为顶点的四边形为平行四边形存在点 F，坐标为（ 2，3） 5 分方法二：易得 D（1， 4），所以直线 CD的解析式为： y x 3 E点的坐标为（ 3，0） 4 分以 A、C、E、F

39、 为顶点的四边形为平行四边形F点的坐标为（ 2， 3）或（ 2， 3）或（ 4，3） 代入抛物线的表达式检验，只有（ 2， 3）符合存在点 F，坐标为（ 2，3） 5 分（3）如图，当直线 MN在 x 轴上方时，设圆的半径为 R（R>0），则 N（ R+1，R），6分设 P( x ， x22x 3），则 Q（x，2 x 1)，PQ x x 2S APG1S APQ S GPQ (2x2 x 2) 31当 x 1 时， APG的面积最大29分10 分此时 P点的坐标为 1, 15 ， S APG的最大值为 272 4 APG 811（本小题 12 分）解：（ 1）解方程 x210x16 0

40、 得 x12， x2 8点 B 在 x 轴的正半轴上，点 C 在 y 轴的正半轴上，且 OB<OC 点 B 的坐标为（ 2， 0），点 C 的坐标为（ 0， 8） 又抛物线 y ax2 bx c 的对称轴是直线 x 2 由抛物线的对称性可得点 A 的坐标为（ 6， 0） A、B、C 三点的坐标分别是 A（ 6，0）、B（2，0）、C（0，8）2）点 C （0， 8）在抛物线 yax2bxc 的图象上 c 8，将 A（ 6，0）、B（ 2，0）代入表达式y ax2bx 8，得036a 6b8解得2a 304a2b88b 83所求抛物线的表达式为2 2 8y3x23x83） AB8， OC8

41、 S ABC 2×8 ×8=324）依题意， AEm，则 BE 8m，OA 6，OC8， AC10EFAC BEF BACEFBE即EF8 m EF405mAC AB 10 8 44 过点 F 作 FGAB，垂足为 G，则 sin FEGsinCAB45FG 4 FG4·405m8mEF 5 5 411S S BCE SBFE 2（ 8 m） ×82（ 8 m）（ 8 m）1 1 12（8m）（88m）2（8m）m 2m24m自变量 m 的取值范围是 0<m< 8 （ 5）存在 理由：1 1 1S 2m24m2（m4）28且 2<0，S

42、 最大值 8 2，当 m4 时， S 有最大值，0） m 4，点 E 的坐标为（ BCE为等腰三角形412.（12 分）已知：如图 14，抛物线直线 y3x b与 y轴交于点 E4写出直线 BC 的解析式 求 ABC 的面积3 x2 3与 x轴交于点 A ，点B ，与直线 y4b 相交于点 B ，点 C ，（1）（2）（ 3）若点 M 在线段 AB 上以每秒上以每秒 2 个单位长度的速度从 B向C运动设运动时间为 t秒，请写出 MNB的面积 S与t的函数关系式，并 求出点 M 运动多少时间时， MNB 的面积最大，最大面积是多少？个单位长度的速度从 A向B运动（不与 A， B重合），同时，点 N在射线 BC解：（ 1）在 y3x2 3 中，令 y 043x2 325EMD O P1分·· ····· · ······ · ··· 2 分2· · ····