离散型随机变量和分布列(基础+复习+习题+练习)

1、课题：离散型随机变量及其分布列考纲要求： 理解取有限个值的离散型随机变量及其分布列的概念，了解分布列对于刻 画随机现象的重要性；理解超几何分布及其推导过程，并能进行简单的应用 . 教材复习1. 随机变量： 如果随机试验的结果可以用一个变量来表示，那么这样的变量叫做随机变量 随机变量常用希腊字母 、 等表示2. 离散型随机变量 : 对于随机变量可能取的值，可以按一定次序一一列出，这样的随机变 量叫做离散型随机变量若 是随机变量， a b ，其中 a 、 b 是常数，则 也是随机变量3. 连续型随机变量 : 对于随机变量可能取的值，可以取某一区间的一切值，这样的变量就 叫做连续型随机变量4. 离散

2、型随机变量与连续型随机变量的区别与联系: 离散型随机变量与连续型随机变量都是用变量表示随机试验的结果； 但是离散型随机变量的结果可以按一定次序一 一列出，而连续性随机变量的结果不可以一一列出5. 离散型随机变量的分布列 :设离散型随机变量 可能取的值为 x1、 x2、 xi、 取每一个值 xi i 1,2, 的概率为 P( xi) pi ，则称表x1x2xiPp1p2pi为随机变量 的概率分布，简称 的分布列6. 离散型随机变量分布列的两个性质：任何随机事件发生的概率都满足 :0 P(A)1，并且不可能事件的概率为 0 ，必然事件的概率为 1由此你可以得出离散型随机变量的分 布列都具有下面两个

3、性质： 1 pi 0， i 1,2, ； 2 p1 p2 1对于离散型随机变量在某一围取值的概率等于它取这个围各个值的概率的和.即P( xk) P(xk ) P(xk 1)X01P1ppk ”表示在第 k 次独立7. 两点分布 ：若随机变量服从两点分布，即其分布列： 其中 P P(X 1)称为成功概率 (表中 0 p 1).8. 几何分布 ：在独立重复试验中，某事件第一次发生时， 所作试验的次数 也 是一个正整数的离散型随机变量“ 重复试验时事件第一次发生 .如果把 k 次试验时事件 A发生记为 Ak 、事件 A不发生记为 Ak ， p(Ak) p， p(Ak) q(q 1 p) ，那么P(

4、k) P(A1 A2 A3 L Ak 1Ak) P(A1)P(A2)P(A3)L P(Ak 1)P(Ak) qk 1p(k 0,1,2, ， q 1 p )于是得到随机变量 的概率分布如下：12kPppqq2pk1 q p称这样的随机变量 服从几何分布，k1记作 g（k, p） qk 1p，其中 k 0,1,2, ， q 1 p9.超几何分布：一般地，设有N件产品，其中有 M （ M N ）件次品，从中任取 n（n N ）件产品，用 X 表示取出的 n 件产品中次品的件数，那么 P X k（其中 k为非负整数） .如果一个随机变量的分布列由上式确定，那么称X 服从参数N,M , n的超几何分布

5、 .012mC0 Cn 0 CM CN MC1 Cn 1 CMCN MC2 Cn 2 CM CN MCmCn m CM CN MCNnCnCNCnCNCnCN10. 求离散型随机变量分布列的步骤： 1 要确定随机变量 的可能取值有哪些 .明确 取每个值所表示的意义； 2 分清概率类型，计算 取得每一个值时的概率（取球、抽取 产品等问题还要注意是放回抽样还是不放回抽样； 3 列表对应，给出分布列，并用分布 列的性质验证 .11. 几种常见的分布列的求法： 1 取球、投骰子、抽取产品等问题的概率分布，关键 是概率的计算 .所用方法主要有化归法、数形结合法、对应法等，对于取球、抽取产品等问 题，还要

6、注意是放回抽样还是不放回抽样 . 2 射击问题： 若是一人连续射击， 且限制在 n 次 射击中发生 k 次，则往往与二项分布联系起来；若是首次命中所需射击的次数，则它服从 几何分布，若是多人射击问题，一般利用相互独立事件同时发生的概率进行计算 .3 对于有些问题，它的随机变量的选取与所问问题的关系不是很清楚，此时要仔细审题， 明确题中的含义，恰当地选取随机变量，构造模型，进行求解 .典例分析：考点一 由古典概型求离散型随机变量的分布列问题 1（ 2013）一个盒子里装有 7 卡片, 其中有红色卡片 4, 编号分别为1,2,3,4 ；白色卡片 3, 编号分别为 2,3, 4 . 从盒子中任取 4

7、卡片 （假设取到任何一 卡片的可能性相同 ）. （） 求取出的 4卡片中, 含有编号为 3的卡片的概率 . （） 在取 出的4卡片中, 红色卡片编号的最大值设为 X, 求随机变量 X的分布列和数学期望 .考点二 由统计数据求离散型随机变量的分布列问题 2（ 2010 ）某食品厂为了检查一条自动包装流水线的生产情况，随机抽取该流水 线上的 40 件产品作为样本称出它们的重量（单位：克） ，重量的分组区间为 490,495 ，495,500 ， 510,515 ，由此得到样本的频率分布直方图，如图所示1 根据频率分布直方图，求重量 超过 505 克的产品数量 .2 在上述抽取的 40 件产品中任取

8、 2件，设 Y 为重量超过 505克的产 品数量， 求Y 的分布列 .3 从流水线上任取 5 件产品， 求恰有 2 件产品合格的重量 超过 505克的概率 .考点二 两点分布问题 3一个盒子中装有 5个白色玻璃球和 6 红色玻璃球，从中摸出两球 .当两球全为 红色玻璃球时，记 X 0 ；当两球不全为红色玻璃球时，记为X 1.试求 X 的分布列 .考点三 超几何分布问题 4（ 2012）已知箱中装有 4 个白球和 5个黑球，且规定：取出一个白球的2分，取出一个黑球的 1分现从该箱中任取 （无放回，且每球取到的机会均等 ） 3个球，记随机变 量 X为取出 3球所得分数之和 1 求X 的分布列； 2

9、 求 X 的数学期望 EX 走向高考：1. （ 2012 ）设 为随机变量，从棱长为 1的正方体的 12 条棱中任取两条，当两条棱相交时， 0 ；当两条棱平行时， 的值为两条棱之间的距离；当两条棱异面时，1 1 求概率 P（ 0） ； 2 求 的分布列，并求其数学期望 E（ ） 2. （ 2013）设袋子中装有 a 个红球， b个黄球， c个蓝球，且规定：取出一 个红球得 1分，取出一个黄球 2分，取出蓝球得 3 分.2 个球，1 当 a 3,b 2,c 1时，从该袋子中任取（有放回，且每球取到的机会均等） 记随机变量 为取出此 2 球所得分数之和， .求 分布列； 2 略3. （ 2011）

10、某饮料公司招聘一名员工，现对其进行一项测试，以便确定工资级别.公司准备了两种不同的饮料共 8杯，其颜色完全相同，并且其中 4杯为 A饮料，另外 4 杯为 B饮 料，公司要求此员工一一品尝后，从8杯饮料中选出 4杯 A饮料.若4杯都选对，则月工资定为 3500元；若4杯选对 3杯，则月工资定为 2800元；否则月工资定为 2100元.令 X 表 示此人选对 A饮料的杯数 .假设次人对 A和 B两种饮料没有鉴别能力 .1 求 B 的分布列； 2 求此员工月工资的期望 .4. （ 2011）为了解甲、乙两厂的产品质量，采用分层抽样的方法从甲、乙两厂生产的产 品中分别抽取 14件和 5件，测量产品中微量元素x, y的含量（单位：毫克） .下表是乙厂的 5 件产品的测量数据：编号12345x169178166175180y75807770811 已知甲厂生产的产品共 98 件，求乙厂生产的产品数量；2 当产品中的微量元素 x,y满足 x 175且 y 75时，该产品为优等品，用上述样本数据估计乙厂生产的优等品的数量；3 从乙厂抽出的上述 5件产品中，随即抽取 2件，求抽取的 2 件产品中优等品数 的分 布列及其均值（即数学期望） .5. （ 2013）某商 场举行的“三色球”购物摸奖活动规定：在一次摸奖中，摸奖者先从装有 3 个红球与 4 个白球的袋中任意摸出 3 个球，再从装有 1个