《机械优化设计》试卷及答案解析

1、机械优化设计复习题及答案一、填空题1、用最速下降法求 f(X)=100(x 2- x 12) 2+(1- x 1) 2 的最优解时，设 X(0)-0.5,0.5 T， 第一步迭代的搜索方向为 -47;-50 。2 、机械优化设计采用数学规划法 ,其核心一是建立搜索方向二是计算最佳步长因子。3、当优化问题是 _凸规划 的情况下，任何局部最优解就是全域最优解。4、应用进退法来确定搜索区间时，最后得到的三点，即为搜索区间的始点、中间点和 终点，它们的函数值形成 高- 低-高 趋势。5 、包含 n 个设计变量的优化问题，称为 n 维优化问题。16、函数 XTHX BTX C 的梯度为 HX+B 。27

2、、设 G为 n×n 对称正定矩阵，若 n 维空间中有两个非零向量 d 0，d1，满足(d 0) TGd 1=0 ， 则 d0、d1 之间存在 _共轭关系。8 、 设计变量 、 约束条件 、 目标函数 是优化 设计问题数学模型的基本要素。9、对于无约束二元函数 f(x1,x2)，若在 x 0( x10 , x20 )点处取得极小值， 其必要条件是 梯 度为零 ，充分条件是 海塞矩阵正定 。10 、 库恩-塔克条件可以叙述为在极值点处目标函数的梯度为起作用的各约束函数梯度的非负线性组合。11 、 用黄 金分 割 法求 一元函数 f(x) x2 10x 36 的极 小点 ，初 始 搜索区间

3、 a,b 10,10 ，经第一次区间消去后得到的新区间为-2.36,2.36 。12 、优化设计问题的数学模型的基本要素有设计变量、约束条件 目标函数 、13 、牛顿法的搜索方向 dk=，其计算量 大 ，且要求初始点在极小点 逼近位置。1 T T14 、 将 函 数 f(X)=x 12+x 22-x 1x2-10x 1-4x 2+60 表 示 成 XTHX BTX C 的 形2 式。15 、存在矩阵 H，向量 d1，向量 d2，当满足 (d1)TGd2=0 ，向量 d1 和向 量 d2 是关于 H 共轭。16 、采用外点法求解约束优化问题时， 将约束优化问题转化为外点形式时引入的惩罚因 子 r

4、 数列，具有 由小到大趋于无穷 特点。17 、采用数学规划法求解多元函数极值点时，根据迭代公式需要进行一维搜索，即 求。二、选择题1 、下面 方法需要求海赛矩阵。A 、最速下降法B、共轭梯度法C、牛顿型法D、DFP法2、对于约束问题 min f X x12 x22 4x2 4g1 X x1 x22 1 0g 2 X 3 x1 0g 3 X x2 0根据目标函数等值线和约束曲线，判断 X 1 1,1T 为， X 2 52 , 12T为。A内点；内点B. 外点；外点C. 内点；外点D. 外点；内点3、内点惩罚函数法可用于求解 优_ 化问题。A 无约束优化问题B 只含有不等式约束的优化问题C 只含有

5、等式的优化问题D 含有不等式和等式约束的优化问题4、对于一维搜索，搜索区间为a，b，中间插入两个点 a1、b1，a1<b1，计算出 f(a1)<f(b 1)， 则缩短后的搜索区间为 。_A a1，b1B b 1 ，bC a1，bD a，b15 、不_ 是优化设计问题数学模型的基本要素。A 设计变量B 约束条件C 目标函数D 最佳步长6、变尺度法的迭代公式为 xk+1=xk-kHkf(xk)，下列不属于 Hk 必须满足的条件的是 。A. Hk 之间有简单的迭代形式B. 拟牛顿条件C. 与海塞矩阵正交D. 对称正定7、函数 f ( X )在某点的梯度方向为函数在该点的。A 、最速上升方

6、向B、上升方向C、最速下降方向D、下降方向8、下面四种无约束优化方法中， 在_ 构成搜索方向时没有使用到目标函数的一阶或二阶导数。A 梯度法B 牛顿法C 变尺度法D 坐标轮换法9、设 f (X )为定义在凸集 R上且具有连续二阶导数的函数， 则 f(X)在 R上为凸函数的 充分必要条件是海塞矩阵 G(X)在 R 上处处。A 正定B 半正定C 负定D 半负定10 、下列关于最常用的一维搜索试探方法黄金分割法的叙述， 错误的是 ， 假设要求在区间 a，b 插入两点 1、2， 且1<2。A 、其缩短率为 0.618B、1=b- (b-a )C、1 =a+ (b-a )D、在该方法中缩短搜索区间

7、采用的是外推法。11 、与梯度成锐角的方向为函数值 上升 方向，与负梯度成锐角的方向为函数值 下 降 方向，与梯度成直角的方向为函数值 不变 方向。A、上升B、下降C、不变D、为零12 、二维目标函数的无约束极小点就是 。A、等值线族的一个共同中心B、梯度为 0 的点C、全局最优解D、海塞矩阵正定的点13 、最速下降法相邻两搜索方向 dk和dk+1 必为向量。A 相切B 正交C 成锐角D 共轭14 、下列关于内点惩罚函数法的叙述，错误的是。A 可用来求解含不等式约束和等式约束的最优化问题。B 惩罚因子是不断递减的正值C 初始点应选择一个离约束边界较远的点。D 初始点必须在可行域内15 、通常情

8、况下，下面四种算法中收敛速度最慢的是A 牛顿法 B 梯度法 C 共轭梯度法 D 变尺度法16 、一维搜索试探方法黄金分割法比二次插值法的收敛速度A 、慢 B、快 C、一样 D 、不确定17 、下列关于共轭梯度法的叙述，错误的是。 A 需要求海赛矩阵B 除第一步以外的其余各步的搜索方向是将负梯度偏转一个角度 C 共轭梯度法具 有二次收敛性D 第一步迭代的搜索方向为初始点的负梯度三、问答题1、试述两种一维搜索方法的原理，它们之间有何区答：搜索的原理是：区间消去法原理 区别：（1）、试探法：给定的规定来确定插入点的位置，此点的位置确定仅仅按照区间 的缩短如何加快，而不顾及函数值的分布关系，如黄金分割

9、法（2）、插值法：没有函数表达式，可以根据这些点处的函数值，利用插值方法建立函数 的某种近似表达式，近而求出函数的极小点，并用它作为原来函数的近似值。这种方法 称为插值法，又叫函数逼近法。2、惩罚函数法求解约束优化问题的基本原理是什么？答，基本原理是将优化问题的不等式和等式约束函数经过加权转化后，和原目标函数 结合形成新的目标函数惩罚函数 求解该新目标函数的无约束极值， 以期得到原问 题的约束最优解3、试述数值解法求最佳步长因子的基本思路。答 主要用数值解法，利用计算机通过反复迭代计算求得最 佳步长因子的近似值4、试述求解无约束优化问题的最速下降法与牛顿型方法的优缺点。答：最速下降法此法优点是

10、直接、简单，头几步下降速度快。缺点是收敛速度慢， 越到后面收敛越慢。牛顿法优点是收敛比较快，对二次函数具有二次收敛性。缺点是每 次迭代需要求海塞矩阵及其逆矩阵，维数高时及数量比较大。5 、写出用数学规划法求解优化设计问题的数值迭代公式， 并说明公式中各变量的意义， 并说明迭代公式的意义。四、解答题1、试用梯度法求目标函数 f（X）=1.5x 12+0.5x 22- x1x2-2x1 的最优解，设初始点 x（0）=-2 ，4T,选代精度=0.02 （迭代一步）2、试用牛顿法求 f( X )=(x 1-2) 2+(x 1-2x 2)2的最优解，设初始点 x(0)=2,1 T 3、设有函数 f(X)

11、=x 12+2x 22-2x 1x2-4x 1，试利用极值条件求其极值点和极值。4 、求目标函数 f( X )=x 12+x 1x2+2x 22 +4x 1+6x 2+10 的极值和极值点。5、试证明函数 f( X )=2x 12+5x22 +x 32+2x 3x2+2x 3x1-6x2+3 在点1，1，-2T处具有极小值6、给定约束优化问题min f(X)=(x 1-3)2+(x2-2) 2s.t. g 1(X)= x12x22 50g 2 (X)= x12x24 0g 3 (X)= x 10g 4 (X)=x 20验证在点 X 2，T Kuhn-Tucker 条件成立。7、设非线性规划问题

12、minf(X)2(x1 2)22x2s.t.g1(X)x1 0g2(X)x2 0g3(X)x12 x22 10用 K-T 条件验证 X * 1,0 T 为其约束最优点x 的方块并折转，试写出这一优10 、如图，有一块边长为 6m 的正方形铝板，四角截去相等的边长为 造一个无盖的箱子，问如何截法（ x 取何值）才能获得最大容器的箱子 化问题的数学模型以及用 MATLAB 软件求解的程序11 、某厂生产一个容积为 8000cm 3 的平底无盖的圆柱形容器，要求设计此容器消耗原 材料最少，试写出这一优化问题的数学模型以及用 MATLAB 软件求解的程序。12 、一根长 l 的铅丝截成两段，一段弯成圆圈，另一段弯折成方形，问应以怎样的比例 截断铅丝，才能使圆和方形的面积之和为最大，试写出这一优化设计问题的数学模型以 及用 MATLAB 软件求解的程序13 、求表面积为 300m 2 的体积最大的圆柱体体积。试写出这一优化设计问题的数学模 型以及用 MATLAB 软件求解的程序。14 、薄铁板宽 20cm ，折成梯形槽，求梯形