上海市长宁区2020-2021学年九年级上学期期末教学质量调研数学试题(一模)及参考答案

1、上海市长宁区2020.2021学年九年级上学期期末教学质量调研数学试题（一模）学校:姓名：班级：考号：一、单选题1 .己知在。中，ZC= 90°, ZB=50°, AB=10,那么 8c的长为（）A. 10cos50°B. 10sin50°C. 10tan50°D. 10cot50°2 .下列命题中，说法正确的是（）A.四条边对应成比例的两个四边形相似B.四个内角对应相等的两个四边形相似C.两边对应成比例且有一个角相等的两个三角形相似D.斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似3 .已知Z是两个单位向量，向量7 = , B =

2、，那么下列结论正确的是（）A,C. a = bD. a =-b试卷第6页，总5页4 .己知二次函数），=。/+法+。（=0）的图象如图所示，那么c满足（）C. a<0, c>0D. nVO, c<05 .已知P, Q是线段AB的两个黄金分割点，且AB=10,则PQ长为（）A. 5(75-1)B. 5(6+1) C. 10(75-2)- D. 5(3-小)6 .如图，已知在“8C中，点。、点E是边BC上的两点，连接AO、AE,且AO=AE, 如果ABEsCBA,那么下列等式错误的是（）A. AB2=BEBCC. AF=CD，BEB. CDAB=ADACD. AB，AC=BE，C

3、D二、填空题x 1 x+ y7 .已知一=彳，那么一二的值为.8 .计算：；仅万一5） + 5=.9 .计算： 丘cos 45°+sm2 60° =-10 .如果两个相似三角形对应边上的中线之比为5： 4.那么这两个三角形的周长之比 为11 .将抛物线y = 2x2-l向下平移3个单位后,所得抛物线的表达式是12 .如图，一辆汽车沿着坡度为i = l：JT的斜坡向下行驶50米，则它距离地面的垂直 高度下降了 米.13 .已知抛物线），=好一2工+£经过点4（-1,弘）和8（2,）?），比较X与力的大小：£ 儿（选择或"V”或“="填入

4、空格）.14 .如图，已知AC/EF/BD.如果AE： EB=2： 3, CF=6.那么CD的长等于.15.已知，二次函数/（x） = or2+bx+c的部分对应值如下表，则/（一3）=-2-101234L3y30-3-4-3051216 .如图，点G为ABC的重心.如果AG=CG, BG=2, AC=4,那么A8的长等于17 .如图，矩形A8CO沿对角线8。翻折后，点C落在点E处.联结CE交边AO于点F.如果。尸=1, BC=4,那么4E的长等于.18 .如果一条对角线把凸四边形分成两个相似的三角形，那么我们把这条对角线叫做这个凸四边形的相似对角线，在凸四边形A8CO中，AB = AC =小

5、，AD = CD = -, 2点七、点尸分别是边AO,边BC上的中点.如果AC是凸四边形48co的相似对角线, 那么EF的长等于.三、解答题1719 .已知二次函数），=-5/一1+ 5.（1）用配方法把该二次函数的解析式化为），= a（x+m+我的形式：（2）写出该二次函数图象的开I I方向、顶点坐标和时称轴，并说明函数值y随自变量X 的变化而变化的情况.20 .如图，四边形ABC。是平行四边形，点上是边A。的中点AC、BE相交于点。.设BA = a CB = b .（1）试用、b表示BO ：（2）在图中作出而在无、丽上的分向量，并直接用£、B表示加.（不要求写作法，但要保留作图痕

6、迹，并写明结论）A尸 AE21 .如图，在A8C中，点。在边A8上，煎E、点F在边AC上，且DE/BC,=. FE EC（1）求证：DF/BE ；DE（2）如果A尸=2, EF=4, AB = 66 求r的值 BE22 .某校为检测师生体温，在校门安装了某型号的测温门，如图为该“测温门”截面示 意图.身高L6米的小聪做了如下实验：当他在地面M处时“测温门”开始显示额头温 度，此时在额头B处测得A的仰角为30。：当他在地面N处时，“测温门”停止显示额 头温度，此时在额头C处测得A的仰角为53。.如果测得小聪的有效测温区间MN的长 度是0.98米，求测温门顶部A处距地面的高度约为多少米？（注：额头

7、到地面的距离 以身高计，sm5300.8, cos53°=0.6t cot53%0.75,% L73 .）23 .已知：如图，在Rt/kABC中，ZACB=90°, CH±AB,垂足为点H,点D在边BC 上，联结AD,交CH于点E,且CE=CD.（1）求证：ACEs/ABD；（2）求证：2XACD的面积是aACE的面积与aABD的面积的比例中项.24 .已知在平面直角坐标系工3,中，抛物线尸江+历+2经过点A（-3,-6）、6（6,0）, 与y轴交于点C.(1)求抛物线的表达式：(2)点。是抛物线上的点，且位于线段8c上方，联结CO.如果点。的横坐标为2.求cot

8、/OCB的值；如果NOC8=2NC8。，求点。的坐标.25 .己知，在矩形ABCO中，点M是边A8上的一个点(与点A、B不重合)，联结CM, 作NCMF=90。，且加F分别交边AO于点E、交边。的延长线于点立点G为线段 M尸的中点，联结OG.(1)如图1,如果AO=AM=4,当点E与点G重合时，求的面枳：(2)如图2,如果AM=2, BM=4.当点G在矩形ABCO内部时，设AO=%, DG2=y, 求V关于x的函数解析式，并写出定义域；(3)如果AM=6, CD=8, ZF=ZEDG9求线段A。的长.(直接写出计算结果)本卷由系统I'l动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。参考答案1

9、. A【分析】根据三角函数的定义即可求解.【详解】»BC解： cosB=,AB.*.BC=ABcosB= 10cos500 .【点睛】此题主要考查三角函数的定义.余弦：锐角A的邻边b与斜边c的比叫做NA的余弦，记作cosA, 即 cosA=. c2. D【分析】根据三角形相似和相似多边形的判定解答.【详解】A、四个角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题：B、四个内角对应相等，四条边对应成比例的两个四边形相似，原命题是假命题：C、两边对应成比例且其夹角相等的两个三角形相似，原命题是假命题；D、斜边与一条直角边对应成比例的两个直角三角形相似，是真命题； 故选：D.【

10、点睛】本题考查了命题与定理的知识，解题的关键是了解三角形相似和相似多边形，难度不大.3. C【分析】由1、或是两个单位向量的方向不确定，从而判定A与B错误：又由平面向量模的知识, 即可判定选项C正确，选项D错误.【详解】解：、I是两个单位向量，方向不一定相同，力与不一定相等，选项A错误；】、E是两个单位向量，方向不一定相同，£与-B不一定相等，选项B错误；中卜阿=3邛卜卜司=3,邛卜W，选项C正确，选项D错误；故选：C【点睛】本题考查了单位向量的定义和向量的数量积，注意平面向量的模的求解方法与向量是有方向 性的.4. C【分析】根据二次函数图象开11向下确定出为负数，再根据二次函数图

11、象与y轴的交点即可确定出 c的正负情况，答案可解.【详解】解：二次函数图象开口向下，/. « < 0 ,二次函数图象与）'轴的正半轴相交，c > 0 ,故选：c.【点睛】本题考查了二次函数图象与系数的关系，熟练掌握二次函数图象的开门方向、对称轴、与了 轴的交点与系数的关系是解题的关键.5. C【分析】画出图像，根据黄金分割的概念写出对应线段的比值，求出A。、P8的长度，再根据PQ=AQ+PB-AB即可求出PQ的长度.【详解】解：如图，根据黄金分割点的概念，可知竺=丝=正二1, AB AB 2.'.AQ=PB,A8=10,Ag=P8=x 10 = 56一 5

12、，PQ=AQ+PB-AB= 5y/5-5 + 5>/5-5-10 = 1075-20 = 10（仃-2）.故选：C.【点睛】本题主要考查黄金分割的概念，熟记黄金分割的概念并根据黄金分割的比值列式是解题关键.6. D【分析】根据相似三角形的判定及性质对每一个选项一一证明即可.【详解】解：°： "BEsCBA,AB BE=, NBAE= NC, NAEB= NCAB,BC AB（故选项A正确）*：AD=AEtZADE=ZAED,ZADE=ZCAB,又NC=NC, CD As CAB,.CD _ AD*' AC-'.C£K4B=AZ）AC,（故选项

13、B正确）V ZADE=ZAED, ZBAE=ZC, ABEs CAD,.AE _ BE''CDAD':.AE*AD=CD*BE,：.AE2=CDBE.（故选项C正确） / ZADE=ZAED<9Q ：.ZADB=ZAEC>90°.：.AB>AD. AOAE.：.ABAOAE2,即ABAC>CZ>8E,（故选项D错误） 故选：D.【点睛】 本题考查了相似三角形的判定及性质，熟练掌握相似三角形的判定及性质是解决本题的关键.7. -3【分析】 根据已知得到> = 2x,代入所求式子中计算即可.【详解】x+ y x+2x 3x r.

14、-=一3x-y x-2x -x故答案为：-3.【点睛】 本题考查了求分式的值，利用已知得到y = 2x后再整体代入是解题的关键.18. + 一 2【分析】 去括号，合并同类向量即可解得.【详解】扣力）【点睛】本题考查了向量的线性运算，属于基础题.79. -4【分析】根据COS45*巫，$11160。=正代入运算即可.22【详解】解:原式=24_7=，47 故答案为：4【点睛】 此题考查了特殊角的三角函数值，属于基础题，解答本题的关键是熟练记忆一些特殊角的三 角函数值.10. 5:4【分析】根据相似三角形的性质可直接得出结论.【详解】解：两个相似三角形的对应中线的比为5： 4,其相似比为5： 4

15、,这两个相似三角形的周长的比为5： 4.故答案为：5： 4.【点睛】本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形（多边形）的周长的比等于相似比是解题的 关键.11. y = 2x2-4【分析】 函数图象上下平移时，根据“上加下减”求解即可.【详解】抛物线y = 2/ -1向下平移3个单位后表达式为：y = 2x2-l-3 = 2x2-4,故答案为：y = 2x2-4.【点睛】本题考查函数图象平移，熟记平移法则是解题关键.12. 25【分析】设出垂直高度，表示出水平距离，利用勾股定理求解即可.【详解】解：设垂直高度下降了 x米，则水平前进了 JJx米.根据勾股定理可得：x2+ (JIx) 2=50

16、+解得x=25,即它距离地面的垂直高度下降了 25米.【点睛】此题考查三角函数的应用.关键是熟悉且会灵活应用公式：tana (坡度)=垂直高度水平宽 度，综合利用了勾股定理.13. >【分析】把点A、B的坐标分别代入已知抛物线解析式，并分别求得兑与兑的值，然后比较它们的大小即可.【详解】 抛物线y = x2-2x+c经过点A(-l,弘)和8(2, %) , )l = 3 + c, ) = c , , - = 30 , M > y2，故答案为：>.【点睛】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，抛物线上的点关于对称轴对称，且都满足函数关 系式.14. 15【分析】根据平行线分线段

17、成比例定理列出比例式首先求得CF的长，再求得DC的长.【详解】解：-AC/EF/BD, CF=6,AE _CF _ 2BEDF3'DF=9,/.CD=DF+CF=9+6=15.故答案是：15.【点睛】本题考查了平行线分线段成比例定理和比例的基本性质，解题的关键是注意数形结合思想的 应用.15. 12【分析】根据二次函数的对称性结合图表数据可知，x=-3时的函数值与x=5时的函数值相同.【详解】由图表数据可知，抛物线的对称轴为：x=l且 f (-3) =f (5) =12.故答案为12.【点睛】本题考查了二次函数的性质，主要利用了二次函数的对称性，理解图表并准确获取信息是解 题的关键.1

18、6. V13【分析】先延长交AC与点O,再根据重心的性质得出BD=3；证AAOGmACOG,得出BDA.AC, 再利用勾股定理求出AB的长.【详解】解：（如图）延长BG交AC与点丁点G为ABC的重心,BG=2,/. AD=CD, BD=3,又AG=CG, GD=GD,/ SADG = &CDG,：./ADG=/CDG,J.BDLAC,AC=4,：.AD=2,A8= y/AD2 + BD2 =，2? + 32 = /13，故答案为：JTT.【点睛】本题主要考杳了三角形重心的性质，三角形全等和勾股定理，正确做出辅助线，求出80、 AD的长以及证明AAOG三ACDG是解决本题的关键.【分析】

19、由折叠的性质可得RA5CD三川&5石。，由矩形的性质可证明以八2%6三必ABCD,故 可得RfADAB= RIMED,再证明HfMC。RAC。尸求得CD=2,在用AA石尸中由勾 股定理可得解.【详解】解：四边形ABCD是矩形，ABED是由ABCD翻折得到，: RtdBCD 三 RtkBED, CE 工 BD,A AD = BC = 4, AB = CD = ED, 四边形ABCD是矩形，AAD=BC, AB=CD,又 BD=DB Rt/iDAB = RtNBCD/. R3AB = RtABED：AB = ED, ZABD=ZEDB 四边形ABDE是等腰梯形， : CE1BD, AE/B

20、DCEIAE, Z EAD = ZADB = ZDBC Z DBC+AFCB = 90°, ZFBC+ ZFCD = 90':/DBC=ZFCD RtABCD RtCDFFD CD nn 1 CD/.=,即=CD BC CD 4 CD=2或-2 (舍去)CD 2 1在 RtDCB 中，tan /DBC = =,BC 4 2 ： Z EAD= ZDBC：.tan Z.EAD =-2在&A4上尸中，EF = -AE2由勾股定理得，AE2 = AF2-EF2即 AE2 = (AD - FD)2 -(| AE)2 AE2=(4-1)2-AE2解得：AE = 1V5 .故答案为

21、：述. 5【点睛】本题考查了矩形的性质、解直角三角形，勾股定理的运用以及折叠的性质：折叠是一种对称 变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等.18面 4【分析】根据相似三角形的判定及性质可得BC, ZACB=ZCAD,继而可证5c7/40,根据等腰13三角形三线合一性质可得CF=BF=-8C=1, AE = -f ZAFC=ZFAE = 90°,继而在 24RtZAFC中，根据勾股定理可得AF,继而在RtZAEF中，由勾股定理即可求解.【详解】解：V AB = AC, DA = DCA AC2 = BC AD, ZACB = ZCAD3V AB

22、= AC = y/3 AD = CD = -tBC = 2又 NAC5 = NC4£), BC/AD，VAB=AC又点七、点F分别是边AO,边8c上的中点.13AAF1BC, AF±AD, CF=BF=-8C=1, AE =一， 24即 NAFC=NFAE = 90。，在RtAFC中，由勾股定理，得：AF = yAC2-CF2 = >/2，在RtZAEF中，由勾股定理，得：EF = >JAF2 + AE2 = J(y/2)2 +=空.【点睛】本题考查相似三角形的判定及其性质、等腰三角形的性质、勾股定理的应用，解题的关键是 求出综合利用所学知识求得BC, AF的长

23、度.19. （1），= _；（x + l+4： （2）开口向下，顶点（一1,4）,对称轴直线x = l，xW-1时， y随x增大而增大；x>-i时，）随x增大而减小.【分析】（1）根据配方法，先提取-?，然后配成完全平方式，整理即可；（2）根据a是负数以及顶点式解析式分别求解即可.【详解】解：（1）尸一；（丁 + 2" + ： = 一；（工+）。4（2）二次函数开口方向向下，顶点坐标（一1,4）,对称轴直线x = -l,xW-1时，y随x增大而增大；x>-l时，>随工增大而减小.【点睛】本题考查化一般式为顶点式和二次函数的性质.熟练掌握配方法的操作以及根据顶点式形式

24、 写出对称轴和顶点坐标的方法是解题的关键.2 - 1 r2r 2-20. （1） BO = cib ； （2）见解析，CO = b +a3333【分析】2（1）首先证明8。= §8七，求出而即可求解；2（2）证明CO = §C4,求出逐即可解决问题.【详解】解（1） ； AD/BCOE AE 1 2 :.BO = -BE3.的=2族=2（而+码=2g=匕；33， 3（2 J 33（2） VAE/BC,AO AE 1 =，CO CB 22:.co = -ca93.访=2m=2（而+丽）=2.+*勺+匕33、1 3、, 33如图所示，C0在围、而上的分向量分别为CN和西【点睛】

25、本题考查作图一复杂作图，平行线的性质、平面向量等知识，解题的关键是正确理解题意, 灵活运用所学知识点.21. （1）见解析；（2）立3【分析】ap An AF（1）由平行线分线段成比例，得到=，即可得到QF6E；EC BD FEDE（2）根据题意，由相似三角形的判定定理，先证明AOEsaAEB,即可求出的值.BE【详解】证明：（1） DE/BC,.AE AD = ，EC BDAF AE FEEC'AD AF = 9BD FE DF/BE ；(2):斗尸=2, EF=4, AB = 6仆， AD AF _2 _1 = =, BD FE 4 2/. AD = 2邪,BD = 45/3 ,

26、AE=AF+EF=6,.A£> _ 2>/3 _ V3 AE _ 6 _ 73石一工一行而一访一丁.AD AE =，AE AB乂 ZA = ZA，AADE saaeb ,DE AE 衣【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质，平行线分线段成比例.解题的关键是利用平行线得出 相似三角形及比例，从而进行解题.22. 2.6【分析】延长BC交AD于点E,构造直角ABE和矩形EDNC,设AE=x米，通过解直角三角形分 别求出BE、CE的长度，继而求出BC,进而可得关于x的方程，解方程求得X,即AE,继 而即可求解.【详解】解：延长BC交AD于点E, BM=CN 且 CN_LDM,

27、 BM±DMBMCN, 四边形BCNM是平行四边形， ZCNM= NBMN=90"四边形BCNM是矩形,同理：四边形CEDN是矩形, ，DE=CN=BM=L6 米 ZAEC = 90:>VBC=MN,设AE=x米,V1311530AECE,taii300AE BE答案第22页，总21页xXCE =20.751,BE =L73x,tan53Qtan30QABC=BE-CE=1.73x-0.75x=0.98x,又 MN=0.98, ，0.98x=0.98,Ax=l,即AE=1米DE=CN=BM=L6 米，AE+DE= 1+L6=2.6 米答：测温门顶部A处距地面的高度约为

28、2.6米.【点睛】本题考查解直角三角形的应用一仰角俯角问题，涉及到矩形的判定及其性质解题的关键是做辅助线构造直角三角形并解直角三角形.23. (1)见解析；(2)见解析【分析】(1)先证= 再证/AEC=/4O5,利用相似三角形的判定求解即可；(2)根据同高的三角形的面积比等于底边的比，得出S 八"AE S Acn _ r. J 八C QS AD S AC/7aABDCD BD据ACEs/iABD,得出结果.【详解】证明(1) V ZACB=90% CH1AB,，ZCHA=90°=ZACBt，NACH+NCAH=NCBH+NCAH, ZACH = /B， : CE = CD

29、, ZCED = ZCDE, NCED+NAEC=NCDE+NADB=180。， ZAEC = ZADB ,ACEABD ；(2):ACE 与ACD 同高，.S&ace E二一而:ACD 与ABD 同高，.Saac。_ CD一 S.茄'VCD=CE,S Acn CE一 S.茄'ACEs ABD,.AE _CE而一而'.S.ace _ S'c。, s 5'LAC。 乙八8£)/.ACD的面积是aace的面积与aabd的面积的比例中项.【点睛】本题考查了相似三角形的判定与性质、解题的关键是掌握相似三角形的判定与性质.24. (1) y =

30、-x2 +-X+2： (2)L 当33 2 3 J【分析】（1）根据点A, 3的坐标利用待定系数法即可求出抛物线的表达式；（2）根据（1）中所求抛物线表达式，可以得到点8、C、。的坐标，根据坐标系中两点间距离公式求出06、BC、。的值，证明三角形为直角三角形，进而求出cotNOCB 的值；过C作x轴的平行线，过。作轴平行线交于“，根据平行线的性质推导出ZDCH = ZCBO,从而得出三角形相似，利用相似比求出点。的坐标.【详解】（1）将人（一3,-6）、5（6,0）代入尸以2+瓜+2,得，9。3/? + 2 = 636c，+ 6b + 2 = 0'1a =3解得： /b=-3，抛物线的

31、表达式为），=一；12 + ：工+2；（2）当x = 2时，y = -ix2: + -x2 + 2 = 4, 33.,。(2,4), C(0,2), 5(6,0),J DB = "(2 - 6/+ (4_0二4无，BC = (6-0( + (0-2)2 = 2晒, DC = 7(2-0)2 + (4-2)2 = 2立， BD2 + CD2 = BC2，为直角三角形，其中 = 90。,工 cot /DCB =DC _ 2>/2 _ 1丽一懑一5过。作X轴的平行线，过。作y轴平行线交于，设点D坐标为(见一 1 nr + g ? + 2 ，则H (m, 2),2125DH -Hl H

32、7 ,33 ADCB = 2ZCBO = 2ZBCH = 2ZDCH， ADCH = Z.CBO， ;/CHD=ABOC = 90。,:.CHD ABOC,v C(0,2), 6(6,0),OC = 2,OB = 6,DH CO 1 1 ) 5nr + -m t 33 _1m 3解得：? = 4, 7 = 0 (舍)，【点睛】本题考查了待定系数法求二次函数解析式、二次函数上点的坐标、坐标中两点间距离公式、 余切三角函数、平行线的性质、相似三角形的判定、相似比等，解答本题的关键是熟练运用 这些知识点并根据已知条件做好辅助线.25. (1) 20:(2) > =X64<x<4）；（3） AD = 2辨或2近【分析】（1）运用ASA证明m记求出FD的长再运用三角形面积公式即可得到答案；（2）证明尸”根据相似三角形的性质列出比例式，代入相关数值即可求出函数关系式：（3）分点G在矩形内