数学分析知识点总结

1、第一篇分析基础11 收敛序列（收敛序列的定义）定义：设Xn是实数序列，a是实数，如果对任意；0都存在自然数N,使得只要n N, 就有Xn a 呂那么Xn收敛，且以a为极限，称为序列Xn收敛收敛于a，记为limxn=a或者Xn-a（n 定理 1 1：如果序列Xn有极限，那么它的极限是唯一的。定理 2 2 （夹逼原理）：设Xn，yn和Zn都是实数序列，满足条件如果lim Xn=lim zn=a，那么yn也是收敛序列，且有lim yn=a定理 3 3：设人是实数序列，a是实数，则以下三陈述等价(1 1)序列Xn以a为极限；(2 2)Xn- a是无穷小序列；(3 3)存在无穷小序列an使得焉=a an

2、,n =1,2,HL（收敛序列性质）定理 4 4：收敛序列xn是有界的。定理 5 5：(1 1 )设lim xn= a，贝y lim Xn= a。(2 2)设lim xn= a,lim yn=b,则lim(Xn士yn) =ab。(3)设lim xn=a，lim yn=b，贝U lim(Xnyn ab。定理 7 7：如果Xn和yn都是收敛序列，且满足Xn乞yn,n No,那么lim xn三lim yn(4 4 )设xn-o， lim焉二a =0，则lim11oXna(5 5 )设xn-o， limxn= a = 0， lim yri =b，则limYnxn（收敛序列与不等式）定理 6 6：如果l

3、im xn:limyn，那么存在NoN，使得nNo时有Xn ；：ynlim ynb limxna1.2 收敛原理（单调序列定义）定义：（1）若实数序列xn满足x Xn 1,nN,则称xn是递增的或者单调上升的，记为Xn.（2）若实数序列yn满足yn-yn 1,-nN,则称yn是递减的或者单调下降的，记为yn八（3）单调上升的序列和单调下降的序列统称为单调序列。定理1:递增序列xn收敛的充分必要条件是它有上界，其上确界记为supxn。定理 1 1 推论：递减序列yn收敛的充分必要条件是它有下界，其下确界记为inf Xn扩展：因为一个序列的收敛性及其极限值都只与这序列的尾部（即从某一项之后的项）所

4、以定理 1 1 和它的推论中单调性条件可以虚弱为“从某一项之后单调”，即为Xn乞人1,n No,及yn-1,一n No,（自然对数的底e）自然对数的底e通过下面这个式子求得我们先来证明序列 人=1丄 是收敛的。v n丿有关,（1） 序列xn=h+丄是单调上升的。11112112k1(1)(1)川(1)k!nnn112n_11(1 -1)(1-2)川(1-口)n! n nn对比人和xnq的展开式，xn d前面n-1项的每一项都比xn中相应项要大，即112k -1112土(1-一)(1-三)川(1-)二(1-丄)(1上川I(1 k!n1n1n1k!nn除此之外Xn .1还比Xn在最后多一个正项。因

5、此我们得出Xn是单调上升的,：1 1丄 2 III2221 1n1-12n1=1 1吕（1-1 1) (112!n 13!+111+1-(1 -1)(12川1(1k!n 1n 1+川+E(1 -丄）（12川)(1n!n 1n 1112+(1)(1川1(1(n1)!n 1n 1Xn 1=1 Jn -nn k -1)n 1口)n11 2冷（1一冷匸)nXn：Xn 1, nN,11112小=1 T (1_ )(1_)(1_)M(1丿2! nn! n n模拟，我们可以得到e的近似值，前几位是 2.7182818284590452.718281828459045在数学中，以e为底的对数称为自然对数，e称

6、为自然对数的底，正实数X的自然对数通常记为In x,logX或者logex。（闭区间套原理）定理 2 2 （闭区间套原理）：如果实数序列fa/和血；（或闭区间序列 订an,bj）满足条件（1）lan，bj&，6丨（或者an/_an_bn_bn，-门）（2 2）lim bn-ani；=0那么（i i） 闭区间序列Ian, bn卜形成一个闭区间套。（ii）实数序列an/和tbn?收敛于相同的极限值c。lim an= lim bn= c（iiiiii）c是满足以下条件的唯一实数值。an乞c乞 0 , 一n N证明：（iiii）由条件（1 1）可得an d an -bn 丨丨1 b我们可以看到

7、（ajaj 单调上升而有上界，0 ?单调下降而有下界， 因此an n? ?和 IbJIbJ 都是收敛 序列。由条件（2 2）可得lim bn- lim an= lim bn-ani=0，因此实数序列fan?和:bn?收敛 于相同的极限值。lim an二lim bn= c（iiiiii） 因为(2)序列xn= 1nV n丿n是有上界的。31-丄2是单调上升且有上界,因此必是收敛的，此收敛值用e表示。通过计算机c =supan $ = inf bn所以显然有an乞c乞bn, nN假如还有一个实数c满足anX*bn,n N由于lim an= lim d = c那么根据夹逼准则，有c二lim c二li

8、m an二lim bn= c则证明了c是唯一的。(Bolzano-WeierstrassBolzano-Weierstrass 定理)定义：设Xn是实数序列，而m：n:压：IH n : n 1 Hi是一串严格递增的自然数，则焉1风2风3，|),耳，X%I I |也形成一个实数序列。我们把序列叫做序列 汶!的子序列(或部分序列)，要注意的是子序列的序号是ko定理 3 3：设序列收敛于a，则它的任何子序列也都收敛于同一极限a o证明：对于任意； 0,存在No N，使得只要n No，就有Xna V呂当k - No时就有nk_ k No，因而此时有定理 4 4(Bolzano-WeierstrassB

9、olzano-Weierstrass):设 IxJIxJ 是有界序列，则它具有收敛的子序列。(柯西收敛原理)柯西序列定义：如果序列：xj满足条件：对于任意；0,存在No N,使得当m,n - No时，就有则此序列为柯西序列，又称基本序列。 引理：柯西序列X是有界的。证明：对于任意-1，存在No N，使得当m, n No时，就有XmXn1于是对于n No，我们有Xn|兰XnXN + XN卅+ X”。卅若记K =max|xi, x?，山,XN。,1 + x”。昇则有x K, N定理 5 5 （收敛原理）：序列：Xn收敛的必要充分条件是：对任意 ； 0,存在No N，使得 当m,nNo时，就有xm人

10、 &换句话说：序列Xn九攵敛=序列Xn是柯西序列1.3 无穷大定义：（1 1 ）设人？是实数序列，如果对任意正实数E，存在自然数有XnE那我们就说实数序列 ；发散于：，记为lim Xn -：（2 2 ）设是实数序列，如果对任意正实数E，存在自然数N,yn：E那我们就说实数序列：yn?发散于-：,记为lim yn n：（3）设召是实数序列，如果序列jzn发散于址，即m zn=为无穷大序列，记为lim zn-：注记：（1 1）若集合ER无上界，则记supE二二（2 2）若集合FR无下界，则记sup F =_：定理 1 1:单调序列必定有（有穷的或无穷的）极限，具体而言是：（1 1 ）递增序

11、列% ?有极限，且lim x = sup* /（2）递减序列fyn?有极限，且lim %二inf：% 1定理 2 2：设：Xnf和、ynf是实数序列，满足条件N，使得当n N时就使得当n N时就有，那么我们就称: :ZnZn ? ?Xnfn，“ N则有:（1）如果lim焉-:，那么lim yn -:（2）如果limyn-,那么lim xn-：定理 3 3：如果lim xn=（或-QO，或QO），那么对于焉的任意子序列Xnk也有lim Xnkn；3 （或-：，或：）定理 4 4：设xn= 0, - n：= N，则f1:xf是无穷大序列是无穷小序列xn扩充的实数系：R R = = R R _._.

12、_ _：, , ： 定理 5 5：实数序列焉？至多只能有一个极限。扩充的实数系R中的运算:（1 1）如果x R，那么X（二：）=（二：）X =二：x-（二二）=+ ：如果y R，y a的序列xn二U (a)，相应的函数值序列f (x)都以A为极限，那么我们说当x a时，函数f (x)的极限为A， 记为lim f (x) = Ax a简单例 子如：lim sixi= si n lim cosx = cos a；lim | x |=| a |；lim JX =石 ；11xxsin xlim xsin 0，因为| xsin |_| x |；lim1，因为cosx1；lim0，x 10 xxXTsin

13、xsinxx_.xsin x 1因为| |一X |x|定理 1 1：函数极限lim f (x)是唯一的。定理 2 2 (夹逼原理)：设f(x)，g(x)和h(x)在a的某个去心邻域U (a)上有定义，并且满足不等式1IVf (x)二g(x)兰h(x), x U (a)如果lim f (x)二lim h(x)二Ax旧x jaP(x)二aoXmaiXm川am，Q(x)=bxnW川bn, a。=0,bo=0那么lim g(x) = Ax討定理 3 3：关于函数的极限，有以下的运算法则：lim( f (x)二 g(x) = lim f (x)二 lim g(x)xax axalilim( f (x)g

14、(x)x、a二lim f (x) lim g(x)x_ax alim型xf(x)lim g(x)-lim f (x)x a定理4(复合函数求极限)：设函数g在b点的某个去心邻域U(b)上有定义，lim g(y)=c。b又设函数f在a点的某个去心邻域U(a)* I If (U(a) U(b)并且lim f(x)二b，则有上有定义，f把U (a)中的点映射到U (b)之中(用记号表示就是:Hmjg(f (x)c多项式函数与有理数分式函数求极限的法则如下:设P(x)是任意多项式，a- R，则lim P(x)二P(a)x)a(2(2)设P(x)是任意多项式，Q(x)是非零多项式a，R，Q(a)不都是

15、0 0，则lim空x旧Q(x)P(a)Q(a)因为lim购x：Q(x)=xim：limP(x)m -nxx：Q(x)女口果 m -n女口果 m =n女口果m：nao务II烈XXbo电HI弋xxbo0,女口果 m - n女口果 m =n女口果 m n(3(3)，则1.5 单侧极限定义(序列方式)：设aR, A R，并设函数f(x)在(a ,a)有定义。如果对任意满足条件xn a的序列xn (a- ,a)，相应的函数值序列f (xn)都以A为极限，那么我们就说：x a F寸函数f (x)的极限为A，记为lim f (x)二Ax)a -定义(；一.方式)：设a,A R，并设函数f(x)在(a- ,a

16、)有定义。如果对任意；.0,存在人?0，使得只要a -、：x：a就有|f(x)-A|：；那么我们就说：Xr a_时函数f (x)的极限为A，记为lim f (x) = Ax a -定义(：-：方式，特殊的AyR, AiE)：设R，并设函数f (x)在(a- ,a)有定义。 如果对任意E 0,存在:.0，使得只要a -、：x：a就有f(x) E那么我们就说：xr a寸函数f (x)的极限为:,记为lim f(x)二；x ya 可用类似的方式来定义Xr a的极限。定理 1 1：设aR，并设函数f (x)在a点的去心邻域U(a,)上有定义。则极限lim f (x)存x a在的充分必要条件是两个单侧极

17、限存在并且相等：lim f (x) = lim f (x)二Ax旧x ja当这条件满足时，我们有lim f (x)二Ax旧单调函数定义：设函数f在集合S R上有定义。（1 1）如果对任意x1,x S,X,: x2，都有f（X1）_f（X2）那么我们就说函数f在集合S上是递增的或者单调上升的。（2 2）如果对任意x, x S，x,: x2，都有f（Xi）一f（X2）那么我们就说函数f在集合S上是递减的或者单调下降的。（3 3）单调上升函数与单调下降函数统称为单调函数。16 连续与间断定义 I I :设函数f(x)在X0点的邻域U(Xo,)上有定义。如果对任何满足条件Xn Xo的序列Xn U(Xo

18、，)，都有那么我们就说函数f在Xo点连续，或者说X)点事函数f的连续点。定义 IIII :设函数f (X)在Xo点的邻域U(Xo,)上有定义。如果对任意；0，存在；0，使得只要I X - XoI：:，就有| f(X)- f(Xo)|：:；那么我们就说函数f在Xo点连续，或者说Xo点事函数f的连续点。定理 1 1：设函数f在Xo点连续，则存在；o，使得函数f在U(Xo,-：)上有界。(证明过程 参考函数极限) 定理 2 2：设函数f (X)和g(X)在Xo点连续，则(1)f(x) _g(x)在Xo点连续；(2)f(X) g(X)在Xo点连续；(3) 丄凶在使得g(X。)= o的Xo处连续；g(X

19、)(4)cg(X)在Xo点连续。定理 3 3：设函数f (X)在Xo点连续，则函数I f (X)|也在Xo点连续. .证明：I|f(x)| - | f(Xo) |-| f (x) - f (Xo) |，余下易证。定理 4 4：设函数f (X)和g(x)在Xo点连续。如果f(Xo)”：g(Xo)，那么存在-.o，使得对于X U (Xo,、)有f (x)：g(x)limX_.X)f (Xn) = f (Xo)定理 5 5 (复合函数的连续性)：设函数f (x)在x0点连续，函数g(y)在y0二f (x0)点连续，那么复合函数g(f(x)在x0点连续. .定义单侧连续：设函数f (x)在(怡-,x0

20、上有定义，如果lim f (x)二 f (x0)x)x0-那么我们就说函数f (x)在xo点左侧连续。类似的可以定义右侧连续。引入记号f(Xo=lim f (x), f(Xo) =lim f(x)我们知道极限存在的充分必要条件是两个单侧极限存在并且相等(这个相等值为极限值A，不一定是该点的函数值f (x0),可以写成f(疝二f(X。)= A但是如果在x。点左连续和右连续，则说明在x。点两个单侧极限存在并且相等，且这个相等的值一定是该点的函数值f(x。)，可以写成f (xo3= f(X。)=f(X。)f (x)在Xo点左连续和右连续是f (X)在Xo点连续的充分必要条件。简单的说就是：f (x)

21、在 X。点连续二 f(X)在 X。点左连续，右连续f(x)在 X。点连续二 f (X)在 X。点两个单侧极限存在，且值为 f(x。)定理 6 6：设函数f (X)在U(x。，)上有定义，则f (X)在Xo点连续的充分必要条件是f(X。f(x。)= f (Xo)反过来说，如果f (X)在U(Xo，)上有定义，但f (X)在Xo点不连续，则称X。为间断点。有情形 I I 和情形 IIII，这两种情形下Xo点分别成为第一类间断点和第二类间断点。情形 I I (第一类间断点)：两个单侧极限都存在，但f(X。-) = f(Xo)或者f(X。-)二f (Xo) = f (Xo)情形 IIII (第二类间断

22、点)：至少一个单侧极限不存在。注意：单侧极限存在并不代表单侧连续，如果f (x)在xo点单侧极限存在,于f (X)在Xo点的函数值f (Xo)，那么就说f (X)在Xo点单侧连续。简单的例子，例如函数sinXf (x)二X，f(o = f(o )- f(o)，o o 为第一类间断点。如果改成sin xf (x)二x丨1,f(OJ = f(0 ) =f(0) =1，贝U o是连续点。例如函数1Isi n , xO f (x) x0, x = 0左右侧不连续，故 o o 是第二类间断点。狄里克莱(DirichletDirichlet)函数1,如果x是有理数D(x)二0,如果x是无理数任何R都是函数

23、D的第二类间断点。黎曼(RiemannRiemann)函数1q,如果x是既约分数p/q,q0 x I 0,如果x是无理数所有五里店都是黎曼函数的连续点；所有有利点都是第一类间断点。函数在闭区间上连续的定义：如果函数f在闭区间a,b上有定义，在每一点x. (a,b)连续，在a点右侧连续，在b点左侧连续，那么我们就说函数f在闭区间a,b上连续。引理：设xn a,b，人一；Xo，则Xoa,b。并且此极限值等1.7 闭区间上连续函数的重要性质定理 1 1:设函数f在闭区间a,b上连续。如果f(a)与f(b)异号，那么必定存在一点c (a, b)，使得f (c) = 0定理 2 2 (介值定理)：设函数

24、f在闭区间a,b上连续。如果闭区间的两端点的函数值f(aH与f (b) =2不相等，那么在这两点之间函数f能够取得介于:与之间的任意值。这就是说，如果f (a)：:：: f (b)，那么存在B (a,b)，使得f(c) =定理 3 3：设函数f在闭区间a,b上连续，则f在闭区间a,b上有界。定理 4 4(最大值与最小值定理)：设函数f在闭区间a,b上连续，M,m分别是函数f在闭区间a,b上的最大值与最小值，记M = sup f (x), m = inf f (x)x#a,bx如则存在x,xa,b，使得f(x)二M, f(x) = m致连续定义：设E是R的一个子集，函数f在E上有定义，如果对任意

25、； 0，存在0，使得只要就有I f（G -论）I：；那么j我们就说函数f在E上是一致连续的。定理 5 5 （致连续性定理）：如果函数f在闭区间I二a,b连续，那么它在I上是一致连续的。1.8 单调函数和反函数引理：集合JR是一个区间的充分必要条件为：对于任意两个实数:- J，介于：.和之间的任何实数也一定属于J。定理 1 1：如果函数f在区间I上连续，那么J = f (I) = f (x) | x I也是一个区间。定理 2 2：如果函数f在区间I上单调。则函数f在区间I上连续的充分必要条件为：f(l )也是一个区间。反函数定义：设函数f在区间I上连续，则J = f(I )也是一个区间。如果函数

26、f在区间I上严格单调，那么f是从I到J = f (I )的一一对应。这时，对任意*J = f (I)，恰好只有一个I能使得f(x) =y。我们定义一个函数g如下：对任意的J ,函数值g(y)规 定为由关系f(x)=y所决定的唯一的I。这样定义的函数g称为是函数f的反函数， 记为g d我们看到，函数f及其反函数g = f满足如下关系：g(y)二f = f (x)二y定理 3 3：设函数f在区间I上严格单调并且连续，则它的反函数g =f在区间J = f (I)上严格单调并且连续。1.10 无穷小量(无穷大量)的比较，几个重要的极限1.9 指数函数，对数函数和初等函数连续性小结定理 1 1：设a R

27、,a 1，则有(1)limax=x_ic(2)lim ax=0X淬定理 2 2:初等函数在其有定义的范围内是连续的。无穷小量定义:设函数：(x)在a点的某个去心邻域U(a)上有定义，如果lim：(x) = 0 x那么我们就说:(x)是Xra时的无穷小量。无穷大量定义:设函数A(x)在a点的某个去心邻域U(a)上有定义，如果lim A(x)二0 x那么我们就说A(x)是x a时的无穷大量。定义 3 3：设函数(x)和(x)在a点的某个去心邻域U(a)上有定义，并设在U(a)上1- ( x)：:(x)=0。我们分别用记号O,o与LI表示比值在a点邻近的几种状况:(x)屮(x)屮(x)(1 1)(x

28、) =O( (x)表示一是x a时的有界变量，即lim2 3有界。 护(X)XTX)2(x) =o(:(x)表示一凶是x a时的无穷小量，即(x) (x)是比:(x)更高阶的无穷小(或者更低阶的无穷大)3t (x)LI (x)表示lim凶=0。我们可以说X旧.(X)lim (x)X旧(x)注意：O,O与LI都是相对于一定的极限过程而言的，使用时一定要附加上记号xr a例如:特别的：记号sin x =o(x) (xr )sin xLI x(x 0)- (x) =O(1)表示(x)在a点的某个去心邻域上有界；而记号1.10 无穷小量(无穷大量)的比较，几个重要的极限表示定理 1 1：设函数(x)和

29、匸(x)在a点的某个去心邻域U (a)上有定义，(x) = 0。则有-(X)LI (x)：=(x) = (x) o(x)定理 3 3：对于极限过程x 0，我们有(1)sinx=x o(x), tanx = x o(x)122(2)cosx =1 - x o(x )2(3)ex= 1 x o(x)(4)ln(1 x) = x o(x)(5)(1 x/=VJx o(x)上面的内容很有用，因为我们在求乘积或商的极限的时候，可以将任何一个因式用它的等价(X) =0(1)sin xxxln(1 x)1In b(1 x)a-1x常见的极限:(2(2)下面几个等价xrx22因式来替换。定理 4 4：如果x_

30、.a时（X）口（x），那么就有（1 1lim(x) f (x)= =lim(x) f (x)xax)a（2 2）lim (x)f(x)=li m(x)f(x)x_ag(x)x_ag(x)（2 2）limf(x),=limf(x)x_a (x)g(x)x_a(x)g(x)证明(1)lim寧(x)f (x) =lim亠丄 梓(x)f(x) =lim砕(x)f(x) a Cp(x)一些简单的例子：.ln4(1 x)ln( 1 x)2x2limlimlim一= 2x01cosxx)o1cosxx)o1 ,入tan(tan x) limx0 x(1)sin Ex limlimxsin：xx0一:.ox)

31、=limxx)0l*0(：x)xot(2)(3)lim丄丄1x=1 - cosx122(1 x2)-11 cosx12 2(V-x2o(x2)11221(1x2o(x2)212 2x o(x )=lim2- = 1x)01x -o(x )第一篇微积分的基本概念及应用2.1 导数导数的定义： 设函数f (X)在x0点邻近有定义，如果存在有穷极限limJXf(x) - f (Xo)x Xo那么我们就说函数f(x)在x0点可导，并且把上述极限值称之为函数f(x)在x0点的导数,记为f (x0)，这是拉格朗日(LagrangeLagrange)记号。我们还习惯用LX= x - x0表示自变量x的增量，

32、“可正可负，用符号y - f (x0 f(Xo二x) - f(疝表示函数y二f (x)的相应增量，则导数的定义可以写成f(x：x) - f(X。)f(X0)yf (x0) = lim-lim-lin.X-D:x.J0XJ0.lx用莱布尼兹(LeibnitzLeibnitz )记号表示为df (xo)后一记号提示我们导数是差商(或dy)dxdx兰凶(或 卫)的极限，人们把导数也叫微商。XX通常人们习惯用增量方式来写导数，这样比较方便，如下面的f (x h) f(x)f(x：x) - f (x)lim.X )0f(x)也常见函数的导数:(1)常值函数f (x)二C，f (x) =0。我们有f (x

33、)= ”叫f (x h) - f (x)(2)设m N，函数f (x) = xm，f (x) = mxm4。m m我们有(x h)-xhm k m -k i k mCmxh -xk =0.1 m 42 m 1km-k-kJ、= (CmXCmX hCmX h )f (x)二limQf(x h)f(x)7m(x h)mxm=cmxmmxm_(2)设m N，函数f (x)二x(x = 0)，f (x) - -mx Jf(x h) f(x) 1h一h(x+h)m1 (x h)x |(x h)mJ(x h)因而有f(x)=limf(x h)f(x)0丄_1一xmh x h一+4x+-(x h)f(x)”

34、mf(x h)-f(x)=(x +h)x (x1 1(x h)mx1+ -Tm Ax1111mimimix x xxmm 1x(4(4)幕函数f(x)=x*x 0R),f(x)-x。(5(5)函数f(x) =sinx,f(x)=cosx。/ hh2cos . x +- Is in f(x h) f(x) _sin(x h) sinx _.22-h.hsincos 1 x -I 2丿勺f(x)Jmf(xh)f(x)=cosx(6)函数f (x)二cosx,f (x)二-sin xf(x h) - f (x) cos(x h) -cosx-2sin xhsinhI2丿2.sin I xh.sin卫

35、-2h2f (x) = limQf(x h)-f(x)sinxh(7(7)函数f (x) = ex,f (x)二exf (x h) - f (x) ex hx-eeh，已知i|mh1,exlimhQ hhe -1xe(8(8)函数f(x)二ax,f(x)=ax| n af(xmfgyxZlim八1+a,hhhh2 h(9)函数f (x) =ln x,f (x):xhf(x h)-f(x) ln(x h)-lnxln(1x)Xln(1 h)J f(xr帆f(x h)-f(x) 1定理 1 1:设函数f和g在x点可导，c R, ,则f g和cf在x点可导，并且(f(x) g(x) f(x)g(x)

36、(cf(x) =cf(x)（单侧导数）单侧导数定义：设函数f在（X - , x有定义，如果存在左侧极限那么我们就说函数f在x左侧可导，并且称为左导数，记为同理可以得到右导数为定理 2 2：设函数f在x点邻近有定义，则f在x点可导的充分必要条件是它在这点的两个单 侧导数都存在并且相等,f -(X)二f (x)f (X)二hm0f (x h) - f (x)ha alnlnX Xa a- -11 - - h ha aX Xa a- -(10(10)函数f (x)-logax,f (x)=xln af(x h) - f (x)h_ loga(x h)-logaX_loga(1X)h1loga(1X)

37、1ln(1)1_x_Xxln aln(1 h)已知limh)0h=1, f7f(x+h)-f(x)xln aln (1)_ x_已知limh)0hlimh -flf (x h) - f(x)hfxhjm_-f(x h) - f (x)hf (x)二limhTf (x h) f (x)当这个条件满足时就有f (X)二f l(x)二f (x)在一个点处可导的条件就是在则个点处从左边趋近和从右边趋近，斜率都是一样的。简单的例子：(1 1 )函数f (X) =|x|在X =0处不可导，因为f l(x) - _1，而f .(x)=：1，所以在该点导数不存在。其实也可以这样理解，从左边趋近0 0 的时候斜

38、率是-1-1，从右边趋近 0 0 的时候斜率是 1 1,可导的(可微性，微分)定义：设函数f (x)在x点邻近有定义，如果f (x h) - f (x)二Ah：(h)其中A与h无关，那么我们就说函数f (x)在x点可微。定理 3 3：函数f (x)在x点可导的充分必要条件是它在这点可微。注记：由于这个定理的缘故，人人们把“可导”和“可微”这两个术语当做同义词来使用。 求导数的方法又称之为“微分法”。定理 4 4：设函数f (x)在xo点可微(可导)，那么它在这点连续。当我们用式子定义一个量的时候，采用记号“：= =”是很方便的，例如f (x):=x22表示f (x)用式子x22来定义。记号“：

39、= =”读作“定义为”。定义记号：设函数f (x)在xo点可微(可导)，我们引入记号dx:x(dx定义为x)dy:= f (x0)dx二f(x) x并把dy叫做函数y二f (x)在x0点的微分。微分的意义：(1 1)从集合角度来看微分dy二f (x)dx正好是切线函数的增量。(2(2)从代数的角度来看，微分dy二f (x)dx是增量y= f(xo=x) - f (x0)的线性主部,dy与厶y仅仅相差一个高阶无穷小量：C：x）:詡二dy亠-（.：x）因而当：x充分小的时候，可以用dy作为cy的近似值，实际应用中经常这样做。（3 3）之前我们引入矽作为导数的记号。有了微分的概念，我们可以把记号 鱼

40、解释为dy与dxdxdx之商：翌二f (xo)dx2.2 求导法则，高阶导数定理 1 1:设函数u和v在x0点可导，则以下各式在x = x0处成立(1)(u(x) v(x)二u(x) v(x)(2)(u(x)v(x) =u(x)v(x) u(x)v(x)证明：(1 1)记f (x)二u(x) v(x)，则有f (x h) _ f (x)二u(x h) -u(x) v(x h) - v(x)止止他=Hmu(x h)-u(x)limv(x h)v(x)MPhh_phThu(x) v(x) (2)记f(x) =u(x)v(x)，则有f (x h) - f (x)二u(x h)v(x h)-u(x)v

41、(x)= u(x h)v(x h) -u(x)v(x h) u(x)v(x h) -u(x)v(x)= (u(x h) -u(x)v(x h) u(x)(v(x h) -v(x)f (x h)-f(x) u(x h)-u(x)v(x h) -v(x)f (x) = limlimv(x h) lim u(x)-MPhh-ph，hT ，h-u(x)v(x)u(x)v(x)(3(3 )记f(x)=需，则有u(x h) u(x)f (x h) -f (x)=v(x+h) v(x)_ (u(x h)v(x) -u(x)v(x) -(u(x)v(x h) -u(x)v(x)v(x h)v(x)(u(x h

42、) -u(x)v(x) u(x)(v(x h) -v(x) v(x h)v(x)v(x h)v(x)u(x)v(x) _u(x)v(x) (v(x)2硼 y。时,limy。limy yyy（）y y。叽0）-（X。）:(xo)V(yo)dxdy1dx简单的例子:(1)y = (x) =ex和x=(y) = ln y互为反函数1（x）二ex,（y），也可以由反函数求导法则得到y:C (y)In ye11(loga|x|)：lna,a 0, a=1,x = 0(y)=(x) = (- (y)二(arccosy)常见函数的导数:(C) =0,C是常数(xm) = mxm 1,m是自然数（x耳）二-m

43、x,m是自然数(sin x)二cosx(cosx) - -sin x1(tan x),cos x1JIk二2(cot x)=sin2x(arcsin x)1丁(arccos x)1(arctan x)1 -x2_sin(arccosy)1一y21 x21(arccot x)1 x2(In(x.x2a2) x2a2(ln(xx2-a2)11，|x| |a|2 2-x -a(参数式函数的求导) 例如函数y a2 x2，a乞x乞a可以用参数表示为x = a cost,y = asi nt,0二t虫愿一般来说，设有参数表达式x(t)，y=(t)，t J其中函数在区间J上严格单调并且连续， 函数在区间J

44、上连续(因为函数为自变量, 必须单调连续，函数为结果)，我们可以把t表示成x的连续函数t =(X)，X I二(J)于是y表示成x的连续函数1y(：(x)，x l如果函数和-：都在区间J上的t0点处可导，并且xo =(鮎)处可导，并且有(：(x)x Y(t)x J(t) C)丄二今xt屮(t)因此对于参数表示的函数x- (t)，yj (t)求导法则为dy芈，=odxdt简单例子(1 1)曲线方程为在xo二(to)，yo(to)处的切线斜率为(to)：(to)切线方程为:(to) =0， 那么dy(t) dx(t)x2y2=1（2 2 ）极坐标方程给出的曲线x=r(v)cosr, y=r(v)si

45、n vtan”皿tan二1-tan訂r(e)Y（t） （to）X（t。）极坐标参数方程为r =r(Rr = r(v)dy(r(v)sin)(r(v) cos v)tanr O rP)r(R_ r ( Jsin v r(v) cos J _ r(cosv -r)sin1-tanr设切线方向与x轴夹角为:-，那么于是有r)tan -tantan(-1 -tan：tan v-二)=tan -因此极坐标上某一点的切线与极径的家教的正切应为tan :r（隐函数的求导）当变量y对变量x的函数关系通过一个方程来给出的时候,例如rC)对于每一个-1,1，有唯一的y0, ：)与之对应，于是方程x2 y2=1确定

46、了从集合D二-1,1到集合E=0, ：)的一个函数，对一般情形，设D R,E R，按照方程F(x, y) =0对每一个xD恰好有唯一的 *E与之对应，那么我们就说：由条件F(x, y)= 0 ,x D，y E确定了一个 隐函数，当然，有时候隐函数可以显示的表示出来，也有时候无法显示的表示。要注意的是：要由方程确定一个隐函数，仅仅指出x的变化范围时不够的， 还需要指出y的变化范围，以确定是一一对应的才能说是一个隐函数。隐函数可以简化求导过程，而且表达的也更简洁一些。下面有一些例子(1)求以下条件确定的隐函数y = y(x)的倒数=1, 一1：x：1，y 0对恒等式x2y2两边求导得到2x 2yy

47、 =0那么求得(2)求函数y = u(x)v，u(x) 0的导数。对函数两边取对数得到In y =v(x)ln u(x)按隐函数求导得工=v(x)ln u(x) v(x)U-(x)yu(x)得到y= y v(x)lnu(x)+v(x) i 0)那么可以断定：对于充分小的h=0，:(h)与Ah同号。定理 1 1 (费马 FermatFermat 定理)(极值的必要条件)：设函数f在区间I上有定义，在这区间内的Xo点取得极值。如果f在Xo点可导，那么必有f (Xo) = 0证明：由条件有f(x)mf(X3),x0为极值点。则有f (Xo.：x)乞f (Xo)当Xo时有当.x：o时有f (Xo：x)

48、 - f (Xo)：oZ-f (Xo：x) - f (Xo)oZ-根据函数f在X3可导，则有f (Xo)f (Xo)f+(x)=jxm+f(xo+Wf(Xo)兰0f_(Xo) =ymJ(Xox)-f(Xo) o所以只能是f(x)=O。定义：我们把使得f (Xo) =0的点xo叫做函数f的临界点。注意：函数f在极值点出可以没有导数。例如f(x)=|x|。定理 2 2：设函数f在a,b连续，在(a,b)可导，如果方程f(x)=o在(a,b)中只有有限个根xX2川IXk，那么函数f在区间a,b上的最大值M和最小值m分别为M =maxf(a), f(xJ,lH, f (xj f (b)和m =minf

49、 (a), f (xJ,IH, f (xj f (b)(有限增量公式)定理 3 3( RolleRolle 罗尔定理)：设函数f在闭区间a,b上连续，在开区间(a,b)上可导，并且满足f (a f (b)则存在c (a,b)，使得f (c) = 0证明：当M，贝U f是常值函数，对于c(a,b),f(c)=O成立。当M=m，那么至少有其中一个极值在点c (a,b)取得，根据费马定理，在这点就有f(c) = 0。定理 4 4 (LagrangeLagrange 拉格朗日定理、中值定理、均值定理)：设函数f在闭区间a,b上连续,在开区间(a, b)上可导，则至少存在一点c (a,b)，使得或写作f

50、(b)-f(a) = f(c)(b-a)证明：构造辅助函数L(x) = f (x) f (a) (x a)b -af(c)二f(b)- f(a)b - a如果f (x)乞0,-xT0，那么f在区间I上递减;容易知道根据罗尔定理，存在c.二(a,b)，使得L(c)二f(c)一血=0b af(crf(b)f(a)b -ax x(x . 0)是区间上另一点，在拉格朗日公式在区间x, x =x I上成为f(X：_x)f (x) = f ( ) .：x-x - v .:x，0：1，则有f(X，；x) - f (x) = f (X v .：x)：X，0 :：v : 1上式成为有限增量公式，这个公式中：x不

51、必限定为“无穷小量”，它可以使满足(xix)I的任意有限量伙。f三f (x) = 0,一x I推论：函数f在区间I上连续，在I0可导，如果存在f(xHg(x)，-X j那么存在常数C，使得f (x) = g(x) C，-x I定理 6 6：设函数f在区间I上连续，在I0可导，则 如果f(x)一0,-xT0，那么f在区间I上递增;L(a)二L(b)设x是区间a,b上一点,其中x, . x，设定理 5 5：设函数f在区间I上连续，在I0可导，则用文字表达为：如果函数f在某个区间上导数恒为 0 0,那么f在区间I是一个常数。如果f (x)乞0,-xT0，那么f在区间I上递减;n阶泰勒展式为f(x) = f(xo) f(Xo)(XXo)宀叹旳韦.(SX-X0) (X_xo)n 2! n!取Xo =0，有f (x) =f (0) f(0)xf (0)X川f：Xn2!n!常见的展式：XX2Xnnf (x) = e =1 x(X)2!n!234nf (x) = In(1 x)二x -XX X1)n J：(xn)234f(x) =(1 x)；=1：x x22!2.4 泰勒展式35fgTgx符舒川（一1严2m 1X(2m-1)!2m:(X )242mf (x)二cosx = 12m、:(X ).川.-1川1(- n 1)