数理经济学茹少峰_第章课后题及答案

1、1.1.求下列函数的极值。2 2(1)y = x xy y -3ax-3by(2(2)2x1 -2x3(3)y = (x -1 ) +16解：(1)根据二元函数极值的必要条件，可得fx= 2x y - 3a = 0，fy= x 2 y - 3b = 0解得，(x, y) = (2a - b,2b - a)为可能的极值点根据充分条件，函数f (x, y)的二阶导师组成的HessianHessian 矩阵为2H =3A0，因此(2ab,2ba)为f (x, y)的严格极小值点，极值为3a -5ab3b2(2)根据一元函数极值的必要条件，可得因此该函数在其定义域内为单调递增函数，极值不存在。(3)根

2、据一元函数极值的必要条件，可得求得极值点为X =1。由充分条件知y = 6x 6。当x=1时y，所以该函数极值不存在。(4(4)根据一元函数极值的必要条件，可得由充分条件知y2xln x -3x- 1yy：:：0，因此该函数存在极大值为e2.2.讨论函数f (x,y )=xy(x2+y2T 的极值。解：根据二元函数极值的必要条件，可得1 1 1 1 1 1 1(x,八(0,0), (x,y)花，卩(x，八(2，Q(x，八匚，R(x，小(21 122为可能的极值点根据充分条件，函数f (x, y)的二阶导师组成的HessianHessian 矩阵为(x, y) =(0,0)时，H =1 v0，因

3、此函数在该点无极值;(x, y) =(2)时,2 231H|=12=2=0，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小值2 212 =20，海赛矩阵为正定矩阵，因此函数在该点有严格极小2定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为定矩阵，因此函数在该点有严格极大值为-83.3.试说明对于任意的：0，生产函数f(x) = AK一是凹函数。证明：fK二A：K：一1L： ,f,fKLfKK=A：C -1)K f, ,fLL= A：(：-1)K : L所以函数的 HessianHessian 矩阵为因为0 c1,0v3 0；且(一1) A 0,(一1A? 0,Hessian,Hessian 是负定 的，因此

4、生产函数是严格凹函数。4.4. 考虑生产函数y二LaK卩。如果0：1,0：-：1,一八1，试说明该生产函数对于L和K的任意取值都是严格凹函数。如果二1,该函数是什么形状？证明：(1 1)同上，可求得函数的HessianHessian 矩阵为HessianHessian 是负定的，该函数对于K K、L L 任意取值都是严格凹函数。5.5. 某完全竞争厂商由单一可变投入L(劳动)，每期工资率为Wg。若该厂商每期的固定成本为F，产品的价格为P0，要求：(1)写岀厂商的生产函数、收益函数、成本函数和利润函数；1 1(x，yr(-22)时,值为一1；8(x，y)珂1，-?)时,2 2123=20,(_1

5、)|A|0,(1 1 - - 2 2- - -y y23-223-2=20,(-1)A 0,(-1) A2 0,则海赛矩阵为负(2)何为利润最大化的一阶条件？解释此条件的经济意义；(3)什么样的经济环境才能保证利润最大化而不是最小？解：(1 1)生产函数为：Q = f (L)收益函数为：R = PQ = P f(L)成本函数为：C = L W0F利润函数为：二二R -C = Pf (L) -(LW。F)(2)利润最大化的一阶条件为：二 = =pdlHpdlH_W0=0，即 2121 = =W。该条件的经济cLLL P含义为：在利润最大化时，单个要素的边际产量等于要素单位成本与产品价格的比值。(

6、3) 要满足利润最大化而不是最小，则要满足利润最大化的二阶充分条件：因为 p.op.o，所以df(L)2，也就是说，在边际产岀递减规律的经济条件下才能实现利润最20d2L大化. .6.6.某厂商有如下的总成本函数 C C 与总需求函数Q:CJQXQ2+111Q +50，Q =100 -P3请回答下列问题：(1)确定总收益函数 R R 与总利润函数 二。(2)确定利润最大化的产岀水平及最大利润。解：(1 1)R二PQ =Q(100 -Q)(2)(2)利润最大化的一阶必要条件为：解得，Q =1,Q ” =11。利润最大化的二阶充分条件为：一厂=-2Q 12，d QcJi当Q =1时，一0,函数取得

7、极小值为-55.33-55.33 ;cQCH当Q=11时，0，函数取得极大值为 111.33111.33 ;C2Q所以，在产岀水平为 1111 时，利润最大为 111.33111.33。7.7.设有二次利润函数-Q = hQ2jQ k,试确定系数所满足的约束，使下列命题成立:(1)(1)证明若什么也不生产，由于固定成本的关系，利润将为负；(2)(2)证明利润函数为严格凹函数；(3)(3)求在正的产岀水平 Q Q 下的最大化利润解：(1 1 )由题可知，当Q = 0时，二=k。由于固定成本存在的关系，利润为负，因此系数必须满足的条件为k：0。CH(2)(2)因为利润函数为严格凹函数，其一阶必要条

8、件为2hQ j 0，cQ求得Q-；二阶充分条件为2h函数为严格凹函数满足的充要条件：因此，h . 0。(3)(3) 在正的产岀水平下， Q Q - -2h8.8.假设有一个垄断市场环境下的两产品厂商，产品的价格分别为R和P2，产品的需求函数Q及成本函数C为：Qj=40-2R-P2，Q2=35-R-P2，CQ；10，求利润最大化的价格水平。2 2解：利润函数兀=PQ1+P2Q2C =7R -3P28PP2+270R+185P22835利润最大化的一阶必要条件为：14R -8P2270二0, ,8R -6P2185 = 0解得，卩1=7,卩2=21.5,2又二仆=一14：0,二22二-60,二“2

9、2薦12200所以，在利润最大化是价格水平为P-i- 7, P2- 21.5,9.9.假设有一个完全竞争条件下的两产品厂商，产品的价格分别为R和P2，单位时间内i产品的产岀水平为Qi，厂商成本函数为C = 2Q12Q1Q22Q|，求：(1)利润最大化的产岀水平；f (x) :：0，即pQ0,(2)若总成本函数为C = 2Q：- 2Q；，两产品的生产是否存在技术相关性，Q1与Q2的新 最优水平是多少？(3)对参变量R和P2进行比较静态分析。2 2解：(1 1)二=Q2-(2Q1Q1Q22Q2)2 2(2(2)恵=RQiP2Q2-(2Q12Q2)P-i- 4Q1=0,R - 4Q2=0,:Qi:Q

10、11可得，Q1P, ,Q2P2442$兀c而0，即在最优产量下，Q1,Q2不存在技术相关性。rQQ资。要求：(1)对利润达到最大化的投入要素K与L进行比较静态分析，并作简要的分析说明；(2)假定生产函数是规模报酬递减的Coob-DouglasCoob-Douglas 函数， 做同样的比较静态分析。:Q4：Q1134:P13 ：卩23 .:P13,许23即，产品1 1 价格上升1 1 单位，产量上升4价格下降13.33产品1 1 价格上升1 1 单位，产量下降1价格下降4.3310.10. 一个公司有严格凹的生产函数Q K,L。给定P=产品价格,可得Q1cQ.P_4Q=P2- 4Q2_ Q= 0

11、4R - P23Q2(3(3)由(1 1 )问中的最优产量Q1Q2-13P -4P23r二资本的利用率，：工工解：(1 1)二=PQ(K, L) -rK -wL利润最大化时，最优解为K = K (P, r, w)，L = L (P, r, w)$ -PQ (K ,L rK ” -wL为最优值函数。Q :K:KJQ:L1X-r变化对最大利润的影响为： -=PrPwK_r；K；r；r :L :r；r利润最大化时有QQ小Pr =0 , Pw - 0:K即当资本利用率或工资提高时，利润率随之下降，当产品价格上涨时，最大利润率随之上升。(2)(2)-PK - rK _wL利润最大化时，最优解为K=K(P

12、,r,w)，L=L(P,r,w) d PQ (K , L ) - rK ” -wL为最优值函数。22 *11.11.考虑参数为a的极大化问题函数f x；a - -x亠3ax亠4a a 0:(1)利用包络定理求函数f x;a的最大值关于参数a的导数；(2)分析参数a对目标函数的最大值的影响。解：(1 1)假设最优解为x =x(a)，(2 2) 一阶条件为f(x (a),a)=o，即一2x (a)30 x所以，参数 a a 与木匾函数的最大值同向变动。12.12.考虑参数最优化问题max f x, a = -a3x423x3-eax2T3(a为参数)：(1)求目标函数的极大值关于参数a的导数；(2

13、)分析参数a对目标函数的极大值的影响(假设这个问题的最优解x”a - 0)。解：(1 1)假设最优解x = x”(a)利用包络定理(2 2)x(a) =0，由(1 1)中结果，(x; a): 0，所以参数a对目标函数极值的影响是da同增同减的。13.13.给定依赖于投入参数y的短期总成本函数c q，ay bq -dq，这里2ya，b，d 0，求长期总成本函数cLq。解：长期总成本函数C(q)二min Cs(q, y)二ay bq四a,b,d 0 2y要使上式为极小值，必须满足一阶必要条件：也乂勺-电=0，即y =dq-y4y 4aCH-K.:rjrCH:P(K ):(L )14.14.航空公司

14、在甲乙两地之间有固定的航班。他比预定航班的商务乘客和预定周六晚上过夜航 班的乘客的需求看作两个单独的市场。 假设商务乘客的需求函数为数为Q=1 - p，对于所有乘客的成本函数为C Q=IO：-Q2。该航空公司在两个市场如何定价才能获得最大利润？解：总利润函数二-4P278P -376由一阶必要条件可得，39P =4二阶充分条件可得，-.=_8 , o，即该点为极大值。15.15.给定一个价格接受的厂商的生产函数Q K,L。假设QKL 0,即资本的边际产量随着劳动力的增加而增加。给定产品价格P,资本的租金率r和工资3,则它的利润函数为nK,L二PQK,L-nK-sL。假设厂商利润极大化问题的二阶充分条件成立，试分别讨论外 生变量r、s和P