九年级春季班第4讲：创新题型--教师版

1、创新题型创®?题型- H阅读理解丿q规律探究*模块一：定义应用【例1】定义x为不超过x的最大整数，如3.6 = 3 , 3.6 =4 .对于任意实数x,下列式子错误的是（）A.C.x = x （x为整数）B.D.0 x x 1n x n x （n 为整数）x yxy【难度】【答案】C.【解析】由反例3.82.76.56 , 3.82.73 25可知C错误.【总结】本题考查取整函数 x的定义及应用.y'），给出如下定义：若【例2】 在平面直角坐标系 xOy中，对于点P （x, y）和Q （x,y x 0y'，则称点Q为点P的“可控变点”.如果点（1 , 2）为点M的可y

2、 x 0控变点，则点M的坐标为.【难度】【答案】（-1 , 2）【解析】由题意得，当 x 0时，y' y，且x不变，所以当x 1，时y' 2, 即点M坐标为（1 , 2）.【总结】把握好“可控变点”的定义，找出y'与y两者之间存在的关系.【例3】定义一种新运算:x 空，如 2 12 2 12，贝U 4 2x2【难度】【答案】0.4 2 2212【解析】先计算 4 2 2，再计算210 .42【总结】根据运算法则进行运算，注意运算顺序.【例4】已知mx 2 ,若规定yn m n ，+,，则y的最小值为（）n m n【答案】2x【解析】x 2代入，得到y2x1，当x i 时

3、，y 1 ；2y 1 .所以y的最小值是1,故选B.【总结】考查分段函数求最值的问题.75 / 17【例5】（2015学年 浦东新区二模 第17题）定义运算“*” ：规定x y ax by （其中a、b 为常数），若 113，111，1 2 【难度】【答案】4.a b 3a 2【解析】把1 1 3 , 11 1代入运算法则，得，解得：，a b 1b 1所以 1 2 2 X 1 + 1 X 2=4.【总结】根据新运算，求出a、b的值是解答本题的关键.【例6】（2015学年 宝山区、嘉定区二模 第17题）对于实数m、n,定义一种运算“ * 为：m n mn n 如果关于x的方程x a x-有两个相

4、等的实数根，那么满足4条件的实数a的值是.【难度】【答案】0.【解析】根据运算法则，a x ax x, x ax x x ax x ax x,整理得a 1 x2 a 1 x 10，此方程有两个相等的实数根，4a 10贝U2，解得：a 0, a21 （舍），所以a= 0.V a 1 a 10【总结】由运算法则整理得一元二次方程的一般形式，再结合一元二次方程根的判别式进行求解，注意二次项系数不能为零.【例7】（2014学年 宝山区、嘉定区二模第17题）我们把两个三角形的外心之间的距离叫做外心距.如图，在 Rt ABC和RtACD 中,ACB ACD 90，点 D 在边 BC的延长线上，如果 BC

5、= DC = 3，那么ABC和ACD的外心距是【难度】【答案】3.【解析】直角三角形的外心为斜边的中点，所以ABC和ACD的外心分别为 AB和AD的中点，这两个三角形的外心距1即ABD的中位线，长度是 BD 3 .【总结】本题考查的知识点有直角三角形的外心、三角形的中位线.【例8】（2014学年 虹口区二模 第17题）定义a, b, c为函数y ax2 bx c的“特征 数”.女口：函数y x2 3x 2的“特征数”是1，3，2，函数y x 4的“特征数”是0，1，4 如果将“特征数”是2 , 0, 4的函数图像向下平移 3个单位，得到一个新函数图像，那么这个新函数的解析式是 【难度】【答案】

6、y 2x21 【解析】由题意得“特征数”是2，0，4的函数解析式为y 2x2 4，向下平移3个单位可2得新函数的解析式为：y 2x 1.【总结】特征数a，b，c即为二次函数的三个系数，已知特征数则可求得二次函数的解析r占>八、2r ，式，再根据抛物线的平移法则“上加下减、左加右减”进行解题.【例9】（2015学年 闸北区二模 第17题）在平面直角坐标系 xOy中，e C的半径为P是与圆心C不重合的点，给出如下定义：若点P'为射线CP上一点，满足CPgCP'则称点P'为点P关于eC的反演点如图为点P及其关于eC的反演点P'的示意图请1e O的反演点M 

7、9;的坐标写出点M （ 1 ,0）关于以原点O为圆心，以1为半径的2【答案】（2，0）.【解析】由反演点的定义可得 OM gOM ' r2即 1gOM ' 12，解得：OM '2，又点M '在x轴上,所以点M '的坐标为（2，0）.【总结】掌握“反演点”的定义中，两点之间存在的关系.【例10】（2014学年普陀区二模第17题）如图1，对于平面上不大于 90°的 MON ,xOy中，点xOy ) = 5 ,P在第一象限内，且点 P的 点P的坐标是.【答案】（3, 2）.【解析】过点P分别作PA丄x轴，PB丄y轴,点P在第一象限内且横坐标比纵坐标大

8、1,设 PA=a，贝U PB = a+1, d (P, xOy ) = 5,-1O-1*-x我们给出如下定义：如果点 P在 MON的内部，作PE OM， PF ON，垂足分别 为点E、F ,那么称PE + PF的值为点P相对于 MON的“点角距离”，记为 d （ P, MON ）.如图2,在平面直角坐标系 横坐标比纵坐标大1,对于 xOy，满足d （ P,可得：PA+PB=5，即 a + a+1=5，解得：a =2,所以点P的坐标为（3,2）.【总结】本次考查“点角距离”的定义，利用定义求解相关点的坐标.模块二：阅读理解（$） 例题解析【例11】一组数1, 1, 2, x, 5, y,-,满足

9、“从第三个数起，每个数都等于它前面的两个数之和”，那么这组数中y表示的数为 .【难度】【答案】8.【解析】由题得，x =1+2=3 , y =3+5=8 .【总结】本题难度不大，运算也比较简单.【例12】四个数a、 b、c、d排列成，我们称之为二阶行列式.规定它的运算法则为:a bx 3 x 3ad bc .若c dx 3 x 312，则【答案】1.【解析】由运算法则得2x 3，整理得：12x 12，解得：x=1 .【总结】由运算法则整理，再解关于x的方程即可.【例13】 对于两个不相等的实数 a、b，我们规定符号 max a , b表示a、b中的较大值,如：max 2 , 44，按照这个规定

10、，方程 max x, x的解为（）xA.1 .2B.22C.12或 1.2D.12或1【难度】【答案】D.【解析】当 x >0 时，max x , xx,解方程x2x1 ，得：x 12，所以 x 1、2 ;x2x 1当x <0时，max x, xx，解方程 x，得：& x?1，所以x 1 ;x综上，x 12或1，故选D.【总结】本题注意分类讨论，根据定义进行取值，再解关于x的方程.【例14】（2014学年奉贤区二模 第17题）我们把三角形中最大内角与最小内角的度数差称为该三角形的“内角正度值” 如果等腰三角形的腰长为 2, “内角正度值”为45°那么该三角形的面积

11、等于 .【难度】【答案】1或2.【解析】设最小角为 x，则最大角为x 45°,当顶角为x 45°，则x x x 45° 180°，解得：x 45°，此三角形为等腰直角三角形,此三角形的面积=1 2 22 ;2当顶角为X时，贝y x x 45° x 45° 180o，解得：x如图，AB AC 2, A 30°，作 CD 丄 AB ,1在 RtVADC , A 30° , CD 丄 AC 1 ,2此三角形的面积=12 11 .2综上所述，该三角形的面积等于1或2 .30° .【总结】本题注意分类讨论

12、根据“内角正度值”的定义求出三角形各内角的度数，再进行面积的求解.【例15】（2013学年松江区二模 第17题）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“有趣三角形”，这条中线称为“有趣中线”.已知Rt ABC ,C 90，较短的一条直角边边长为1,如果Rt ABC是“有趣三角形”，那么这个三角形“有趣中线”长等于 【难度】【答案】心.3【解析】“有趣中线”有三种情况:若“有趣中线”为斜边 AB上的中线，直角三角形的斜边中点到三顶点距离相等，不合题意；若“有趣中线”为 BC边上的中线，根据斜边大于直角边，矛盾，不成立;若“有趣中线”为另一直角边 AC上的中线,如图所示,B

13、C=1，设 BD 2x，贝U CD x .在RtVBCD中，勾股定理得 1+ x222x解得：x=，所以 BD=2x = Z .33【总结】本题考查“有趣中线”的定义，注意分类讨论.【例16】（2015学年崇明县二模 第17题）如果一个平行四边形一个内角的平分线分它的一边为1 : 2的两部分，那么称这样的平行四边形为 “协调平行四边形”，称该边为“协 调边” 当“协调边”为 3时，它的周长为 .【难度】【答案】8或10.【解析】由题意可知，存在两种情况：（1） 一组邻边长分别为 3和1，周长=8 ;（2） 一组邻边长分别为 3和2,周长=10.【总结】本题考查“协调平行四边形”的定义及平行四边

14、形的性质.【例17】（2015学年 虹口区二模 第17题）设正n边形的半径为 R,边心距为r，如果我们将R的值称为正n边形的“接近度”，那么正六边形的“接近度”是 （结果保r留根号）.【难度】【答案】.3【解析】设正六边形的边长为a，则半径为R= a，边心距为r= -a，所以- = - .2r 3【总结】本题考查“接近度”的定义及正六边形的性质.【例18】（2013学年静安区二模 第16题）将关于x的一元二次方程x2 px q 0变形2 2为x px q，就可将x表示为关于x的一次多项式，从而达到“降次”的目的，我 们称这样的方法为“降次法”.已知x2 x 1 0，可用“降次法”求得 x4 3

15、x 1的值是.【难度】【答案】1.【解析】由 x2 x 1 0 ,得 x2 x 1，代入 x4 3x 1 = x 1 3x 1 x2 x 1 .【总结】本题运用“降次”及“整体代入”的思想进行解题.81 / 17【例19】（2014学年 金山区二模 第17题）在平面直角坐标系中，我们把半径相等且外切、连心线与直线y = x平行的两个圆，称之为“孪生圆”；已知圆A的圆心为（2 ,3） 半径为 农，那么圆A的所有“孪生圆”的圆心坐标为 【难度】【答案】（0, 5）或（-4, 1）.【解析】由题意得，连心线所在直线为y x 5，因为两圆外切，设另一圆心为圆B，所以圆心距 AB 2-2，设 B x,x

16、 5，所以 AB（x 2）2（X 2）22 2 ,解得：洛0 , X2 4，所以圆心B的坐标为（0,5）或（-4,1）.【总结】本题考查了 “孪生圆”的定义、一次函数的图像以及圆与圆的位置关系.【例20】（2013学年 黄浦区二模 第17题）当两个圆有两个公共点，且其中一个圆的圆心在另一圆的圆内时，我们称此两圆的位置关系为“内相交”.如果e。!、e O2半径分别3和1,且两圆“内相交”，那么两圆的圆心距 d的取值范围是 .【难度】【答案】2 d 3.【解析】两个圆有两个公共点即两圆相交，可得2 d 4，当小圆的圆心恰好在大圆上时，d 3，所以内相交的圆心距 d取值范围是2 d 3 .【总结】本

17、题考查圆与圆的位置关系及“内相交”的定义.模块三：规律探究例题解析【例21】观察下列各数:兰，按你发现的规律计算这列数的第6个数为15【答案】【解析】【总结】)253136356263C.根据题意，可知规律为，故第6个数为：36，化简为4，故选C.637本题考查针对给定的一列数字找规律.【例22】按一定规律排列的一列数：21 ,22,23,25,28,213，.若x、y、z表示这列数中的连续三个数，猜测 x、y、z满足的解析式是 .【难度】【答案】xy z .【解析】由给出的这一列数字，可得出规律：从第三个数字开始，每个数等于它两个数的乘积，所以xy z .【总结】本题考查针对给定的一列数字找

18、规律.【例23】在平面直角坐标系中，有三个点 A (1, 1 )、B ( 1 , 1 )、C (0, 1),点P(0, 2)关于点A的对称点为p , p关于点B的对称点为F2 , P2关于点C的对称点为 B，按此规律，继续以点 A、B、C为对称中心重复前面的操作，依次得到点 F4 , P5 , F6，则点f>017的坐标为()A. ( 0, 0)B. ( 0, 2)C.( 2, 4 )D . ( 4 , 2)【难度】【答案】C.【解析】由题意得P (2,4)、P2(4, 2)、F3(4,0)、F4(2,2)、84 / 17P5 (0, 0), P6 (0, 2)，每6个数形成一个周期，2

19、017十6=3361，所以的坐标和p的坐标相同，故选 C.【总结】本题考查了点的对称问题及周期问题的处理.【例24】如图，正方形ABCD的边长为2，其面积标记为S ,以CD为斜边作等腰直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，按照此规律继续下去，则s20仃的值为【难度】【答案】(I)20142【解析】由题意得S =2X 2=4=2 2, S2 = © 罷 2 ,S3=1 1 1=20,由以上规律，可知S2017 =2-2014(2014【总结】本题考查了找规律在几何图形中的应用.C随堂检测【习题1】定义：如果二次函数y a1x2 bx c1a,、bi、

20、c,是常数)与y a2X2 b2x c （ & 0 , a?、b?、C2是常数）满足aa20,bi那么称这两个函数互为“旋转函数”.若函数4-mx 2 与 y32x 2nx n互为“旋转函数”，贝ym n 2017【答案】-1.【解析】由“旋转函数”的定义得4m322n84，解得:所以 m n 2017（1 ） 2017=1.【总结】本题考查“旋转函数”的定义.【习题2】（2013学年虹口区二模 第17题）如果三角形有一边上的中线长恰好等于这边的长，那么称这个三角形为“好玩三角形”在Rt ABC中， C 90，若Rt ABC是“好玩三角形"，则tan A =.【难度】【答案】

21、_2或LJ .23【解析】由于直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，因此斜边上的中线不满足;故只能是直角边上的中线等于此直角边的长，如图所示，设BD=2x , CD =x ,则 BC 3x，在 RtVABC 中，AC =2 x , BC 3x .当A为较小锐角时，tan A 3 ；2当 A为较大锐角时，tan A.3【总结】本题考查“好玩三角形”的定义，注意分类讨论.【习题3】（2013学年杨浦区二模 第17题）我们把四边形两条对角线中点的连线段称为“奇异中位线".现有两个全等三角形，边长分别为3cm、4cm、5cm .将这两个三角形相等的边重合拼成凸四边形，如果凸四边形的“奇异中位

22、线”的长不为0，那么“奇异中位线”的长是cm.【难度】【答案】-.10【解析】如图，将两个全等的直角VABC与VDEF的斜边AC与DF重合，拼成凸四边形ABCE , AC与BE交于点O, M为AC的中点. / VABCVDEF，易证 AO 丄 BE .亠亠9在 RtVAOB 中，AO = AB ? cos BAO = 一 ,5AM9 - 51 5因为AM AC ，所以OM2 2即奇异中位线的长是 -10【总结】本题考查了“奇异中位线”的定义，注意根据题目要求画出合适的图形.【习题4】（2014学年 崇明县二模 第17题）如果一个二次函数的二次项系数为1,那么这个函数可以表示为 y x2 px

23、q，我们将p, q称为这个函数的特征数.例如二次函 数y x2 4x 2的特征数是4 ,2.请根据以上的信息探究下面的问题：如果一个二次函数的特征数是2,3，将这个函数的图像先向左平移 2个单位，再向下平移3个单位， 那么此时得到的图像所对应的函数的特征数为 .【难度】【答案】6 , 8.2 2【解析】特征数是2, 3的二次函数为y X 2x 3，即y （X 1）2，将其向左平移 2个单位，再向下平移3个单位后得到的二次函数为 y （x 3）2 1，即y x2 6x 8 , 所以特征数为6, 8.【总结】本题考查了“特征数”的定义及二次函数图像的平移.【习题5】（2014学年 黄浦区二模 第1

24、8题）如图1，点P是以r为半径的圆O外一点,点P'在线段OP上，若满足OPgOP' r2，则称点P'是点P关于圆O的反演点.如图2,在Rt ABO中， B 90 , AB = 2, BO = 4，圆O的半径为2,如果点 A'、B'分别是点A、B关于圆O的反演点，那么A'B'的长是 【难度】【答案】.5【解析】由反演点的定义，可知：2 2OAgOA' r , OBgOB' r ,则OAgOA' OBgOB'，即OB，又 oO，可证 VOA B s VOBA ,86OB AB，即OA AB 2,5AB，解得:2

25、A'B'= 5 .5【总结】本题考查了“反演点”的定义，以及相似三角形的判定与性质.88 / 17【习题6】正方形ABQQ , A2B2C2G , A3B3C3C2 ,，按如图所示的方式放置.点 A1, A ,A，和点C1 , C2 ,C3，分别在直线y kx b ( k 0 )和x轴上，已知点B, (1, 1), B2 (3, 2)，则点B6的坐标是，点Bn的坐标是【难度】【答案】(63, 32), (2n 1 , 2n 1).【解析】由A (0, 1 )、A ( 1, 2),可求得直线解析式为 y x 1.可求得 A ( 3, 4)、B3 (7, 4), A (乙 8)、B

26、4 (15, 8), A (15, 16)、B5 (31, 16),A (31, 32)、B6 (63, 32),按照此规律可得Bn (2n 1 , 2n ).【总结】本题考查了一次函数与几何图形背景下找出点坐标的规律.2ax b，我们称a, b为这课后作业 【作业1】(2014学年 浦东新区二模 第17题)对于函数y2个函数的特征数如果一个函数y ax b的特征数为2 , 5，那么这个函数图像与x轴的交点坐标为【难度】【答案】（5 , 0） 2【解析】特征数为2,5的函数为y 2x 5 2，令y 0 ,解得x 5，所以函数图像与x轴的交点坐标为（5 , 0） 2【总结】本题考查了“特征数”的

27、定义，以及二次函数的图像.【作业2】（2013学年金山区二模 第17题）如果一个三角形的一边长等于另一边长的两倍，我们把这样的三角形成为“倍边三角形”，如果一个直角三角形是倍边三角形，那么这个直角三角形的较小的锐角的正切值为 【难度】【答案】_2或1.32【解析】当斜边长等于直角边长的两倍时，最小角为30°,正切值为;当直角边长等于3另一直角边长的两倍时，最小角的正切值为-2【总结】本题考查了“倍边三角形”的定义，以及锐角三角比的求值.【作业3】已知抛物线p： y ax2bxc的顶点为C,与x轴相交于A、B两点（点A在点B左侧），点C关于x轴的对称点为C'，我们称以点 A为顶点且过点C'，对称轴与y 轴平行的抛物线为抛物线p的“梦之星”抛物线，直线 AC'为抛物线p的“梦之星”直线若一条抛物线的“梦之星”抛物线和“梦之星”直线分别是y x2 2x 1和y 2x 2，则这条抛物线的解析式为 【难度】2【答案】y x 2x 3 QQr【解析】由y