(完整版)倍长中线法的应用教案

1、倍长中线法的应用适用学科初中数学适用年级初中二年级适用区域全国课时时长（分钟）60知识点1中点的定义2中点的表示方法：等量关系、倍的关系、分的关系3. 三角形中线的作用：等分线段4. 全等三角形中中线的作用：倍长中线（延长中线至 *，连接*，利用SAS证明三角形全等）教学目标熟练掌握有中点为背景的全等三角形证明的方法 教学重点在实际问题中能对中线倍长法模型的建立，利用中线倍长法解决问题教学难点利用中线倍长法构造全等三角形解决问题教学过程一、复习引入1. 如图1,2. 如图2,3. 如图3,4. 如图4:已知：AD是BC上的中线，且DF=DE .求证:BE/CF.AE、BC交于点M , F点在A

2、M 上, BE/CF, BE=CF .求证：AM 是KBC的中线.AB=AC , DB=DC , F是AD的延长线上的一点。求证： BF=CFAB=CD , AE=DF , CE=FB。求证：AF=DE .5.已知：如图5所示，AB = AD , BC= DC, E、F分别是DC、BC的中点，求证： AE = AF .图1图2图4图3图5二、知识讲解SAS考点1证明三角形全等的方法:考点2证明线段中的不等关系：在三角形中，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边考点3平行线的性质：两直线平行，同位角相等. 两直线平行，内错角相等 两直线平行，同旁内角互补.二、例题精析考点一证明线段中的不等关系例

3、1已知： ABC中，AB 5, AC 9, AM是中线. 1(1) 求证：AM (AB AC).2(2) BC边上的中线 AM的长的取值范围是什么?1(AB AC)2【规范解答】如图所示，延长AM到D，使DM AM，连结BD ,AM 为 BC中线，：BM = MC在ACM和DBM中 ACM 也 DBM (SAS， BD AC在 ABD 中，AD AB BD， 2 AM AB AC - AM【总结与反思】将AM边放在某个三角形中，利用三边关系求出取值范围; 中线倍长法的具体应用：延长 AM至D，使DM=AM，连接BD ;利用SAS证明三角形全等; 将线段AC转换成BD，在MBD中利用三边关系求出

4、2AM取值范围.考点二证明两个角相等例2如图，在 ABC中，AD交BC于点D，点E是BC中点，EF II AD交CA的延长线于点 F，交EF于点G , 若BG CF，求证：AD为 ABC的角平分线.【规范解答】延长FE到点H，使HE FE，连结BH .在CEF和BEH中CE BECEF BEHFE HE CEF 也 BEH EFCEHB , CF BH BG 二 EHB BGE ,而 BGE AGF , AFGAGF又 I EF II AD , AFG CAD , AGF BAD CAD BAD,： AD为 ABC的角平分线.FE D【总结与反思】题中E为BC中点，考虑用中线倍长法得到 CEF

5、也BEH，把CF线段转移到BEH中，然后根据等腰三角 形的性质及平行线的性质转化角得到结论。考点三证明线段之间的关系EF ,例3如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线， E是AD上一点，延长 BE交AC于F , AF求证：AC BE .【规范解答】 延长AD到G ,使DG AD，连结BG BD CD , BDG CDA, AD GD ADC 也 GDB二 AC GB G EAF又T AF EF, EAF AEF G BED- BE BG , BE AC 【总结与反思】作倍长AD，得到ADC也GDB，可以把AC转移到ABDG中，利用等腰的性质得到两边相等。四、课堂运用【基础】1、如图，在

6、ABC中，AC=5，中线AD=7，则AB边的取值范围是（）A.2 v AB V 12B.4V AB V 12C.9v AB V 19D.10 vAB V 19【答案】C【规范解答】延长AD至E,使DE=AD，连接CE,可先证明厶ABD也CD，贝U AB=CE，在ACE中，根据三角形的三边关系，得 AE-AC v CEv AE+AC，即 9 v CEv 19.则 9 v AB V 19.故选 C.2、已知AM为 ABC的中线， AMB , AMC的平分线分别交 AB于E、交AC于F .求证：BE CF EF .A【规范解答】延长FM到N，使MN MF ,连结BN、EN在三角形BNM和CFM中BM

7、MCZ BMNZ CMFMNMFBNM也CFM , /BNCF交AC于F ,又I AMB , AMC的平分线分别交 AB于E、 EMF EMN 90,禾I用SAS证明 EMN望EMF , EN EF , 在 EBN 中，BE BN EN ,：BE CF EF .NACE是AD上一点，BE = AC, BE的延长线交AC于点F,3、如图，在 ABC中，D是BC边的中点,求证：/AEF二 ZEAF【规范解答】延长AD到G,使DG=AD，连结BG.VD 是 BC 中点，：BD=CD在AACD和BGD中BD CDZ BDG Z CDADG ADACD BGD , ABG=AC，/EAF= ZBGE.V

8、BE=AC, ABE=BGzBEG= ZBGE,a ZBEG= ZAEFZEF= ZEAF.【规范解答】延长AD到F,使EF=DG，连结CF.E是 BC 中点，：BE=CE在ABE 和CEF 中BE CEZ BEA Z CEFDG EFABE也EF,：AB=CF ,/BAE= ZCFE vzBAE= ZCDE,A/CFE= ZCDE /-CD=CF AB=CD.【拔高】1、如图所示，BAC DAE 90 , M 是 BE 的中点，AB AC , AD AE，求证 AM CD .ED【规范解答】如图所示，设AM交DC于H，倍长中线AM到F，连接BF交AD于点N，交CD于点0 容易证明 AME也F

9、MBABN贝U AE FB， EAF F，从而 AE II FB， ANF 90 而 CAD DAB 90， DAB ABN 90，故 CAD 从而CAD也ABF，故 D F而 D DON FOH F 90故 AHD 90，亦即 AM CD .E2、已知MBC, B ACB, D, E分别是AB及AC延长线上的一点，且 BD=CE ,连接DE交底BC于G, 求证GD=GE .s【规范解答】法（一）：过E作EF/AB，交BC的延长线于F,则ZB= ZFvz3= Z4 , Z3= ZB 虫=ZFCE=EF 在GEF与GDB 中,1 2DB CE EFB F/.ZGFEGBD .IDG GE证明（二）：过D , E分别作直线DK丄CB, EF丄CB/= Z2 Z2= ZB /= ZB又 VBD=CE ARt经DK也:EF .-.DK=EF又$= Z4 .ARt DKG 也 Rt EFG：GD=GEA证明（三）：过D点作DK /AC交BC于K,过D点