专题14证明线段相等的常用方法

1、证明线段相等的常用方法平面几何中线段相等的证明看似简单，但方法不当也会带来麻烦，恰当选用正确的方法，可取得事半功倍的效果。【基本模型】（一） 常用轨迹中：两平行线间的距离处处相等.线段中垂线上任一点到线段两端点的距离相等.角平分线上任一点到角两边的距离相等.平行线等分线段定理：若一组平行线在一条直线上截得的线段相等，则在其它直线上截得的线段也相等（二）三角形中：同一三角形中 , 等角对等边. （等腰三角形两腰相等、等边三角形三边相等）任意三角形的外心到三顶点的距离相等.任意三角形的内心到三边的距离相等.等腰三角形顶角的平分线（或底边上的高、中线）平分底边直角三角形中 , 斜边的中线等于斜边一半

2、.有一角为 60 °的等腰三角形是等腰三角形是等边三角形.中位线：过三角形一边的中点与另一边平行的直线，必平分第三边.同底或等底的三角形, 若面积相等, 则高也相等 . 同高或等高的三角形, 若面积相等, 则底也相等.（三）特殊四边形中：平行四边形对边相等, 对角线相互平分.矩形对角线相等, 且其的交点到四顶点的距离相等.菱形中四边相等.等腰梯形两腰相等、两对角线相等.梯形中位线：过梯形一腰的中点与底平行的直线，必平分另一腰.（四）圆中：同圆或等圆的半径相等、直径相等；等弧或等圆心角、等圆周角所对的弦、弦心距相等同圆或等圆中 , 等弦所对的弦心距相等, 等弦心距所对的弦相等.任意圆中

3、 , 任一弦总被与它垂直的半径或直径平分.自圆外一点所作圆的两切线长相等.两相交圆的公共弦总被连心线垂直平分.（五）全等形中：全等形中，一切对应线段（对应的边、高、中线、角平分线、外接圆半径、内切圆半径）都相等.（六）等量代换或线段运算：等于同一线段的两条线段相等 .对应相等线段的和相等；对应相等线段的差相等对应相等线段乘以相等倍数所得的积相等；对应相等线段除以相等倍数所得的商相等【典例分析】例1 （2019苏州）如图，ZXABC中，点E在BC边上，AE AB ,将线段AC绕点A旋转到AF的位置，使得 CAF BAE ,连接EF , EF与AC交于点G .求证：EF BC .【点拨】利用全等三

4、角形的性质证明线段相等，如果所证两条线段分别在不同的三角形中，它们所在三角形看似全等，或者，通过简单处理，它们所在三角形看似全等，可考虑这种方法。6过点A作AG，ED交DEAD例2如图，已知在 ABC中，AD是BC边上的中线，E是AD上的一点，且 BE=AC，延长BE交AC于 F.求证：AF=EF.A【点拨】利用等腰三角形的判定（等角对等边）证明线段相等，如果两条所/ZV证线段在同一三角形中，可以考虑用此法，此题需要利用中点构造八字形全等。【例3】（2019甘肃）如图，在正方形 ABCD中，点E是BC的中点，连接 DE , 于点F ,交CD于点G ,连接BF ,证明：AB=FB .【点拨】利用

5、直角三角形斜边中线等于斜边一半证明，由基本结论获得 AGXDE的信息，联想B是斜边中点。【例4】已知：如图，在平行四边形 ABCM, E、F分别为边AR CD上一点，且BE=BR AGL BF于F, CH，BE 于 H,求证：AG=CH【点拨】利用两三角形面积相等，底相等证明高相等，由两个垂直联想高，由两条线段相等联想面积相等。【例5】如图，BD、CE是4ABC的两条高，F是BC的中点，FGLDE于点G.求证:EG=DG.【点拨】利用等腰三角形三线合一，由垂直证平分联想等腰三角形。BD上一点，连接AE ,过点E作EGXCD于点G, EFXBC于点F,由矩形对角线相等联想到AE也与该线段相等。【

6、例6】已知E是正方形ABCD对角线连接EF.求证：AE=FG.【点拨】利用等量代换证明线段相等，与FG相等的线段，再由基本图形联想到【方法梳理】证明线段相等主要看要证明的线段的 位置，根据位置情况来定方法，如果要证明的线段在同一三角形 中，常用它们所对的角相等；如果要证明的线段分别在两个三角形中，常用全等三角形；如果要证明的线 段既不在同一三角形中也不在两个三角形中，则应想办法作辅助线使其构成全等三角形。【巩固训练】1 .如图，已知在 ABC中，AB = AC,过AB边上一点 D作DE，BC于点E,延长ED,与CA的延长线交于点F.求证：AF = AD.2 .如图， ABC和4CDE都是等边三

7、角形，连接 AD、BE, AD与BE交于点F.求证AD = BE。3 .如图，AB为。的直径，C为。上一点，AD与过点C的切线互相垂直， 垂足为点D, AD交。于点E, 连接 CE, CB.求证：CE = CB.4 .如图， ABC内接于。O, BC是。的直径，弦 AF交BC于点E, /CAF = 2/B.求证：AE=AC.5 .如图，四边形 ABCD是正方形，连接 AC,将 ABC绕点A逆时针旋转 a得 AEF ,连接CF,。为CF的中点，连接OE, OD.(1)如图1 ,当a= 45°时，请写出OE与OD的关系，并证明.(2)如图 2,当 45° < a< 90° 时,(1)中的结论是否成立？请说明理由.6 .如图， ABC是等边三角形，点 D在AC上，点E在BC的延长线上，且 BD = DE .