构造平行四边形证几何题技巧_第1页
构造平行四边形证几何题技巧_第2页
构造平行四边形证几何题技巧_第3页
已阅读5页,还剩11页未读 继续免费阅读

下载本文档

版权说明:本文档由用户提供并上传,收益归属内容提供方,若内容存在侵权,请进行举报或认领

文档简介

1、构造平行四边形证几何题技巧总结总论:一、有关线段的证明1构造平行四边形证两线段平行2构造平行四边形证两线段相等3构造平行四边形证线段的不等关系4构造平行四边形证线段的倍分关系5构造平行四边形证两线段互相平分6构造平行四边形证线段的和差关系二、有关角的证明7构造平行四边形证角的不等关系与相等关系三、有关点的证明8、证三线共点四、有关线段长度、角的度数、面积等计算与证明9、在计算角的度数中的妙用10、在计算线段长度中的妙用1 1、证特殊图形1 2、证面积问题在证明或计算某些几何问题时,若能根据图形的特征,添加恰当的辅助线构造出平行四边形,并利用其性质可使 问题化难为易,化繁为简,下面举例说明。一、

2、有关线段的证明1. 构造平行四边形证两线段平行例1.已知如图,平行四边形 ABCD的对角线AC和BD交于O, E、F分别为OB、OD的中点,过 0任作 直线分别交AB、CD于G、H。求证:GF/EH。证明:连结GE、FH四边形ABCD是平行四边形OA =0C, BAO =/DCO 又 AOG =/COH:AOG 二 COHOG =OH又 OE =OF.四边形EHFG是平行四边形.GF / EH例 2 在厶 ABC中, AE BD CF为中线,FM/ BD, DM/ AB 求证:MC/ AE连结AM FDb证明:AF FM/ BD, DM/ AB二四边形FBDM平行四边形 AF= BF 二 AF

3、 DM BF/ DM四边形AFD丽平行四边形 AM FD又 F、D E分别为AB AC BC边中点 Fh EC AM EC,四边形AECMfe平行四边形 MC/ A巳2. 构造平行四边形证两线段相等例3.如图,ABC中,D在AB 上, E在AC的延长线上,BD=CE连结DE,交BC于F,/ BAC外角的平分 线交BC的延长线于 G,且AG/DE。求证:BF=CF分析:过点C作CM/AB交DE于点M,可以证明BD=CM,然后再利用平行四边形的性质得到BF=CF证明:过点 C作CM/AB 交BE于点M,连接BM、CD,则/ CME= / ADEAG/DE 且/12 ADE ", E &q

4、uot;2 CME "ECM =CE =BDBD /=CM四边形BMCD为平行四边形故 BF=CF3. 构造平行四边形证线段的不等关系1例4.如图,AD是厶ABC的边BC上的中线,求证: AD (AB - AC)21分析:欲证AD (AB AC),即要证2AD : AB AC,设法将2AD、AB、AC归结到一个三角形中,利2用三角形任意两边之和大于第三边来证明。注意到AD为 ABC的中线,故可考虑延长 AD到E,使DE=AD,则四边形ABEC为平行四边形。从而问题得证。证明:延长 AD至U E,使DE=AD,连结BE、ECAD =DE,BD =DC.四边形ABEC是平行四边形BE =

5、AC在.ABE 中,AE<AB+BE即 2AD<AB+AC1.AD (AB AC)2点评:此题是利用三角形三边关系定理、平行四边形的判定,通过延长中线将证明三角形中三条线段间的不 等关系,转化为三角形三边之间的关系,从而使问题迎刃而解。4. 构造平行四边形证线段的倍分关系例5.如图,分别以ABC中的AB、AC为边向外作正方形 ABEF和正方形ACGH , M是BC的中点,求证:FH=2AM证明:延长 AM至U D,使MD=AM,连结BD、CD, M是BC的中点四边形ABDC为平行四边形.BAC ABD =180而.FAB = HAC =90FAH BAC =180FAH 二 ABD

6、又 AF=BA , AH=AC=BDFA ABD.FH =AD故 FH=2AM例6如图5,分别以 ABC勺边AB BC为边向外作正方形 ABD昏口 BCFG BM为AC边上的中线求证:DG= 2BM证明:延长BM到N,使MNk BM连结则四边形ANC助平行四边形 AN= BC又 BG= BC,二 AN= BG又/ DBG 180°/ ABC/ BAN= 180°/ ABC/ DBG / BAN DB= BA DBQA BAN DG= BN,而 BN= 2BM DG= 2BM5. 构造平行四边形证两线段互相平分例7.平面上三个等边三角形 厶ACE、厶ABD、厶BCF两两共有一

7、个顶点,如图所示,求证: CD与EF互相平 分分析:要证CD与EF互相平分,须证四边形 DFCE是平行四边形证明:连结 DE、DF、AF易知AD=AB=BDBF 二BC, DBF =60 - FBA = ABCABC 三 DBFDF 二AC 二EC又 AE=AC , AD=AB/ DAE=60 ° / EAB= / BACADE 二 ABCDE =BC =FC四边形DECF是平行四边形故CD与EF互相平分6. 构造平行四边形证线段的和差关系例 8.如图, ABC 中,点 E、F 在边 AB 上,AE=BF,ED/AC/FG,求证:ED+FG=AC 证明:过 E作EH/BC交AC于HE

8、H/BC,ED/AC.四边形CHED为平行四边形EH/BC,FG/AC.AEH = . B,. A = BFG又 AE=BF ,.AEH :- FBC.AH =FGHC 二 EDED FG =AH HC =AC例9女口图4,在厶ABC的边AB上截取 AE BF,过E作ED/ BC交AC于 D,过F作FG/ BC交AC 于Go求证:ED FG 二 BC证明:过G作GH/ AB交BC于H,则四边形FBHG为平行四边形 FG 二 BH, FB 二 GH AE =BF,. AE =GHv AB/GH, ED/BC/ A 二 / HGC,/ ADE 二 / C AEDN GHC ED 二 HCBH C二

9、 ED FG 二 HC BH 二 BC二、有关角的证明7. 构造平行四边形证角的不等关系与相等关系例10.如图,在梯形 ABCD中,AD/BC,对角线 AC>BD求证:/ DBC> / ACB证明:过点D作DE/AC交BC的延长线于点E,则四边形ACED是平行四边形ZACB NE,AC 二DE又 AC BDDE BD在 BDE 中,/ DBE> / EDBC ACB例11如图,在四边形 ABCD中, AD=BC E、 线于 S、T,求证:/ ATF=/ BSF.F分别是CD AB的中点,直线EF分别交BC AD延长G【分析】由于/ ATF和/BSF不在同一个三角形内,又不可能

10、在两个全等的三角形内,所以需要把 两个角转移,由此想到会通过某些点做平行线, 再结合平行四边形性质和全等三角形性质以达到目 的.证明 过点F做G醴CD且FG=FH连接DG CH AG BH.则四边形DGH(和四边形AGBH是平行四 边形.二 AG=BH DG=CH DG/SF/CH. /-Z ADGM ATF, / BCHM BSF.又 AD=B,ADGA BCH (SSS,/Z ADGZ BCH /Z ATF=/ BSF.三、有关点的证明8、证三线共点例12求证:四边形两组对边中点连线与两对角线中点连线这三线共点【分析】 如图,即证EF、MN和HL三线共点,易猜想这三线两两互相平分,结合平行

11、四边形对角 线性质,可想到构造平行四边形.证明 如图,设 N H、M L、F、E分别为AB BC CD DA AC BD的中点,只需证明 EF LH和 ML三线共点.连接 LE, EH, HF, LF,NE EM MF FN.贝U LE、HF分别为 ABDfA ABC的中位线,所以 LE= 1AB HF 1AB,所以LE HF,故四边形EHFL是平行四边形,设EF, LH相交于0,则0平分EF. 2 2同理可证:四边形NFM是平行四边形,所以MN平分EF,即卩MN经过点0.故EF, LH, MN三线共点.四、有关线段长度、角的度数、面积等计算与证明9、在计算角的度数中的妙用例13 如图,在等腰

12、厶ABC中,延长边AB到点D,延长边CA到点E,连结DE恰有AD=BC=CE=DE 求/ BAC的度数.匚【分析】 题设条件给出的是线段的等量关系,要求的却是角的度数,相等的线段可得到全等三角 形、特殊三角形,为此需通过构造平行四边形改变它们的位置.证明 过点C做CF/AD,过点D做DF/BC, CF与DF相交于F,连结EF.则四边形DBFC是平行四 边形,所以DF=BC FC=DB. ADE中, AD=ED其底角/ EAD必为锐角,则/ BAC必为钝角,必为 ABC的顶角,所以AB=AC 又 EC=AD: AE=DB: AE=FC;AD/FC,./ EADM ECFADEA CEF( SAS

13、,二 EF=DE 从而DE=DF=EF故厶EDF是等边三角形.0设/ BAC=a,贝U/ ADFM ABC,/ DAE=80° a,/ ADE=18°-2 /2DAE=800 2(180° a) =2a 180°.因为/ ADF+/ ADEM EDF=60°,所以:180 一a +(2a -180°) = 60° , 2解之得 a=1000,即/ BAC=000.10. 在计算线段长度中的妙用 例 14 四边形 ABCD中,已知 AB=© , BC=5-T3 , CD=6,/ ABC=35°,/ BCD=

14、20°,求 AD的长.D【分析】所给的条件与要求的AD无法直接建立关系,因此需要将 AD转移到某个特殊三角形内,注意到/ ABC和/BCD勺补角的度数分别是45°和600,不难做出辅助线了 .解 过点A作AF丄CB于 F,过点D作DEL BC于 E,则AF/DE,再过点F作FG/AD交DE于G 那 么四边形AFG助平行四边形.v Z ABC=35°,/ BCD4200 / FBA=450,Z ECD=600在 Rt ABF中,AF=BF=-2AB= 32在 Rt CED中,1CE=CD=32DE= CD2 -CE2 二 62 一32 =3.3 EG=DE-DG=D

15、E-AF=3,EF=FB+BC+CE=8在 Rt FEG中,FG=. FE2 EG2 =219故 AD=2 191 1、证特殊图形例15如图6,在梯形 ABCD 中,AB / CD , AC = BD .求证:梯形ABCD是等腰梯形证明:过C点作CE / BD交于AB的延长线于点 E,则四边形 CDBE是平行四边形. BD = CE , Z 1 = Z E .又 AC = BD , AC = CE ,/ 2 =Z E .又: AB = BADAB CBA . AD = BC . 梯形ABCD是等腰梯形.B(图6)1 2、证面积问题求证:O1SABE = S 梯形 ABCD .2证明:过点E作M

16、N / AB ,交BC于N,交ADM,则四边形ABNM是平行四边形. s 1 o-SaABE = S平行四边形ABNM2的延长线于又 AD / BC, DE = CE , - S梯形ABCD = S 平行四边形ABNMSaabe1=S 梯形 ABCD .2同步练习:1.如图G,求证:1,在梯形BCED中,DE+FG=BC 。DE/BC延长BD、CE交于A,在BD上截取 BF=AD。过F作FG/BC交EC于例16如图7, E是梯形ABCD腰DC的中点.2. 如图2, ABC中,AB=AC , E是AB上一点,F是AC延长线上一点,BE=CF , EF交BC于D。 求证:DE=DF图23. 如图3

17、,平行四边形 ABCD中,E、G、F、H分别是四条边上的点,且 AE=CF , BG=DH,求证:EF与GH 互相平分4. 如图4,已知 AB=AC,B是AD的中点,E是AB的中点,求证 CD=2CE图45. 已知:如图 5在四边形 ABCD中,AB=DC,AD=BC,点E在BC上,点F在AD 上, AF=CE,EF与对角 线BD相交于点 0,求证:0是BD的中点。6、如图,在 ABC中,AB=10 , AC=6,那么BC上的中线 AD的取值范围是.7、如图,六边形 ABCDEF 中,若/ A= / B= / C=Z D= / E= / F, 且 AB+BC=11 , AF CD=3,贝U B

18、C+DE等于多少?且DB=CE,试说明DE>BC .8、如图,已知 ABC中,AB=AC , D是AB上的一点,E是AC延长线上的一点,提示:1. 过点F作FM/AC交BC于点M,则有平行四边形 FMCG。图12. 过 E 作 EG/AC 交 BC 于 G,连结 CE、GF。圈23. 连结 FH、HE、EG、GF图34. 延长CE至F,使EF=CE,连结 AF、BF。E四边形AB'性质得出等代换线段BE关系巧妙的贝U BC+DE等于角均为120°于 ABP和FPCQ为平行四5. 连结 BF、DEAB 二DC,AD 二 BC.四边形ABCD是平行四边形.FD / BE又

19、AD =BC,AF =CEFD 二 BE四边形BEDF是平行四边形.0是BD的中点6、如图,在 ABC中,AB=10 , AC=6,那么BC上的中线 AD的取值范围是.解析:延长 AD至E, 使 ED=AD,连结BE、CE,贝UABEC为平行四边形,所以 BE=AC,在 ABE中,因为BE<AE<AB+BE,即 10-6<2AD<10+6,故知 2<AD<8 .点评:本题借助构造平行四边形并利用平行四边形的于AD的2倍的线段AE,同时更重要的是将 AB、AC的及AE放在同一三角形中,再利用三角形三边之间的不等 得出AD的取值范围.7、如图,六边形 ABCDEF中,若/ A= / B= / C=Z D= / E= / F,且 AB+BC=11 ,AF CD=3 , 多少?解析:由已知/ A= / B= / C=Z D

温馨提示

  • 1. 本站所有资源如无特殊说明,都需要本地电脑安装OFFICE2007和PDF阅读器。图纸软件为CAD,CAXA,PROE,UG,SolidWorks等.压缩文件请下载最新的WinRAR软件解压。
  • 2. 本站的文档不包含任何第三方提供的附件图纸等,如果需要附件,请联系上传者。文件的所有权益归上传用户所有。
  • 3. 本站RAR压缩包中若带图纸,网页内容里面会有图纸预览,若没有图纸预览就没有图纸。
  • 4. 未经权益所有人同意不得将文件中的内容挪作商业或盈利用途。
  • 5. 人人文库网仅提供信息存储空间,仅对用户上传内容的表现方式做保护处理,对用户上传分享的文档内容本身不做任何修改或编辑,并不能对任何下载内容负责。
  • 6. 下载文件中如有侵权或不适当内容,请与我们联系,我们立即纠正。
  • 7. 本站不保证下载资源的准确性、安全性和完整性, 同时也不承担用户因使用这些下载资源对自己和他人造成任何形式的伤害或损失。

评论

0/150

提交评论