GM11模型应用及残差修正

1、GM(1,1)预测模型应用举例灰色预测是基于 GM(1,1)预测模型的预测，按其应用的对象可有四种类型：(1) 数列预测。这类预测是针对系统行为特征值的发展变化所进行的预测。(2) 灾变预测。 这类预测是针对系统行为的特征值超过某个阙值的异常值将在何 时出现的预测。(3) 季节灾变预测。 若系统行为的特征有异常值出现或某种事件的发生是在一年 中的某个特定的时区，则该预测为季节性灾变预测。(4) 拓扑预测。这类预测是对一段时间内系统行为特征数据波形的预测。例 1 (数列预测)：设原始序列X(0)= (x(0)(1),x(0)(2), x(0)(3), x(0)(4), x(0)(5) = (2.

2、874,3.278,3.337,3.390,3.679)试用 GM(1,1)模型对 X(0)进行模拟和预测，并计算模拟精度。解：第一步：对 X(0)进行一次累加，得X(1)- (2.874,6.152,9.489,12.897,16.558)第二步：对 X(0)作准光滑性检验。由得叫3)：0.54,匸(4) 0.36 : 0.5,匸(5)：0.29：0.5。当 k3 时准光滑条件满足。第三步：检验 X是否具有准指数规律。由得二(1)(3)：1.54,二(4)、1.36,匚(1)(5)：1.29当 k3 时,(k)=1,1.5,一：0.5,准指数规律满足，故可对 X(1)建立 GM(1,1)模型

3、。第四步：对 X作紧邻均值生成，得Z=(4.513,7.820,11.184,14.718)：(k)x(0)(k)x(1)(k -1)(k)二x(k)x(k -1)=1 匸(k)于是第五步：对参数列：？二a,bT进行最小二乘估计。得& =(BTB)BTY=O.0373.0 65 3第六步：确定模型空一。“？。)=3.0653dt及时间响应序列?(1)(k1H(x(0)(1-)ek b=85.276151e00372kaa第七步：求 X的模拟值X?二(5?(1), ?(2), x(1)(3),炉(4), 01)(5)=(2.8704,6.1060,9.4605,12.9422,16.5

4、5 5)8第八步：还原求出 X(0)的模拟值。由?(0)(k 1) =a？(k 1) =C)(k 1) -C)(k)得熔0)二(00)(1), ?(0)(2),列)(3), ?(0)(4), 5?(0)(5) 二(2.8 7 4,0.2 3 2,0.3 5 4,5.4 81,3.6 1 3)6 第九步：检验误差。由下表可算出残差平方和：误差检验表序号实际数据(0)/1 x (k)模拟数据x(0)(k)残差s(kx(0)(k)-?(0)(k)相对误差氐_ 2(k)lk一(0)门、x (k)23.2783.23000.04601.40%33.3373.3545-0.01750.52%1-4.513

5、1x(0)(2)11-7.8201， 丫=x(0 )(3)1-11.184 1x(01一1-14.7 1 8 1_1 1x(0)(5)一-z(1)(2)-z(1)(3)-z(1)(4)：-z(1)(5)3.2 7 83.3 3 73.3 9 013.6 7 9-82.4 0 2 1 5 143.3903.4817-0.09172.71%53.6793.61360.06541.78%平均相对误差1.6025%第十步：预测X(0)(k 1)?(1)(6) =85.276151e0.0372 5-82.40215 仁 20.3063 ?(0)(6) =3.7505?(7) =85.276151e0.

6、03726-82.402151 = 24.1 99 1 ?(0)(7) = 3.8 9 28例 2 (灾变预测)：某企业生产用原料属受自然灾害影响较大的农产品。一般来 说，自然灾害的发生有其偶然性，但对历史数据的整理，仍可发现一定的规律性。为 尽量减少生产不受自然灾害的影响，该企业希望了解影响原料供应的规律性并提前做 好原料储备，所收集数据见下表，并规定每亩平均收获量小于 320 千克时为欠收年份, 将影响原料的正常供应，现应用灰色灾变预测来预测下次发生欠收的年份。原料收获统计表年份199119921993199419951996199719981999收获量(千克)390.641232055

7、9380542553310561年份20002001200220032004200520062007收获量(千克)300632540406.2314576587318第一步：将上表中年份用序号替换，并找出收获量小于320 千克的年份序号形成初始序列-(0)。本例初始序列：(0)=(3,8,10,14,17)一次累加生成序列：=(3,11,21,35,52)第二步：按 Z建 GM(1,1)模型。uw2說，(t 1)(0)(t) -beb=27.67702e0.25361t-24.67702a a第三步：预测当 t=6 时，？(6) =73.684?(0)(6) =21.6848因此，下次发生收获

8、量小于 320 千克的年份为：2011 年至 2012 年，即四至五年后 将出现欠收年份。(1)的紧邻均值生成序列：Z= (7,16,28,43.5)-z|-z(1)(3)-z(1 )(4)-z(1 )(5)1【111_-7-16-28L-43.5飞(0)(2)1岸(0)蛍(0)(4) 严一1014亿其他预测类型见参考书二.残差 GM(1,1)模型当 GM(1,1)模型精度不符合要求时，可使用残差序列建立 GM(1,1)模型，对原来模 型进行修正，以提高精度。定义 4 设(0) / (0) (0) (0) /；(=(2(1),；( )(2),.,；( )(n)其中，；(k) = x(0)(k)

9、-?(k)为 X的残差序列。若存在 ko，满足1.-k _k。，；(0)(k)的符号一致；2.n - k。一4，则称(I；(0)(k)|,|；(0)(k。1)|,.,|；(0)(n)|)为可建模残差尾段，仍记为；(0)=(；(0)(k0)0)(k0 1),.,；(0)(n)命题 1 设；(0)=(；(0)(k),；(0)(koT),.,；(0)(n)为可建模残差尾段，其一次累加序 列八=(八你0)3(k。+1),.“(1)( n)的 GM(1,1)模型的时间响应式为?(1)(k1) =(；(0)(k0)-匕)(k&)匕,k _k0a呂az则残差尾段的模拟序列为?()=(?()(k0),

10、 ?(0)(k01),., ?(0)(n)其中?(0)(k1)=(-a；)(；(0)(k0)-X)efZ0), kkag定义 5 若用？(0)修正X则称修正后的时间响应式?(1)(k 1)=/(0)/八bkb(x)e + aa(x(0)(1-)ek- - a (；(0)(k)-b)ef(k如aaa呂k : kok一ko为残差修正 GM(1,1)模型，简称残差 GM(1,1)。其中残差修正值?(0)(k 1)=(-a )(；(o)(ko)eu0)%的符号应与残差尾段；(0)的符号保持一致定义 6 若X(0)(k)= ?(k) -？(k -1)二(1 -ea)(x(0)(1) -b)e(k)则相应

11、的残差修a正时间响应式(1ea)(x()(1)匕归1k(0)(k)；3= (35.6704,33.4303,31.3308,29.3682,27.5192,25.7900,24.1719,22.6534,21.2307,19.8974,18.6478,17.4768)检验其精度：列出误差检验表误差检验表序号实际数据x(0)(k)模拟数据x(0)(k)残差&(kx(0)(k)-5?(0)(k)相对误差也|咻)|kx(0)(k)22035.6704-15.670478.3540%34033.43036.569716.4242%42531.3308-6.330825.3232%54029.3

12、68210.631826.5795%64527.519217.480838.8642%73525.79019.209926.3140%82124.1719-3.171915.1043%91422.6534-8.653461.8100%101821.2307-3.230717.9483%1115.519.8974-4.397428.3703%121718.6478-1.64789.6926%131517.4768-2.476816.5120%_平均相对误差30.11%由此可见，相对精度不到 70%，需采用残差模型进行修正。取 ko=9，得残差尾段；(0)?(0)(k +1)= “,k一k= (；

13、(0)(9),；(0)(10),；(0)(11),；(0)(12),；(0)(13)-(-8.65 3,43.2 3 0,74.39 7,41.6 4 7,824 7 6)8此为可建模残差尾段，去绝对值，得；(0)=(8.6534,3.2307,4.3974,1.6478,2.4768)建立 GM(1,1)模型，得；(0)的一次累加序列:的时间响应式：?(1)(k_24e-0.16855(k-9)32.7其导数还原值为?(0)(k 1)十0.16855)(-24屮168(心=4.0452。.168(心由5?(0)(k 1)=?(1)(k 1)(k) =(1-ea)(x(0)(1)-b)ek=3

14、8.0614e06486k可得累a减还原式残差修正模型为CC CC#A-0.06486 k. c?(0)(k +1)=38.0614e, k(0)(k)相对误差込k)|kx(0)(k)101817.18580.81424.52%1115.516.4799-0.97996.32%121715.76041.23967.29%131515.0372-0.03720.25%平均相对误差4.595%残差修正 GM(1,1)模型的模拟精度得到了明显提高。因此时残差序列已不满足建 模要求，若对残差精度仍不满意，就只有考虑采用其它模型或对原始数据序列进行适 当取舍。三.GM(1,1)模型群在实际建模中，原始数

15、据序列的数据不一定全部用来建模。 我们在原始数据序列 中取出一部分数据，就可以建立一个模型。一般来说，去不同的数据，建立的模型也 不一样，即使都建立同类的 GM(1,1)模型，选择不同的数据，参数 a,b 的值也不一样。 这种变化，正是不同情况、不同条件对系统特征的影响在模型中的反映。例如我国的粮食产量，若采用建国以来的数据建立GM(1,1)模型，发展系数-a 偏小；而舍去 1978年以前的数据，用剩余的数据建模，发展系数-a 明显增大。定义 1 设序列X(0)= (x(0)(1),x(0)(2)，,x(0)(n)将x(0)(n)取为时间轴的原点，则称 tn 为未来。定义 2 设序列X(0)=

16、(x,x(0)(2),.,x(0)(n)，x(0)(k 1)=(1 _ea)(x-匕归环，a为其 GM(1,1)时间相应式的累减还原值，贝 U:1. 当 t _ n 时，称刃(t)为模型模拟值；2. 当 tn 时，称5?(0)(t)为模型预测值。建模的主要目的是预测，为提高预测精度，首先要保证有充分高的模拟精度，尤其是 t=n 时的模拟精度。因此建模数据一般应取为包括x(0)( n)在内的一个等时距序列。定义 3 设原始数据序列X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),.,x(0)(n)1. 用X(0(x(0)(1), x(0)(2),., x(0)(n)建立的 GM(1,1 )模型称为全数

17、据 GM(1,1);2.-k。1，用X(0)=(x(0)(ko),x(0)(ko1),.,x(0)(n)建立的 GM(1,1)模型称为部分数据 GM(1,1);3. 设x(0)(n 1)为最新信息，将x(0)(n 1)置入 X(0)，称用X(0)=(x(0)(1),x(0)(2),.,x(0)(n),x(0)(n 1)建立的模型为新信息 GM(1,1);4. 置入新信息x(0)(n 1)，去掉最老信息x(0)(1)，称用X(0)=(x(0)(2),.,x()(n),x(0)(n 1)建立的模型为新陈代谢 GM(1,1)。很显然，新信息模型和新陈代谢模型预测效果会更好。任何一个系统随着时间的 推

18、移，将会不断地有一些随机扰动或驱动因素进入系统，使系统的发展受到影响。因 此，在实际预测中，必须不断地将每一个新数据置入，已考虑到这些随机或驱动因素。相比之下，新陈代谢模型是最理想的模型。随着系统的发展，老数据的信息意义 将逐步降低，在不断补充新信息的同时，及时地去掉老数据，建模序列更能反映系统 在目前的特征。四.GM(1,1)模型的适用范围可以证明，当 GM(1,1)的发展系数|a|2时，GM(1,1)模型无意义。因此，(-：,-2 - 2, 是 GM(1,1)发展系数 a 的禁区。在此区间，GM(1,1)模型失去意义般地，当|a|：2时，GM(1,1)模型有意义。但是，随着 a 的不同取值

19、，预测效果也不同。通过数值分析，有如下结论：(1)当- a 乞 0.3 时，GM(1,1)的 1 步预测精度在 98%以上，2 步和 5 步预测精度都 在 97%以上，可用于中长期预测；(2) 当 0.3：-a0.5 时，GM(1,1)的 1 步和 2 步预测精度都在 90%以上，10 步预测 精度也高于 80%，可用于短期预测，中长期预测慎用；(3) 当 0.5：a 乞 0.8 时，GM(1,1)用作短期预测应十分慎重；(4) 当 0.8：-a 乞 1 时，GM(1,1)的 1 步预测精度已低于 70%，应采用残差修正模 型；(5) 当a 1 时，不宜采用 GM(1,1)模型。五.GM(1,N)、GM(0,N)、GM(2,1)和 Verhulst 模型1、GM(1,N