函数与导数经典例题--高考压轴题(含答案)

1、函数与导数1.已知函数f (x) =4x33tx?_6tx t -1,x R，其中t R.(i)当t=1时，求曲线y = f (x)在点(0, f (0)处的切线方程；(n)当t -0时，求f (x)的单调区间；(川)证明：对任意的r (0, ：), f(x)在区间(0,1)内均存在零点.【解析】(19)本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14 分。(I)解：当t=1时，f (x) =4x33x?6x, f (0) = 0, f (x) =12x26x 6f (0) = -6.所以曲线y二

2、f (x)在点(0, f(0)处的切线方程为y二-6x.(n)解：f (x)二12x2 6tx6t2，令f (x) = 0，解得x二-t或x二. 2因为t = 0，以下分两种情况讨论：(1)若t 0,则-t,当x变化时，f(x), f(x)的变化情况如下表:2x(t)1 -o,I 2)A(-1 严)f(X)+-+f(x)z/ 1所以，f (x)的单调递增区间是-二丄,-t：；f(x)的单调递减区间是-tI 2 丿12(2)若t 0,则-t -，当x变化时，f(x), f (x)的变化情况如下表:2x(-,t)l2,丿fH(x)+-+f(x)/、/ :it)I t I所以，f (x)的单调递增区

3、间是(电-1),.丄，址；f(x)的单调递减区间是1,丄12 丿I 2 丿(川)证明：由(n)可知，当t 0时，f(x)在!0,*递增，以下分两种情况讨论：(1)当-_1,即 t _2时，f (x)在(0，1)内单调递减,2f (0) = t -10, f (1) = -6严4t 3 _ -6 4 4 2 3 .：0.所以对任意t 2, ：), f (x)在区间(0, 1 )内均存在零点。4t 3 _ -6t 4t 3 - -2t3 0.所以f (x)在 iL,1内存在零点。12丿f (0)二 t -10所以f (x)在I 0,-内存在零点。I 2丿2.已知函数 f (x-x1, h(x)二

4、x .32(I)设函数 F(x) = 18f(x) -x2h(x)2,(n)设 a R R ,解关于 xj 2、 -* 1(出)设nN N，证明:f (n)h(n) -h(1) h(2) HI h(n)6本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数 与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力.解：(I)F(x) =18f(x) x2h(x)2= x312x 9(x _0),内的单调递减,内单调 12丿(2)当 0:-0，知2ax -2ax 1亠0在 R 上恒成立，因此厶=4a2-4a = 4a(a -1)三0,由此并结合a 0,知0

5、：a三1.5.已知 a, b 为常数，且 0，函数 f (x) =-ax+b+axlnx , f (e) =2 (e=2. 71828 是自然对数 的底数)。(I) 求实数 b 的值；(II) 求函数 f (x)的单调区间；(III )当 a=1 时，是否同时存在实数m 和 M (m0 得 x1,由 f(x)0 得 0 x1;当a：0 时，由 f (x) 0 得 0 ： x ： 1,由 f(x)：0 得 x 1.综上，当a 0时，函数f(x)的单调递增区间为(1：),单调递减区间为(0, 1)；当a 0时，函数f (x)的单调递增区间为(0, 1),单调递减区间为(1厂：)。(III ) 当

6、a=1 时，f (x) = _x 2 xln x, f (x) =1 n x.- 1由(II)可得，当 x 在区间(丄，e)内变化时，f (x), f(x)的变化情况如下表:ex1 e(-,1)e1(1,e)ef(x)-0+f(x)2 2e单调递减极小值 1单调递增221又22,所以函数 f(x)-,e)的值域为1，2。eem =11据经可得，若，则对每一个i m,M ，直线 y=t 与曲线y = f(x)(x,e)都有M=2e公共点。1并且对每一个r(：，m)U(M , V)，直线y二t与曲线y = f (x)(x,e)都没有公共点。e综上，当 a=1 时，存在最小的实数 m=1，最大的实数

7、 M=2，使得对每一个t m,M ，直线y=t1与曲线y = f (x)(x ,e)都有公共点。e6.设函数f ()x = x3- 2ax2bx a，g* ) = x2-3x - 2，其中xR，a、b 为常数，已知曲线y = f (x)与y = g(x)在点(2,o)处有相同的切线 i。(I)求 a、b 的值，并写出切线 I 的方程；(II)若方程f (X g(X二mx有三个互不相同的实根o、x、x，其中为：x2，且对任意的x k,x21，fx() - g()x : m(x -1)恒成立，求实数 m 的取值范围。【解析】20.本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识进

8、行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，(满分 13 分)解：(I)f (x) = 3x 4ax b, g (x) = 2x - 3.由于曲线y = f (x)与 y二g(x)在点(2, o)处有相同的切线，故有f(2) =g(2) = 0, f (2 g (2) =1.所以a二-2,b =5，切线I的方程为x-y-2=0(n)由(I)得f (x)二x4x25x2，所以f (x) g (x)二x3x22x.2依题意，方程x(x -3x，2-m)=0有三个互不相同的实数0, x!, x2,2故X1,X2是方程x -3x，2 - m = 0的两相异的实根。所以，;.=9 -4(2 -m)10,即m4又对任意的X以，X2, f (x) g(x) : m(x -1)成立,特别地，取x=人时，f(x1) g(xj -mx1：-m成立，得m：0.由韦达定理，可得x1x 3 0, x!X2= 2 - m 0,故 0：捲：x2.对任意的x1, x2,有 x-x2乞 0, x_ 0, x 0则f (x) g(x) -mx = x(x _xj(x _x2) M0,又 f (% )