教学疑难问题

1、教学疑难问题分数除法应用题 分数应用题一直是小学六年级数学教学的难题，尤其是分数除法应用题。不管是使用省编教材还是现在的实验教材，教学效果总不如人意，学生错误百出。 一、错例呈现 典型错例一：一县去年蔬菜总产量720万千克，比今年少了。今年蔬菜总产量是多少万千克？学生典型的错误：720×（1+ ）、800+800× 典型错例三：“玩具厂五月份比四有份多生产儿童玩具2500件，多生产了。玩具厂四月份生产儿童玩具多少件？”学生典型错误2500÷（1+1/4）、2500÷1/42500二、错例分析“错例一”：表面上看是学生单位“1”的量找错了，其实这样错的学生

2、多数是没有分析数量关系，也没有想过“120×2/3”这个乘法算式的意义：是把120（小明）看作单位“1”，平均分成3份，表示其中的2份。这种错误“中差生”比较多。“错例二”：学生的的两种解法错误的“病因”其实是一样的，他们的想法是“猪比养牛的头数少1/4，所以牛比猪的头数多1/4”。学生是受到了整数时“甲比乙多4”反过来“乙比甲就少4”的负迁移，因为这些学生不知道反过来时单位“1”变了，倍数会变。“错例三”：学生在乱套模式，只记住了“单位1”未知用除法计算，而对于为什么这么除？除出来的是什么量都不清楚。相比较，“错例二” 学生这样的错误在新授课比较多。“错例三”出现在新授课后复习阶段

3、。“错例二” 学生至少还在关注应用题中“分数的意义”，他想转化成已学过分数乘法应用题来解决，其中的转化的思想是值得肯定的，只是在转化的过程中出了错。而“错例三”学生已无视应用题中“分数的意义”及“数量关系”，只记住了“单位1”未知用除法计算，这是我们教学的后果。三、反思原因如果说“错例一”是学生不动脑筋，那么 “错例二”学生动了脑筋也错了，怎样才能让学生运用知识的迁移解决问题。 “错例三”中学生无视“数量关系”的现象，更让我们老师反思。以上的错例都是分数除法应用题，也许在大家在想“在教学分数乘法应用题时还好的，到教学分数除法应用题或把两类应用题混在一起时才会出现错误”。难道只是分数除法应用题教

4、得不好？显然不是，分数除法应用题只是分数乘法应用题的逆运算而已，数量关系其实是一样的，如“去年比今年少了1/10”数量关系“今年×1/10=去年比今年少的量 ”、“今年×（1-1/10）=去年的量 ”，而决定是正向和逆向的是已知和问什么。出现错误主要是学生没有去分析数量关系，其实学生在做乘法应用题时就没好好分析，只是没有暴露而已。为什么学生不去分析分数应用题的数量关系呢？除了和我们老师教法有关外，还有一个原因是分数应用题的数量关系本身就比较抽象难理解，学生又缺乏分析数量关系的能力。学生分析分数应用题的知识基础是对“分数的意义” 的充分理解，及 “分数乘法的意义”掌握。这样才

5、能根据应用题中“分数意义” 来分析，运用“分数乘法意义” 得出数量关系来列式解答。而恰恰是这两个环节学生基础薄弱。究其原因，我们教学和教材的编排，都没有重视这两方面。下面我们来看看教材对这两个知识点教学的安排： “分数意义”的教学：如五下第4单元“分数的意义和性质”的 “分数与除法” （第66页）例3是“求一个数是另一个数的几分之几”的问题。教材以“养鹅的只数是鸭的几分之几”为例来教学，通过学生对话的方式给出解答思路：先由分数的意义说明，求养鹅的只数是鸭的几分之几，也就是求7只是10只的几分之几，把10只看作一个整体，1只占它的1/10，7只就是7/10。然后根据分数与除法的关系分析，7/10

6、相当于7÷10，所以求养鹅的只数是鸭的几分之几，可以用除法计算。这里教学的重点的分数与除法的关系。没有重视让学生通过“求一个数是另一个数的几分之几”这类问题来进一步理解分数的意义。更没有把“几分之几”意义和“几倍”的联系。如：篮球有40个，足球有10个。篮球个数是足球的几倍？足球个数是篮球的几分之几？。也没有加强“多几分之几”和“少几分之几”意义的教学。如：甲数是20，乙数是25，甲数比乙数少几分之几？乙数比甲数多几分之几。这里可以借助直观的线段图让学生理解为什么分率会变。因为在分数意义认识时，没有上述的讨论，学生对分数的认识比较肤浅。这样在解决较复杂的分数应用题时出现错例2这种情况

7、就不足为奇了。“分数乘法意义”的教学：分数乘法的意义和整数乘法的意义一样，一个算式可以表达两种意义。如“2/11×3”，可以表示“3个2/11是多少”，还可以表示“3的2/11是多少”。 前者，“与整数乘法的意义的表述相同，就是求几个相同加数和的简便运算”学生容易理解。而后者，实际上是整数乘法意义的扩展，正是这个意义是学生分析分数应用题的基础知识。从六上教材设置来看学生对分数乘法的意义理解会比较片面。六上第2单元“分数乘法”（ 第8页）例1只让学生理解了“分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，都是求几个相同加数和的简便运算”，求3个2/11的和可以用乘法。这样的安排计算方法可以由分数

8、加法推导出来，学生较易理解。但是没有让学生理解“3的2/11”这个扩展性的意义。（第10页）例3及后面的安排都是为教学分数乘法的计算方法，没有把“分数乘法的意义”作为教学内容。（第17页）“解决问题”，就是“求一个数的几分之几是多少”的分数应用题了。这样学生缺少对分数乘法这种扩展性意义的理解。学生在解答问题时，对所列算式的意义关注不够，只是一味的套用模式列式解答，这样的教学为后面分数除法解决问题埋下了隐患。分数乘法的意义是学生理解算理的基础，所以分数乘法意义需要在第一课（起始课）就应该让学生认识。教材只是为了说明理算，例题情境用了分数乘法的第一种意义。如果从理解“分数乘法的意义”来思考，第二种

9、意义才是需要老师教的。为此我做过一次尝试：在十一长假期间老师去买服装，商场打着“八折”的牌子。问：“你能从中获得什么信息？”生：“现价是原价的80%”“现价比原价便宜了20%”。结合学生的分析作线段图，并板书80%就是4/5。再给出“一件T恤原价220元”，让学生尝试求售价。这次尝试却大大出乎我的设想，原来以为单一的解法，学生一个子出现6种不同的解答：解法一：220÷100×80；解法二：220÷10×8；解法三：220220÷5；解法四：80%=0.8 220×0.8；解法五：220×80%；解法六：220×4/

10、5。我就让他们一个一个分析各自的想法：解法一，“把原价平均分成100份，取其中的80份。”、解法二、解法三，“把220平均分成5份，也就是便宜了一份，所以减去一份。”在讨论中，大家认为照他的想法可以直接220÷5×4，这样其实和解法一、解法二的思路是差不多的。解法四，我问他“你是怎么想的？”，他说“店里打折就是这样算的”，我追问“把80%化成0.8的什么意思？”“80%就是0.8倍，再求220元的0.8倍是多少”。解法五，有学生能说出“表示220元的80%是多少”。我引导学生和其它的方法比较时，有学生指出和解法四的差不多；有学生说和解法一表示的意义一样；和解法六表示的意义也一样。解法六，220×4/5，因为是在分数乘法第一课时尝试的，学生不会算，联系220÷5×4推导计算方法。当我教到先约分再乘时，再一次引导学生和220÷5×4计算相通之处，学生能发现220和分母5约分相当于220÷5，约分后的44和分子4相乘相当于第二步“×4”。小结：求220元的4/5是多少。算式“220×4/5”这个比较简洁。（在后面的计算练习时，我也常常问学生算式的意义）这次尝试不是“贵”在方法多，而是“贵” 在学生对“分数的意义”的关注，“贵”在沟通了新旧知识的联系。沟通