一类具时滞病毒模型的局部稳定性及Hopf分支无用_图文(精)

1、分桊号-一密级UDC 屡明多乡歹戈硕士学位论文一类具时滞病毒模型的局部稳定性及 H opf 分支研究生姓名曹志杰指导教师姓名、职称林怡平（教授）学科专业廛旦塑鲎研究方向动力系统：分支与混沌论文工作起止日期 2004o3ol- 2004.11,20论文提交日期 2004 年 11 月 20E1摘要nl本文对一类具时滞的病毒模型进行分析，得到该模型平衡点的稳定性情况，对正平衡点，导出了存在 Hopf 分支的条件，并给出了时滞界限 To,确定在适当 参数条件下，r0 为 Hopf 分支值，接着计算了分支方向，讨论了分支周期解的 稳定性等性质.本文作如下安排：第一节介绍时滞微分方程的特征方程，及基本的

2、定义，理论 和用到的主要的理论工具，第二节分析了一类具有时滞的病毒模型，得到了该模型 正平衡点的稳定条件，这些条件都是简明的代数判据，同时得到了时潜界限给出 了存在 Hopf分支晦条件， 运用 Hassard 的方法讨论了分支方向及分支周 期解的稳定性等性质第三节给出一个铡子，对所得公式进行了数值检验关键 词：时滞；稳定；H opf 分支；分支方向.AbstractVInthispaper，aviralmodelwithdelayis investigated，thestabilityofthetwoequ i libriaisobtained.Thegeneralformula forbif

3、urcationdirectionofHopfbifurcationiscalculated.Thedelaybound%ofthe delaydifferentialequationatthepositi veequilib riumpointisgiven.Withthesuitparameterconditio n，TOwillbethebifdrcationvalueofHopfbifurcation.Withtheparameterdatumofth e2】，isobtainedconcretely.Abriefarrangeoftheorganizationofthepaperas

4、follows.Thefirstchapterintroducesthecharacterieteristicequationford ifferentialequationswithdelaysandsom efundamen taldefinitionsandtheoriesaswellaselementarytools.Inchapter2,Aviralmodelwithdelayisinvestigatedusingthetheorylistedinthapterl.Theconditionsofthestabilityareobtained.Theconditionsarebrief

5、andpracticalalgebraiccriterions.Furthermore.wegetthedelaybound.Thegeneral formulaforbifurcationdirectioniscalc ulated,andtheesti mationformulaofth periodforperiodicsoluttionisdiscusse dusingHassardmethod.Inchapter3，百 yena nexample,wetestthefrontalformulae.Keywords:delay;stability;Hopfbifur cation;di

6、rectionofbifurcation刖言自从滤过性病毒(如 HEV(hepatitisEvirus)、HCV (hepatitisCvirus )和日 1)感染成为当前主要预防的对象以 来，病原体和它的宿主之闻的相互作用就成为免疫学研究的热点.依靠活性病毒和 免疫系统的所谓数字游戏”方法，对伴随建立了相应免疫记忆的从病毒消亡至 戒线”下到由于特种相关免疫的抑制面长期高水平存在的病原体一宿主的耜互作用 的研究成果，也是其成为热点的促成因素.理解各种类型的感染与病毒的参数之间 的关系一这决定了各项戚某，在病毒免疫学里起着基础性的重要作用.越来越多的实验和临床数据表明被感染一免疫系统控制的各种传

7、染源(ECMV(lympzhocyticchoriomeningitisviru s）HBV,HCVHIV）的无或低水平细胞病变从未完全在被感染的宿主 内消亡到安全的水平被感染一免疫系统指的是一种持续的免疫作用与低水平感染 的稳定共存状态，因此，免疫记忆可被认为是低反应水平的持续再刺激.基于鼠科动物体内的淋巴绒毛膜尿囊病毒（LCMV）的感染实验已得到承认 并被广泛用于多种类蛩的感染研究成果中测试病毒效应和宿主参数.LCMV是无 细胞病变的，它和 T淋巴细胞病毒（CTLs（cytotoxicTlymphocyte）一样同时和病毒和免疫机制通过反病毒及杀死被 感染细胞分泌的初始控制有关这个实验模型

8、已被证明，在整体上和对 T 细胞记忆的维持方 面，对抗原的职能的理解上具有开创性.业已证明，LC.MV 的，特别是 CTL 的记忆种群可在没有抗原的时候出现数量上的提高然而记忆汇集的功能表征，尤其是它在保护不被外围的 LCMV快速感染方面的能力，依靠在有活性的受动器 内出现的 CTL 记忆种群保有的某些片段中的病毒抗原的存在.实验结果也已证 实， 在免疫系统内复制能干的 LCMV，鼠类就可以存活一段时间于较低水平（低 于惯常化验观察极限的每个脾单位内 1 0 2pf u或等同于脾内 1 03pfu/m 1）和抗原存在的持续时间依赖于途中有多少抗原被交往宿主.本文应用 Hass ard 方法研究

9、了被感染一免疫系统的 一个模型l 学=v(t)Z(1 一漫)一 7wE，(t)V(t)，！喾堕 2oEP(露一岛(啪 +badw)v(tT) QA尸 v (t -T)y(t )昂(味l零粤=6dgo(W)y(t 7)目一门一血 AFyn)y (t)E(t) 一 oEoEe(f)， 【坐业 dt = bwy(t) 一位 wW(t)的平衡点的稳定性情况，确定了在唯一的正平衡点处系统在什么时候 Hopf 分支存在，还给出了其分支周期解周期的表达式，稳定情况和分支方向的判据，最 后用一个倒子做了检验限于作者的水平和能力，不妥之处在所难免，敬请行家指 正，深表谢意！昆明理工大学学位论文原创性声明本人郑重

10、声睨：所呈交的学位论文，是本人在导师的指导下(或我个人)进行研究工作所取得的成果。除文中已经注明引用的内容外，本论文不合任何其他 个人或集体已经发表或撰写过的研究成果。对本文的研究做出重要贡献的个人和集 体，均已在论文中作了明确的说明并表示了谢意。本声明的法律结果由本人承担。学位论文作者签名：节。毒焱日期：讲年如月/争日关于论文使用授权的说明本人完全了解昆明理工大学有关保留、使用学位论文的规定，即：学校有权保 留、送交论文的复印件，允许论文被查阅，学校可以公布论文的全部或部分内容， 可以采用影印或其他复制手段保存论文。(保密论文在解密后应遵守)导师签名；鉴：堕垩论文作者签名：蛮士朱茸 r、o、

11、1.1 预备知识1.1.1 泛函微分方程的特征方程考虑 RFDE(RetardedFDE)，AFDE(AdvancedF DE)，NFDE(NeutralFDE)，CFDE(CompoundFD E)圣(t)=az(t)+bx(t 下)，(o,l)圣(上)=凹(t)+bz(t + 7 ),(0.2)圣 O )+c 圣 O 一_ r)=ax(t)+bx(t r),(0.3)圣(t)=ax(t 7)+bx(t + 7 _) .(0.4)其中，o,b,c,r 0 .仿照常微分方程的做法，假定(O.1) (o4)有形如 c 幻的解，代入这些方程分剐得hi(A)=AU bc 17 = 0,(o.l)危

12、2(A)=A 口 一 bcl7 = 0,(o.2)7h3(t)=A+ cAe一 17 一 a be 17 = 0,(o.3)人 4(A)=A ae 打一 be 打=0,(0.4)(o.1) 一(o.4)也称为特征方程，不同的是，它们是超越的而非代 数的.1.1.2 基本定理定理(C 一 HopfBifurcation) 若(1)F(O,曲=0 是 F的一个孤立固定点，这里 p属于一含 0 开区问，0 胪，(2)所有阶数2 )的向量 F 的分量 F 的偏导存在并在 x中 连续，这里芦属于(0,0)(jp XR1)的一个邻域.(3)A(p)=DxF( O,肛)有一对共轭复根 A和工，A(肛)=o(

13、p)+iu(p)z垦堕堡三查兰壁主望丝丝茎这里u(o)=uo0, 口(o)=0,凸 7(0) 丸，(4)A( 0)的其余礼一 2 个特征值均具负实部，则系统百 dX:F(X,W), ( + )面 2，础(十)有一族周期解：存在一 一 Cp 0 和一 C+l的，(),嘲，(E)= 卢萎 s2i+o(l),(oE 印)使得对每一个 s(0,CP )存在一周期解足(t)，对应于卢二矿(E).存在一 X=0 的邻域矸和一个含 0的开区间 使得对任一 p,( +)的町 中的仅有的非常数周期解是满足，(E)=卢，(0,印)的 E 值对应的一族 解尸 E(t )中的一个.只(t)的周期 TP( )是 Co+

14、1的r(e):面 21r(1+睾卩葛产】+op ).(oe叫当趋于 0时，只()的两个 Flo quet指数严格的趋于0,对 E(0,Cp )其中一个是 0,另一个是 C +1 的鲁矿() 熙2i+o(+1).（00,AB C,ABCA2DC20,D 0 同时成立，且(5)有非零实根 u,则存 在咱，使得当OsrVTo 时，方程(5)的零毹是一致渐近稳定的.这里W=min7 .7 _=石 1arccsFG. -十 ErH., (7)E=bnxoyoW2+mqxou2+lmxou2+bcnqxoYo,F=rn 互 01 .03 + tmqxo 一 benzo 管 ou bznqxo yow,G=

15、elqw(C+g + z)u3,H=u4+(eq + el+q1)w2.证明事实上，由羽为方程(6)的根，分离(6)韵实部和虚部，得ECOS丁 u + Fsi n 俐+H = O;Feosru + Esinru + G = 0.(8)注意到，E 和 F必不会同时为 0,故从(8)解得FG EHo 0 8 俐 2 1 巧了 1,取 =minT11 =击 螽, reeos释又由(.5)，若 Ao，ABC，ABC A2De20，D 0 同时成立，根据 Routh Hu rwitz准则，方程 A(A,0)=0的所有根的实部都是负的，由(6)知， 当 7.V可时， (A,7.)=0 的所有根的实部也都是

16、负的，因此(6)的零 解是一致渐近稳定的.证毕.1.2.3Hopf 分支的存在设 A(7.)=o(r)+i(r)，由上知& (丁 0)=0，记 u (%)uo.定理 2若 O/ %。)工 0,则系统(3)在 TO处产生 H opf 分支，这里 a%o)=dR 打 Ic(A )=装警.L=【(一 bcnqyo blnqyo bclnyo+mq+Im)xo w3 + bnzoyow8sin(woTo)+【(j 仇口 一 bclnqyo)xow; + (-m+bcnyo + blmyo + bnqyo)xow3cosoro),M= (lmq + bcln qyo)zo 嵋+(m bcnyo blny

17、o bnqyo)xow3】si n(wTo)+ (一 bcqnyo blnqyo bclnyo4mq+lm)zo w3 + bnxoyow8cos(u。),N=f(2lm+2bcnlyo+2bnqlyo2qm+2bcnq yo + qlmzro bcqnlyoTo)xowo +(一 4bnyo + bnl!/ozro + bnqyozo m罚 +bcny oTo)XoW3】sin(woro) + (3m 3bcnyo 3bnlyo 3bnqyo lm 丁 b + bcnlyob grn7b + bcqnyovo + bn92 可 o%)o曙bnxoyorow4lrnqxo + bcqnlxoy

18、oCOS(WOTO) + (3c 3 q 3 1)w5,Q=f(3bnlyo 3m+3bcnyo + 3bnqyo bnqlyo vo+lmro bcnIy07zo+mqTo bcqnyoTo)xow5 + bnxoYoTow3+lmqxo b cnqlxoyosin(wo.7 o)4 (一2ml4 2bcn lyo + 2bqnlyo一 2mq + 2bcqnyo + qmlzro bcqnl yozro)xowo+f 一 4bnyo +bnlyozro + bqnyor.om伯 +bcnyozro)xo 嵋】COS(c.doro) + (2ql2c 1一 2cq)wo 一 4u3.证明由(

19、6)知其必有一对纯虚根，考虑 o 矯工 0的问题，而 A(r)=H (r)+iw(r)，将待征方程(4)两边对 7求导，整理得坠 d 垃，r 二；，其中I=c-M7 卜【一 tA3(/)bcnxooo+ ”(r)7 船 o + g A3(丁)mo IA4(下)6 扎 zo 珈一 ”(7)bcnzoyoq1A2(7)bcnxoYo qA3(_ r)6cnzoYo bq nlxoyoA3(丁)一 gA4(T)bnxoyo +qlA2(7 _)rn。 o + j 人 3(7)7no A5(r)bnzoyo，卜 A(r)(A (丁_)+l) + ( A(r) g)(A(r) +f) + (一人(丁)一

20、 q) 一 A(7)】 mzoe 1(7) 丁一 A(下)Q(7)(A(7_)+f)将丁。代入掣，并注意到& %）=o,u %。）=峋，整理化简得：鼍笋1，：0=黼当糌 丸时，系统（2）在处出现 H opf :分支.证毕.定义若存在一个，使得当 0 WrV 罚时，方程圣（t）=，（t，z（t），x（t r）的零解是渐近稳定的，而当丁%时，上述方程的零解是 不稳定的，则称称为时滞界限.由以上讨论得推论（7）式定义的是系统（2）的时滞界限.芒塑塑蔓塑堕曼塑整些墨旦型缝 91.2.4 分支方向和分支周期解的稳定性+ c一 (A(下)+c)bnxoYoc 一 1)+ (一 A(T) 一口)我们先利用

21、Riesz表示定理将（3）改写为常微分方程的形式，然后参照1】将 4 X4 系统（2）降阶成实 2x2 系统令 r=Tb+芦，丁 b见定理1 .记 x（t） = （z（t）y（t）0（f）“（f）7，则（2）可表示为又（t）（p）:Px（t）+OxO 一（确 +p）+f（t,p）, （9）其中 P =,（以 p）=OO bxoOO cOOOO fOpOO g k （t）m，z（t（% 十肛）冶 p 一 （TO + p）nz（t（匍+p）p（% + 卢）OQ=OOOOm 珈讹 oOOnyonooOOOOOO在伊（_r,o】，兄 4）,上定义算子族 O 对（日）= （口）， 2（ 口），九（口），

22、毋 4（p）7G（卜 T. o,且 4,有三 p=卩毋（o）+Q（ 下 o+W），则 Lp 为伊（一 r,o 1,科）到 R4上 的有界线性算子族，由 Riesz表示定理知存在 一个四阶的分量为有界变差函数 的矩阵函数：札芦）：.r,O】_ 解，使对伊（卜 r,o】，掣）有,O0=7咖（口，p）（8）,（10）J f其中 r=ro+ 事实上，只要取嘲（口，p）=Pd（O）+qdp + 0 + p），即可，其中 6（9）是 Dirac6函数.对C（I T，o ，舒）定义对C（IT,o,R4 ）定义俐：髀）1 上，胁（s，p）砂（S） TV9VO （11）口=0fv 目,w(t) = 茁(f )z

23、(t)q( u) 孑()(p)，这源于对卫(t)作的如下分 解：令 P,I = g(词 T+q(q+)?=2.Re 口(砑 T】，尸上二，一蜀J=,2Req(q,】，它们满足 Pjf=蜀 1,避=P，蜀 1P上 = o,P_ P,I = 0 .那么有 z(f)g+ 乏(t)g =蜀。(，w(t)=PJ鼻(t).引入 z和叫后，(13)可记为童=A(p)z+G(2,2,埘；弘)，西=A(1z)w + H(z, 2,叫；j；)a(z，乏叫；卢)=Vq+,f(w+2Rezq;W),H(z, 孑，”；p)=f(w+2Rezq ;弘)一 2ReqG弘=0时，记(1 2)的解为五，贝 Uz(t)=V 矿，

24、Xt(17)坝扎篡=溜毗舢 孵讹朋盼倔)=甜 20( 口)等+叫 11( 口)。导+ 叫 0 2(p )等+埘 3 0(口)譬+叫 2 1(口)孛+，在流形人岛上，z和牙是 C 中 Mo 在 g 和口方向上的局部坐标.对 XoMo,有j(t)=iuoz(t) + 矿 r(o )(矗，臂，名，詹)T=iwoz (t)+g(z,2),(19)西(t,目)：A甜一 2Re于 f(o).(靠，靠，嚣，嚣)，.g(p)卜卜 o,o,o,o)r 一 r 墨 9Vo【（霜，摇，增，疗）T0 = o= Aw + H（z,j,日），（2 0）这里砖、豫 1 臻，姥为,j bqt932+（gl 西 + 靠 9 3

25、）z 牙 + 甄磊二 2+;91 训嘉（o）+驰趔。（0）】+扣碥（。）+2 啦吐（。）+吼训嘉（。）+磊峨（。）降+扣川+ 驰 32（o）+ 吼叫 1（ o）十西 il（0）z22+ ;陆叫盏 （0）+ 西埘 32（o）】23+），12 昆明理工大学硬士学位论文mD1 q2c-“roz2+（q1q2 + q1q2）z5 + q1#zeo 手+;f口 1 钮知（一）+ q2w190（一%）e/wroz3+;2 口 1tj1 （一%）e 叫。码 +2q2 叫 i1 （一功）e讪 r0+甄伽孙（一罚）e讪勺+磊伽；o（伯）e讪即z2牙+去g1 叫恐（一下 o）e叫%+ q2w6 2（ %）e 讪

26、”+2 函叫 1（一 7b）e 讪 ”+2ff2 叫 1（ 一 7b）e 讪 0zz2+去 k掣恐（一罚）+92伽 62（ 罚）】e 讪j3 + ? ?），景露，0.其中伽；o,叫 il, ”2 分别是 W20,Wll,/）02 的第 1个 分量，i = l,2,3,4 .表示为向量形式（靠，疗，靠，嚣）T=乃 0 9 2 + F1122+F0222+F3023+F21222+F12222+蜀 3三 3 + .这里 F20=（ bql 口 3,mqlq2e 一。”，nqlq2c 讪q,o）T,Fxl=（b（ ql西+函 q3）,m（qlq2 + 函 92）,n （ql 翕+ 西啦），o） 丁，

27、F02=（bC l 嚎 a,m 函画 e咖，仃函磊 eTO,o）T,F30=（口 lu呸 3 0（o）+ 口 3知（o）,詈 e iwzroqlzW20（ 7 0）4啦峨 o（ ）,詈 e讪”【ql 叫知(一丁 b)+ 口 2 伽知(一罚)J ,o)T,F2l =(一 ib【? qlwl3l(o)4 2qawl(o)+ 函叫嘉(o)+ 西 加知(o)】，i m 卜 qimi2l（一而）e咖 o + 2q2wl（7b）e 叩 + 甄w 2 2 0 （ zro）e2 *0 4啦一川 210（r0）e2“, Ln ql 训 112（勺）e讪码 +2q2w1（ %）e丁 o +函”嘉( )e 如丁 0

28、+口 一 2w2 10( %)e 讪丁 0】，o)?（2 0日（z,5,8）=岛。（口） 吕皿 l（D） j+S02（0）z +H3o(p )吾 +凰？(目)！=4 2 7 2 3 2 ，（21）?7而曲= W:j4伽茹，比照（20）得（2/WoIA）w20（O）=日 2。（口），Awll（l 9）=风 1（口），（2 2）下面计算上如 o（目），H11（口），n02（0 ），凰 o（口），I/2 ?（日），注意到，易 o,日 1,F02 中不含任何伽 20,叫 11,叫 02，的分量，从 F30 往后的 z 的高次项的系数中均含有 W20，Wll，W02，的分量，故可先求出/2 0 （口），

29、Hll （目），：n02（p），再利 用一=苎墨婴童茎翌箜墨墨望塞堡墨.！窿坌奎.13（22），计算出 Woo（目）, W1 1（口），W02（日），有了这些结 果，再算从 z3开始的 z 的高次项的系数，如此往复，直至得到全部所需.以下就是计算结果.当一 rs 口 V0时，记相应的 H,f 1O）=磊（p）,贝 UH2 0（0）=2I 口？（o）T.F20 .柙）+ 口+（o）T .毋o.口（吼厩（口）=一 时（o）T 日 1? g （口）+矿（o）T ? Flo ? g（目）】，H02（0）=2【旷（o）1 而 2 口（口）+矿（0）。 蜀 2 qC e）,.n4.JJj 焉（口）=一 3

30、 晦？（o）T.F30 ? gp）+ 矿（o）T ? F30.q（日）1,/21（0）= 铲（o）T.足 1 ? g（口）+矿（o）r ?局 1.g（吼当日=0时，有 H ,Ao）=只，（o）+再（o）,其中，矿（o） T码？q（8 ）表示 q（o）r .只，？q （口）各分量的共轭组成的矩阵， 11=20,11,02,30,21, .下面计算（19）中的 g（z,j）,令 g（z，司= 9 2 0譬+g11z2+卯 2 萼+出。譬+921字+，计算可得卯 o = 2 矿 r（O）.F20,911=矛 T（0）.F11,902_2qHT（o）.F02,gao = 3qHr（o ）.毋 o,（2

31、 4）卯 1 = 2 矿了 （o）.马 Ij. 一.则厩（目）=一如口（口）一 920.g（p）,Hn（O）=聂 1 .曩 p） gu.q（9）,（2a）赢（目）=一如？可（口）一 902.g （目），由【1】，研 20和 w1,可由（22）求得w20（O） =等 q （p）+嚣牙（目）+E1c洲(25)=日bq1q3,O9 口 加孔 F 凹甜伽14W11（O）=昆明理工大学硬士学位论文叫 1 （口）叫,（口）叫 1。 （口）伽；。 （秽）等口（口）+等乎（口）+易.（26）E = （碰：硝引，磷 31,Ehr，局=（磅；磷弓 I, 硝）T是常数向量.其中Eiu =击一 Og193,mq1q2

32、cn q1q2e一 。 O.=击即（3） 1叫一石帮=酉 1 O.myoe 弛 on yO8 一%o,OmOe筇蛳，扎工 O8 2%,O.bq1q3,mq1q2e1 q2e 一 。”OO,O,myoe 2% , c+m 正 oei Wo,nyoe一2 %， 觚Oe 一2讥， Omyoe 2 VD.nyoe 2VD.pOO. 一C + m.TOe一一 %o，礼 Oe 2it, _Aa,O. o,OEf砧.一 c +a o nqibxO.O一 2.OO,qbq1q3,O趔 3 =瓦 1mqlq2e 一 。 .0nqiq?c”？ 00,qbxo, 一 6 口 lq30mqlq2e21一 f.nqlq

33、2e- 2 0 2 q0.00O0q栅仇人 k 仇一 m芒墅塑童塑篓曼芒壁整墨墅匹坌壅1J碰”=去一 6（玑西+c1qa）m（qlCl2+ 面驰）豇（ql 翕 +qlq2）,0.硝 2）=击P(4) 1D2 瓦 1 =0.一 c+mxo礼 ZO,0, bxo,00,0-1,OO,-q0,b( q1 西 +q1q3), bxo,0 myo,m(q 1 辱 2 + q1q2),0, onyo,n(q1c2 + c1q2), 一 f,0P,0,0,myoe2 讪 o.qO,myonyo,p,O, 一 C+re:r,o7 珏 O,O.一 6（吼西+丞啦），Qm（gl 匠+qlq2）,O n（91 而+

34、匦驰），OO,qO,O,bxo, m#o,+tT/,XO,O, nyo,nXo,l,P,O,O,O.nyoe一 2o.P, 2 =一 6(9 1西 +clq3)m国 1 磊十 q lq2)n (91 啦 + 甄他)O0, bxo C+7J,22 70e 2hao,0,礼 zoe _ iwo,一 f,O.0.O,0,m 珈，一 c+m.TOnyo,%0,P,0,一 6zo,0O.O - J.O0,q0一 g16垦塑墼盔堂！堂垡堡塞由于/W2 0 和叫一 1 已经求出，那么关于 z 的微分方程（19）就可以写成 j 地甜蚴百Z2 + gltz2 士 2 手怕。菩+卯z 2 5 9 0 T5 + |

35、.,（27）j=礼加 z+眈。百士.2。+93。吾 + 卯 1+?，（27其中 2=W1Ht iy2,Y1 和 W2 是实数.贝（24 ）等价于实 2系统雪 1=,1 （口 1 ,Y2;p），如=,2（91、Y2 ;肛）原点作为其孤立奇点，且其在原点处的 Jacobi矩阵是如下典范式啪几萨（：托等）（2 8）这样我们就只需考虑中心流形上的系统（2 5）.下面将利用【1的方法，确定（25）进而确定（9）的分支方向和分支周X2期解的稳定性.利用变换z = +）（幢，基 p）=+ E）（玎（卢）等,#t#3z三 1+?SLo这里均兰 0 对 i=J + l .将(20)变为 Poin嘲=A(肛)+

36、芝：cJ(p)J f列 4 o+ l)=A(p)+ 妒(f,毛 p),其中肛=0,A(芦)=4i(z.接着我们确定 cl(0).由链式法则 j= + xf + x 毒或写成Afxf+ 工&f Ax = 9(f + x,f+ 元)-9),card规范型(JSJ(,p)I(.p+)(f 妒（3 0）（28 ）左侧可写为比较（28）两端的（七）2,得，邑，（训皿 A）籍丿，2S蚪 jSLax:。譬t五 x享+（z天一 A）X02 等譬=仍。譬 4 9oof+。 0 时，若卢 2o（mV0），贝 U （2）当丁%时有周期解（当 r0（b20,ABC,ABG A2DC20,D 0同时成立.将相关参数代入

37、方程(6),并分离实部和虚部，得I(o.03661648067y2 + o.001401070000)c os(vy) + (o.5009706723y3f4 0.014770932 26y)sin(Ty) 0.06614y3+ 矿=0,l(0.5009706723y3 + 0.01477093226y)COS(Ty) 一 (0.03661648067y2 1+ o,0014010700 00)sin(ry)4 o.0005962y o,662y3= 0.该方程满足 Y 为实数的解为 fW = 0.3186910884.1.279 6 4 4 2 9 8 .由定理 1 ,，ro:1.27964

38、4298，滞界限为 1.279644298 .由定理 2。得=一 1.279644298和可=0.3186910884,1 = 即在上述参数条件下，系统（3）的时掣卜一 S。咖 SS 舢故在上述参数条件下，系统（3）产生 H opf 分支，分支值为=1.27 9 6 4 4 2 9 8.计算得 cl（o）=O.01665732675 0.0 2 1 2 9 3 7 57 5 1 i,卢 2 = 1.248108133,上 2 = 0.2 9 4 1 2 3 4 1 85 X1 01376,62 = 0.03331465350 .则对应定理 3,有如 下结论p(E)= 1.24810813322

39、 + r，因为掣 1:以 0 1334606058 (o,drIf=%若肛 2o(p2v0 )，贝 U (3 )当 7. n 时有周期解(当 7V干邗时有 周期解)分支.2其 Hopf 分支的周期解的周期可表示为?忙)=蘅鑫丽(1 0.2941234185 川 0 1376E2 .,.).二芒墨壁墨塑皇芒里堕墨堡垒塞堡墨墅匹坌圭b 2 = 0.03331465350v 0,贝 U其 H opf 分支解是稳定的.E(E)= 0.03331465350E2 +2 0 垦盟墨三挝！ 1 主鲎堡垒塞致谢本文是在导师林怡平教授自始至终的悉心指导下完成的.从论文的选题到文献 的搜集，以及数学思想、方法和论

40、文的整理，都得到了林老师的热情关怀和精心指 导.林老师严谨治学的态度、渊博的知识、敏捷的思维、高尚的人格和道德情操为 我树立了良好的榜样，使我终生受益.在此谨向她表示衷心的感谢！同时，我深深的感谢理学院的李继彬教授、张振良教授、房辉教授。李庶民副 教授等老师在学习上给予的必要帮助.此外，我要感谢李雄雄博士、冯大河博士、吕军亮博士，和我的好友西北工业 大学在读博士申建伟的真心帮助，感谢同路霞，张建宝，肖永峰的有益探讨.最 后，我要感谢我的父母和兄弟姐妹，他们的肩膀抬起了我前进的脚步.二塑堕堂燮型笪墨塑登塞堡垦墅垡坌圭 21参考文献1B.D.Hassard，N.D.KazarinoffandY.

41、一 H.Wan.TheoryandApplicationsofHopf Bifurcation.London:CambridgeUniversityPress，1981.12A:(1991):5056.f2JTatyanaLuzyanina,KoenEngelborgh s,StephanEhl,PaulKlenerman,GennadyBocharov.Lowlevelviralpersistencea i onofFinitelyREtardedType.JournalofMath ematicalAnalysisandApplications,(1971),35:312.348.4Lin

42、Yiping,RolandLemmert,PeterVo lkmann.Bifurcationofperiodicsolution inaThree UnitNeuralNetworkwithDelay.ACTAMATHEMATICAEAPPLICATAESINICA,Jul y,2001,V01.17No.3.【5潘家齐，岳锡亭.具有限时滞 Lienard方程的 Hopf 分枝公 式.数学年刊fterinfecti n.sightthroalysis.Math OL):1 23.onwithLCMV:aqughnumericalbematicalBioscu a n t i t a t i

43、v e iif u r c a t i o n a nie n c e s 1 7 3 ( 2 03 13NathanielChafee.ABifurcationProblemforaFunctionalDifferentialEquat6jackK.Hale,SjoerdM.VerduynLune l.IntroductiontoFunctionalDifferenti alEquations.NewYork:SpringerVerlag,1991.7StephenWiggens.IntroductiontoAp pliedNonlinearDynamicalSystemsandCha os

44、SpringerVerlagWorldPublishingcor p.1980.8郑祖庥.泛函微分方程理论.安徽教育出版社 19 9 49J 秦元勋，刘永清，王莲，郑祖庥.带有时滞的动力系统的运动稳定性 （第一版）Ib衷：科学出版社 1 9 8 9.10余元洪.二阶滞后系统的时滞界限.应用数学学报，8(3)(19 85):334 3392 2 垦雯墨三盎堂壁兰堡垒塞11郑祖庥.关于泛函微分方程的发展和应用.数学进展，1 9 8 3,1 2 ( 2 ):9 4 112f12P.C.Dohert 弘Thenumbersgameforv irusspecificCD8+Tcells，Nature28

45、0(19 9 8 ) 2 2 7 13 张芷芬，李承治等.向量场分支理论基础.高等教育出版 社，1 9 9 7【14】李继彬，李存富非线性微分方程.成都科技大学出版社，1987【15ChowS.NandHalcK.MethordofBifurcationTheorv.NewYork:Springer.Verlag,1981.16】罗定军等.动力系统的定性与分支理论.科学出版社，2001【17JR.M.Zinkernagel.Whatismissinginimmunologytoundemtandimmunity7.NatureImmun01.1 (2000) 181o1sR.M.Zinkern

46、agel,H.Hengartner,L.Stitz.OntheroleofvirusesiHtheevolutionofimmuneresponses.Br.Med.Bull.41 (1985)92.19EKlenerman,R.M.Zinkernagel.What cyvirusfromastudyofly.mphocyticchori omeningitisvirus7.Immun01.Rey159(199 7)520s.Ehl,P.Klenerman,P.Aichele,H.Pircher,P.Ohashi,H.Hengartner,R.M.Zinkernagel.Afunctional

47、andkineticcomparisonofantivicanwelearnabouthumanimmunodeficienraleffectorandmemoryCTLpopulationsin vivoandinvitro.Eur.J.Immun01.27(1997 ) 3 4 0 4.2 1 盛昭瀚，马军海.非线性动力系统分析引论.科学出版社，2 0 0 2 2 2】廖晓昕.稳定性的理 论方法和应用.华中科技大学出版社，19 9 92 3侧正荣，李继彬.哈密顿系统与时滞微分方程的周期解.科学出版社，19 9 624G.Bocharov，ModellingthedynamicsofLCMV

48、infectioninmicezc onventionalandexhausiveCTLresponses.J.Theoret.Bi01.192 (1998) 283=差墨堕塑童堡型箜墨塑整星堡墨旦旦垡坌茎2 325D.Moskophidis，F.Lecher，H.Pirch er，R.M.Zinkernagel.Viruspersistenceinacutelyin fectedimmunocompetentmice byexhaustionofantiviralcytotoxiceffectorTcells.Nature362 (1993) 758.26LinYiping，LiJibin.

49、LocalStabili tyandBifurcationinaSystemofDelayedNe uralNetwork.J.KunmingUniversityofScien ceandTechnology,1997.22 (6):44 4 727s.Ehl,P.Klenerman,R.M.Zinkerna gel,G.Bocharov.Theimpactofvariationinthenum berofCD8 十 Tcel lprecursorsontheoutcomeofvirusinfect,ion.Cell.Immun01.189 (1998) 67.28G,Bocharov,P.K

50、lenerman,S.Ehl.P redictingthedynamicsofantiviralcytot oxicTcellmemoryinresponsetodifferentstimul i:cellpopulationstructureandprotectivefunction.Immun01.CellBi01.79 (2001) 7 4.29A.F.Ochsenbein,U.Karrer,P.Klen erman,A.Althage,A.Ciurea,H.Shen, J.F.Miller,L.Whitton,H.Hengartner,R.M.Zinkernagel.AComparis

51、onofTcellmemoryagainstthesameantigeninducedbyvirusversusintracellularbacteria.Proc.Nat.Acad.Sci.USA.96 (1999) 9 2 9 3.30S.Oehen,H.Waldner,T.K/:ndig,H.Hengartner,R.M.Zinkernagel.Antivir allyprotectivecytotoxicTcellmemorytolymphocyticc horimeningitisvirusisgovernedbypersistingantigen.J.Exp.Med.l76 (19

52、92) 1273.一类具时滞病毒模型的局部稳定性及Hopf 分支作者：曹志杰学位授予单位：昆明理工大学参考文献(29 条 1. B D Hassard. N D Kazarinoff.丫H Wan Theory andApplications of Hopf Bifur cation 19812. Tatya na Luzya nina. Koen En gelborghs. Stepha n Ehl. Paul Klen erma n,Gennady Bocharov Low level viralpersiste nee after in fectio n with LCMV:a qua

53、ntitative insight through numerical bifurcation analysis20013. Nathaniel Chafee A Bifurcation Problem for a Functional Differential Equat ion ofFinitely REtardedType 19714. 林怡平.ROLAND LEMMERT. PETER VOLKMANN BIFURCATION OFPERIODIC SOLUTION IN A THREE-UNIT NEURAL NETWORKWITH DELAY 期 刊论文卜应用数学学报(英文版 20

54、01(35. 潘家齐.岳锡亭具有限时滞 Lienard 方程的 Hopf 分枝公式 19916. Jack K Hale. Sjoerd M. Verduyn Lunel Introduction to Functional DifferentialEqua tio ns 19917. Stephe n Wigge ns In troductio n to Applied Non li near Dyn amical Systems andChaos 19808. 郑祖庥泛函微分方程理论 19949. 秦元勋.刘永清.王莲.郑祖庥带有时滞的动力系统的运动稳定性198910. 余元洪 二阶滞后系统的时滞界限 1985(0311. 郑祖庥 关于泛函微分方程的发展和应用 1983(0212. P C Doherty The n