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1、【立体设计】2012届高考数学 第3章 第4节 导数的实际应用挑战真题(福建版)1.(2010山东)已知某生产厂家的年利润y(单位:万元)与年产量x(单位:万件)的函数关系式为y=-x3+81x-234,则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为 ( )A.13万件 B.11万件 C.9万件 D.7万件解析:y=-x2+81,令y=0,解得x=9(-9舍去).当0x0;当x9时,y0,则当x=9时,y取得最大值,故选C.答案:C2.(2009湖南)某地建一座桥,两端的桥墩已建好,这两墩相距m米,余下工程只需建两端桥墩之间的桥面和桥墩.经测算,一个桥墩的工程费用为256万元;距离为x米的相邻两墩之间
2、的桥面工程费用为万元.假设桥墩等距离分布,所有桥墩都视为点,且不考虑其他因素.记余下工程的费用为y万元.(1)试写出y关于x的函数关系式;(2)当m=640米时,需新建多少个桥墩才能使y最小?解:(1)设需新建n个桥墩,则(n+1)x=m,即,(2)由(1)知, 令得,所以x=64.当0x64时,f(x)0,f(x)在区间(0,64)内为减函数;当64x0,f(x)在区间(64,640)内为增函数.所以f(x)在x=64处取得最小值.此时故需新建9个桥墩才能使y最小.3.(2008江苏)如图,某地有三家工厂,分别位于矩形ABCD的两个顶点A、B及CD的中点P处,AB=20 km,BC=10 k
3、m.为了处理三家工厂的污水,现要在该矩形区域上(含边界),且与A、B等距离的一点O处建造一个污水处理厂,并铺设三条排污管道AO、BO、PO.记排污管道的总长度为y km.(1)按下列要求建立函数关系:设BAO=(rad),将y表示为的函数;设PO=x(km),将y表示为x的函数.(2)请你选用(1)中的一个函数关系,确定污水处理厂的位置,使铺设的排污管道的总长度最短.解:(1)如图,延长PO交AB于点Q,由题设可知BQ=AQ=AB=10,AO=BO,PO=10-OQ.在RtAQO中,AO=,OQ=10tan ,所以y=AO+BO+PO=+10-10tan .又易知0,故y用表示的函数为y=-10tan +10(0).由题设可知,在RtAQO中,则y=AO+BO+PO=显然0x10,所以y用x表示的函数为(2)选用(1)中的函数关系y=-10tan +10(0)来确定符合要求的污水处理厂的位置.因为y=-10tan +10=-10+10,所以由因为0,所以=.当0,时,y0,所以函数y在=时取得极小值,这个极小值就是函数y在上的最小值.当=时,AO=BO=(km
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