第三章习题答案1

1、数字信号处理学习拓展31 画出级联型网络结构。解：32 画出级联型网络结构。解：33 已知某三阶数字滤波器的系统函数为，试画出其并联型网络结构。解：将系统函数表达为实系数一阶，二阶子系统之和，即：由上式可以画出并联型结构如题3-3图所示：题3-3图34 已知一FIR滤波器的系统函数为，画出该FIR滤波器的线性相位结构。解： 因为，所以由第二类线性相位结构画出该滤波器的线性相位结构，如题3-4图所示：题3-4图35 已知一个FIR系统的转移函数为：求用级联形式实现的结构流图并用MATLAB画出其零点分布及其频率响应曲线。解： 由转移函数可知，且偶对称，故为线性相位系统，共有5个零点，为5阶系统，

2、因而必存在一个一阶系统，即为系统的零点。而最高阶的系数为+1，所以为其零点。中包含项。所以：。 为一四阶子系统，设，代入等式，两边相等求得，得出系统全部零点，如图3-5（b）所示。 系统流图如题3-5（a）图所示。题3-5（a）图MATLAB程序如下，结果如题3-5（b）图所示： b=1 1.25 -2.75 -2.75 1.25 1; a=1; figure(1) zplane(b,a); figure(2); OMEGA=-pi:pi/100:pi; H=freqz(b,a,OMEGA);subplot(2,1,1),plot(OMEGA,abs(H);subplot(2,1,2),plo

3、t(OMEGA,180/pi*unwrap(angle(H);题3-5（b）图36 给定，确定模拟滤波器的系统函数。解：根据给定的平方幅度响应，得与比较，得到。取左半平面的三个极点，得，极点； ，极点；因此由，得对共轭极点，有代入上式，得37 模拟低通滤波器的参数如下：，用巴特沃斯近似求。解：已知，确定巴特沃斯滤波器的阶数如下： 取 。本题由于正好是，故低通滤波器的截止频率为：或者，由下式来求取。将代入五阶巴特沃斯模拟低通传递函数38 已知，使用脉冲响应不变法和双线性方法分别设计数字低通滤波器，使得截止频率为=。解：（1）双线性变换法：3截止频率为=，于是 =0.2920参数不参与设计（2）脉

4、冲响应不变法：3截止频率为=，于是因为脉冲响应不变法是由下面的映射完成的：所以39 用脉冲响应不变法将转换为，采样周期为，其中为任意整数解： 上式递推可得：310 要求设计一个数字低通滤波器，在频率低于的范围内，低通幅度特性为常数，并且不低于0.75，在频率和之间，阻带衰减至少为20。试求出满足这些指标的最低阶巴特沃斯滤波器的传递函数，采用双线性变换。解：令为模拟滤波器的平方幅度函数，且由于采用双线性变换，若，故我们要求因此巴特沃斯滤波器的形式为：所以因此：指标放松一点，可以取，代入上式得对于这个值，通带技术指标基本达到，阻带技术指标刚好满足，在s平面左半部由三个极点对，其坐标为。极点对1：；

5、极点对2：；极点对3：。于是以代入上式，最后可得311 试设计一巴特沃斯数字低通滤波器，设计指标为：在0.3通带频率范围内，通带幅度波动小于1，在0.5阻带频率范围内，阻带衰减大于12。解： 由题意可以得出： 0.3 , 1 0.5 , 12（1）频率预畸变 1.019/ 2/（2）确定滤波器阶数： 0.1321 1.9627 3.002 ， 取 3（3）查表求归一化低通滤波器函数 （4）求模拟滤波器系统函数（） (5) 求系统函数将 代入得：=312 用双线性变换法设计数字低通滤波器，等效模拟滤波器指标参数如下：输入模拟信号的最高频率；选用巴特沃斯滤波器，3截止频率，阻带截止频率，阻带最小衰

6、减20。解：（1）因为采用双线性变换法设计，数字频率与相应的模拟频率之间为非线性关系。但采样数字滤波器要求其中的数字滤波器与总等效模拟滤波器之间的频率映射关系为线性关系。所以，不能直接按等效模拟滤波器技术指标设计相应模拟滤波器，再将其双线性变换法映射成数字滤波器。因此，我们必须按将等效模拟滤波器指标参数转换成采样数字滤波器系统中数字滤波器指标参数，再用双线性变换法的一般步骤设计该数字滤波器。通带边界频率：；通带最大衰减：3 阻带截至频率：；阻带最小衰减：20 以下为双线性变换法设计数字滤波器的一般过程。（2）预畸变校正，确定相应的模拟滤波器指标参数：800800，3 8001931.37，20

7、（3）确定滤波器阶数：0.10032.4142.609取 3。（4）查表求归一化低通滤波器函数（5）求模拟滤波器系统函数 (6) 求系统函数313 试设计一个数字高通滤波器，要求通带下限频率rad。阻带上限频率为，通带衰减不大于3，阻带衰减不小于20。 解：（1）已知数字高通滤波器指标：0.8rad ， 30.44rad ， 20 （2）由于设计的是高通数字滤波器，所以采用双线性变换法，所以要进行预畸变校正，确定相应的模拟高通滤波器指标（为了计算方便，取T2s）：3.0777rad/s 0.8273rad/s（3）将高通滤波器指标转换成模拟低通指标。高通归一边界频率为（本题）：1低通指标为：1

8、3.7203（4）设计归一化低通: 0.1003 3.7203 1.75，取2查表可得（5）频率变换，求模拟高通： （6）用双线性变换法将转换成： |s3-14 一个数字系统的抽样频率，试设计一个为此系统使用的带通数字滤波器，希望采用巴特沃斯滤波器，通带范围为到，在带边频率处的衰减不大于3；在以下和以上衰减不小18。解：（1）确定带通滤波器技术指标：因为，所以得出： ， ， 通带内最大衰减，阻带内最小衰减。（2）确定相应模拟滤波器技术指标。为计算简单，设。 通带中心频率 带宽 将以上边界频率对归一化，得到相应归一化带通边界频率： ， ， （3）由归一化带通指标确定相应模拟归一化低通技术指标。归

9、一化阻带截止频率为：归一化通带截止频率为， （4）设计模拟归一化低通 取，因为1.9394很接近2，所以取基本满足要求，且系统简单。查表可得归一化低通系统函数：（5）频率变换，将转换成模拟带通（6）用双线性变换公式将转换成 3-15 一个数字系统的抽样频率为1000,已知该系统受到频率为100的噪声干扰，现设计一带阻滤波器去掉该噪声。要求3的带边频率为95和105，阻带衰减不小于14，阻带的下边和上边频率分别为99和101。解： （1）确定带阻滤波器技术指标：因为，所以得出： ， ， 通带内最大衰减，阻带内最小衰减。（2）确定相应模拟滤波器技术指标。为计算简单，设。 阻带中心频率 带阻带宽 将

10、以上边界频率对归一化，得到相应归一化带阻边界频率： ， ， （3）由归一化带阻指标确定相应模拟归一化低通技术指标。归一化阻带截止频率为：，取，。（4）设计模拟归一化低通， 取，因为1.055很接近1，所以取，基本满足要求，且系统简单。查表可得归一化低通系统函数：（5）频率变换，将转换成模拟带阻（6）用双线性变换公式将转换成=316 试用矩形窗口设计法设计一个FIR线形相位低通数字滤波器，已知，。画出和曲线，再计算正、负肩峰值的位置和过渡带宽度。解： 写出理想的频响为 求得理想冲激响应为 计算得加矩形窗： 所以即正、负肩峰值的位置如题3-16表所示。题3-16表轴上的位置值正肩峰（A点）临界频率

11、（B点）负肩峰（C点）过渡带宽度为利用MATLAB演示其结果如题3-16图所示：N=21;a=(N-1)/2;Wc=0.5*pi;n=0:1:(N-1);m=n-a+eps;避免被零除hd=sin(Wc*m)./(pi*m);H1,W=freqz(hd,1);figure(1);subplot(211);stem(n,hd);xlabel(n);ylabel(h(n);subplot(212);plot(W/pi,20*log10(abs(H1)/max(H1);xlabel(频率);ylabel(幅频响应);题3-16图 加矩形窗时的脉冲响应及其频谱图317 试用窗函数法设计一个第一类线性相

12、位FIR数字高通滤波器，已知，对于矩形窗，过渡带宽度为。（1）确定的长度；（2）求的表达式；（3）？解： （1） 偶数，取=65 (2) (3) 318 用矩形窗设计线性相位数字低通滤波器，理想滤波器传输函数为：（1）求出相应的理想低通滤波器的单位脉冲响应。（2）求出用矩形窗函数法设计的FIR滤波器的表达式。 解：（1） （2）为满足线性相位条件，要求，为矩形窗函数的长度。加矩形窗函数得。319 用矩形窗设计线性相位高通滤波器，逼近滤波器传输函数为 （1） 求出相应于理想低通的单位脉冲响应； （2） 求出矩形窗设计法的表达式，确定与之间的关系；（3） 的取值有什么限制？为什么？解： （1） 直

13、接IDTFT计算：表达式中第2项正好是截止频率为的理想低通滤波器的单位脉冲相应。而对应于一个线性相位全通滤波器：即高通滤波器可由全通滤波器减去低通滤波器实现。（2）用N表示为了满足线性相位条件：要求满足（3）必须取奇数。因为N为偶数时（情况2），0，不能实现高通。320 使用频率取样设计法（第一种形式取样）设计一个FIR线性相位低通数字滤波器。已知。解： 理想低通0到和到处幅度函数为1，其余为0。采样频率间隔为，的位置在，即和之间，其对称点位置是，即和之间。对理想低通采样，可得 第一类FIR DF的相位特性为 综合幅度和相位，FIR DF的离散频域抽样值为 321 用频率采样法设计第一类线性相

14、位FIR低通滤波器，要求通带截止频率 =，阻带最大衰减25，过渡带宽度=，问滤波器长度至少为多少才可能满足要求解： 因为阻带最大衰减为25 所以需要一个过渡点即 ，所以得出滤波器长度为322 利用频率采样法设计线性相位FIR低通滤波器，设N16，给定希望逼近滤波器的幅度采样为解：有希望逼近的滤波器幅度采样可构造出的：IDFT= = 阻带最小衰减接近40dB。323 一个IIR网络的差分方程为，当输入序列时。（1） 试求在无限精度运算下网络输出,以及时的输出稳态值。（2） 当网络采用位字长的定点运算时，尾数采取截尾处理，试计算以内点输出值。并求其稳态响应。解： （1）由题中已知条件，可以得到该系

15、统的系统函数 因此 故 （2）为了求，我们首先求出，可以用下式进行迭代未量化则有： 量化后，有 可见其稳态响应值为，所以实际实现时稳态值为。324 在用模型表示数字滤波器中舍入和截尾效应时，把量化变量表示，式中 表示舍入或截尾操作，表示量化误差。在适当的假定条件下，可以假设是白噪声序列，即。舍入误差的一阶概率分别是如题3-24（a）图所示的均匀分布，截尾误差是如题3-24（b）图所示的均匀分布。 题3-24图 （1） 求输入噪声的均值和方差。（2） 求截尾噪声的均值和方差。解：（1）舍入噪声的均值和方差分别为：（2）用相似的方法可以求得，截尾噪声的均值和方差分别为 325 一因果LTI系统有系

16、统函数为 该系统稳定吗？若对系统系数小数点后第二位按“四舍五入”舍入，所得系统是稳定的吗？解： matlab演示程序如下：% 系统稳定性演示程序% 设a,b分别是系统的零点极点系数% 设z,p,k为系统的零点，极点和增益系数a=1,0,0;b=1,-0.08,0.96;%求系统的零点极点z,p,k=tf2zp(a,b)；%画出系统的零点极点图figure(1)zplane(a,b);%-系统系数经过四舍五入-a=1,0,0;b=1,-0.08,0.96;%对小数后第二位四舍五入后零点极点系数a1,b1temp_a=a*10;temp_b=b*10;a1=round(temp_a)/10;b1=

17、round(temp_b)/10;%求系统的零点极点z,p,k=tf2zp(a1,b1)；%画出系统的零点极点图figure(2)zplane(a1,b1);程序结果显示：原系统极点为：，经过四舍五入之后：，极点零点如题3-25图所示，原系统两极点在单位圆内，系统稳定。当系统经过四舍五入，系统极点位于单位圆上，系统处于非稳定的临界状态。题3-25（a）图题3-25（b）图326 理想离散时间Hilbert变换器是一个对引入-90相移，而对引入+90相移的系统，其频响幅度为常量（单位1），这类系统也称为90移相器。(1) 试举出一个理想离散时间Hilbert变换器的理想频率响应，并画出该系统在的

18、相位响应曲线。(2) 可用哪类FIR线性相位系统来逼近(1)中的理想Hilbert变换器？(3) 假设用窗函数法设计一个逼近理想Hilbert变换器的线性相位系统，若FIR是当和时，试利用(1)中给出的求理想脉冲响应。(4) 当时该系统的延迟是多少？若采用矩形窗，试画出在这种情况下的FIR逼近的频率响应之幅度曲线。解： （1）（2）只能用，型FIR去进行逼近，因为必然是奇对称的。（是虚奇对称的）（3） （4）当时，系统的延迟为个样本，采用矩形窗的FIR逼近频响幅度，相位曲线如题3-26图所示。 补充一个采用21点（），的Kaiser窗设计结果，以便与（3）中所得结果进行比较。，%320clear all;close all;M=21;n1=0:M;h1=(n1-(M/2)*pi/2).*(sinc(n1-(M/2)/2).2);n11=0:(100*(M+1)-1);H1=fft(h1,100*(M+1);figuresubplot(3,1,1)stem(n1,h1,.);grid ontitle(M=21点时FIR逼近的时域特性)subplot(3,1,2)plot(n11,abs(H1)grid ontitle(M=21点时FIR逼近的幅度特性)subplot(3,1,3)plot(n11,angle(H1