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文档简介
1、第四章地球的正常重力场重力测量结果说明, 地球在其外表上的重力分布是有规律的;总的说来,它由赤道向两极逐渐增加,由赤道上的 978Gal逐渐增加到两极的983Gal.在大地测量中,参数适宜的旋 转椭球是地面点坐标的参考架,当参考椭球选定后,大地水准面相对参考椭球面的起伏不超过110m,起伏只占参考椭球赤道半径的2X10-6.因而自然想到,用质量等于地球总质量、以地球自转角速度绕其极半径旋转的旋转椭球来模拟真实地球,用这种地球模型正常场地球模型,在其外表上和外部空间产生的重力场称为地球的正常重力场.当正常场地球模型 在地球内部定位后,地球的重力场可以分解为两局部,一局部是正常场地球模型在该点产生
2、的重力场,第二局部为真实地球与正常场地球模型的密度分布不同在该点产生的重力场;前者称为地球在该点产生的正常重力场,后者称为地球在该点产生的重力异常场.重力测量结果说明,当正常场地球模型选择适宜后,大地水准面上的重力异常场不超过150 mGal,约占地球正常重力场的 1X10-42 X10-4.地球的重力异常场虽只占地球重力场的万分之一二,但它却包含了有关地球内部结构和大地水准面形状的重要信息,因而研究地球重力异常场空间分布规律以及它们与地球内部结构和大地水准面形状之间的关系已成为重力测量的重要目 的之一.根据第三章的结果,本章给出正常场地球模型在旋转椭球面上产生的重力、正常重力位二次导数张量以
3、及它在其外部空间产生的大地位球函数展开系数.4.1旋转椭球的几何参数引入笛卡尔直角坐标系 OX1X2X3,坐标原点O置于旋转椭球的中央,0X3沿其极半径,0xX2在其赤道平面内,那么旋转椭球面的方程为其子午椭圆的方程为4, L 】4.1.:其中a、c分别为旋转椭球的赤道半径和极半径,它们是决定旋转椭球形状的两个几何参数.考虑到参考椭球的赤道半径 a和极半径c相差很小,其扁率a约为3X10-3量级,因而参考椭 球的子午椭圆与圆非常接近,为了讨论问题方便,对子午椭圆常引入下面几个几何参数:子午椭圆的扁率子午椭圆的焦距子午椭圆的第一偏心率子午椭圆的第二偏心率子午椭圆的扁率a、第一偏心率e、第二偏心率
4、e'有下述关系(4.14,a)2 x 2a尸泌(1 + *) = 2 征 + 3.'图4 1-1旋转椭歧的子午嘲圆队.分别为赤西事役K楹半籍* 口, H汁狙为手牛桃费上蛀一点工的堪心纬度和大地坏度A点子午椭圆的法线A点的地心纬,有如图4.1.1所示,OA与Ox轴之间的角度 平0为A点的地心纬度,与Ox轴之间的角度 B称为A点的大地纬度,由于子午椭圆与圆非常接近,度和大地纬度相差很小,其差约为子午椭圆扁率的量级.在图4.1.1中长=cctB(4. L 5)根据(4.1.2)式,有X rcosfc,(41.6)尤a = rsin 啊 J因而有U = cot 乳 衣=寥项=_护啊nU
5、 Ur jU将上式代入(4.1.5)式,得(4. L 7)tanB =综 an%大地纬度和地心纬度相差很小,根据(4.1.6)式相对应的(3.2-1.6)式中的3.2-1.6)式可以求出它们之间的相互换算关系,与 p、q分别为?=金1 + " q = £ * ; k 2®因而有8 =检十2项n制(4. 1. 8)% = B 2asin2/i(4 L 9)考虑到子午椭圆的扁率 a约为为3X10-3量级,有时将子午椭圆的方程写成极坐标的方式比 较方便.将(4.1.6)式代入(4.1.2)式,把子午椭圆的直角坐标方程(4.1.2)写成极坐标的形式,考虑到C=a(1a),
6、有(4.1.10)/伉s% +芬一% =尸I(1 一 a) J由于(1 . J =】* % + 3 跋 + (4. b 11:将(4.1.11)式代入(4.1.10)式,化简,舍去高"a 3的项,即舍去小于 30 X10-9的项,得3尸="(1 一 ffsin的 -a!sin22?4j) o(4 h 12)在(4.1.12)式中用大地纬度代替地心纬度,根据(4.1.9)式,舍去含高于 口3的项,即舍去小于30 X10-9的项,有r = a( asin'2# 十-|-a2sin222f)o参考椭球面上大地纬度为B的子午椭圆的曲率半径(4- 1- 13)M和卯酉圈的曲率
7、半径N的数学表达式分别为-翌二":(1 脂 in'ZOiN =色(1 ersinEB)i (4 L 14)4.2索米格兰纳(Somigliana)正常重力公式正常场地球模型在其外表上产生的重力矢量是正常重力位在此外表上的梯度,考虑到旋转椭球面是正常场地球模型的一个重力等位面,因而正常场地球模型在其外表上产生的重力矢量应垂直于旋转椭球面,亦即hvdtl(4. 2* 1)其中eu、hu分别为坐标u的单位坐标基矢量和它的拉梅系数,根据(3.2.9)式,旋转椭球面上u =c上的拉梅系数为弓2斜 ± 时*(4. 2. 2)其中置、中分别为改化余纬和改化纬度.习惯上正常重力矢量
8、的方向约定为-6 ,即约定它指向旋转椭球内部为正,那么参考椭球在其外表上产生的正常重力等于正常重力矢量在-ei方向上的投影,即 77')=一厂云化)(牝23)ftp(4.2.3)式称为正常重力公式.在旋转椭球体的重力位表达式(3.3.25)式中用改化纬度代替改化余纬,考虑到 F2(sin中9为sin平的二阶勒让德多项式,可以把(3.3.25)式写成根据(3.3.25)式,有/(«)pWs常*扣甘+/)K编.-arcan 兰p(li)kM-k(42 5)q(u)=+ 1 arctan 一 一 3 厂u E将4.2.2、4.2.4式代入4.2.3式,得y(w) =i (c)co5
9、£r + g(c)siir.myiii'弼 |- c2cos?) ?3.26)用'4、分别表示赤道上和两级的正常重力,根据兀=Jf Q,p = g.,将4.2.7式代入4.2.6式,得药“CQS0r +/ H 8 dssin2?> + 疽 +根据3.2-1.3式、4.1.7式,可以求出大地纬度4.2.6式,有4. 2.74 2. 8B和改化纬度平w之间的关系,它们是tan% =(4- 2- 9)将4.2.9式代入4.2.8式,化简得到以带地纬度v,L?、-及*眼法 + C/in%/ rS -aCQs'8 + /sin 油TB为变量的正常重力公式,它为&l
10、t;42104.2.10式是意大利人索米格兰纳于1929年导出的,它称为索米格兰纳正常重力公式.4.3展成级数形式的正常重力公式,克雷诺 Clairaut 定理斯托克斯定理说明,正常场地球模型的赤道半径a、扁率a、总质量M和旋转角速度唯一地决定了旋转椭球在其外表上和外部空间产生的重力场.正常重力公式4.2.10式给出了以大地纬度为变量、以赤道上和两极重力为参数的正常场地球模型在其外表上的重力分布;因而赤道上和两极的正常重力应决定于它的总质、赤道半径、扁率及其自转角速度这四个参数.将4.2.5式中fu gu的表达式代入4.2.7式,得6q/)Pt G +烦/购3q(.c) I根据(4.2.5)式
11、,有(4. 3 根据(3.3.19)式,有(433:土习(一1) 2 + 3当u = c时,即在旋转椭球面上,有(4.34)e'为子午椭圆的第二偏心率,将(4.3.4)式代入(3.3.19)式、(4.3.3)式,化简得根据(4.3.5)式,可以求出q(c)/q'(c),社区其中的高于e'2的项,得(4. 3. 6)将(4.3.2)、(4.3.6)式代入(4.3.1)式,化简得到赤道上和两极处的正常重力,即kM(4.3.7)kM其中3 X10m约等于赤道上的离心力与地球重力的比值,它的量级与旋转椭球的扁率相当,约为-3,考虑到(4. 3. 8)将(4.3.8)式代入(4.
12、3.7)式,社区含高于 .2的项,得(4, 3-95133-+用 + *伸1<1<?'7I根据4.3.9式,可以得出正常场地球模型的总质量M与它在赤道上的重力 L、旋转椭球的几何参数a、c以及它的自转角速度 与之间的关系:成="儿 1 + ym + 号mo4. 3. 10将4.3.10式中的正常场地球模型的赞哦高质量 M的表达式代入3.3.27式,化简,舍 去含高于a2的项,得出正常场地球模型在其外表上产生的重力位 U.,它与赤道上的重力 L 以及旋转椭球的几何参数 a、ot和地球自转角速度 .之间的关系为U = "J 1 +少一如+脚隹一K 普*% 奴
13、311用E表示正常场地球模型的重力扁率,它等于两极的重力与赤道上的重力的差与赤道上的 重力的比值,即(4312)正常场地球模型的重力扁率P约为5X10-3,它是子午椭圆扁率 a的量级,因而把正常重力公式4.2.10写成子午椭圆扁率 «的级数形式比拟方便.为此,把4.2.10式写成而(4. 3. 13:就",633 i/ + 曲 A 7ma I ZTri 尸|=i6"33(1 2°房舟)I + v +寻机叫I 1 +乏m +g4mi-2. i号辑一峰昨十?,/ 33 3,14)将4.3.14式代入4.3.13式,化简得V = 7,.26.15 ; , a-
14、“ 2ma -Inv 十 o74 -I» =S=r = 一( = (2.一静)血 +sin2 2?将上式展成0的级数,社区含高于 0 2的项,得y = " I + 号皑 一 q yMa + ?履 + a2 sin2B +其中sin*B4( +四曲1?88饵卜8)(4.3. 15)(4. 3 16从4.3.16式中可以看出,正常场地球模型的重力扁率E和旋转椭球的扁率"有下述关系:(4. 3. 1717 L 15二林 + -m144表示a和P之间关系的4.3.17式称为克雷诺定理.4.4地球的正常重力位二次导数张虽引入局部坐标系 0X1X2 X3,坐标原点O选在正常场
15、地球模型外表上任一点,0X3轴垂直向下沿该点的正常重力方向, 0x1向北,0x2向东,在这种局部坐标系内,根据1.9.7式、1.9.8式,正常重力位的二次导数张量在原点.的两个分量U11、U22的表达式分别为/J =_ 萨.4. 1)其中丫为.点的正常重力, m为子午椭圆在.点的曲率半径, n为旋转椭球面在 .点的 卯酉圈的曲率半径. 将M、N的表达式4.1.14式以及正常重力公式 4.3.15代入4.4.1 式,社区含该与a2的项,得Ei = (1 + 2.)(1 + (B £7yIUit =-J把准确至旋转椭球扁率 a量级的克雷诺定理(4.3.17)式写成q 5ar -I- p
16、= m将(4.4.3)式代入(4.4.2)式,得Lf i 51 . . C7, =(1 + 2a) 1 + m M )ilJ IU" = H + I 4 m .一 2a i 成" 日 I. 2J正常重力位在其外表上满足泊松方程V七=2少(44 2)(4* 4.3)(4- 4. 4)将4.4.4式代入4.4.5式,化简得U皿=2叫'+苛1 +住1十在m的表达式4.3.6式中舍去含高于 a2的项,有即m等于赤道上的离心力与赤道上的正常重力的比值.将'A 一 2去含局于a的项,碍fl 卜 X + s 士. 3sinFU地球正常重力的垂直梯度 等于-U*,即;:h
17、33(4, 4.5(4. 4. 6)(4, 4. 7)4.4.7式代入4.4.6式,舍L8)2/4 4. 91 + I 顼1 + ti子午椭圆式旋转椭球的主法截线,在所选定的局部直角坐标系内,子午椭圆所在的平面为南北平面,它的方位角等于0,根据1.9.9式,与重力等位面主法截线位置有关的正常重力位二次导数张量分量U12应等于0,即=°E 4. 10在所选定的局部直角坐标系内, 正常重力与经度无关,它与坐标x2无关,因而在坐标原点 O的重力水平梯度东西分量 U23应等于0,即4.4.11.京.=V = o而重力水平梯度的南北分量为arMdB将M的表达式4.1.14式、正常重力公式4.3
18、.14式代入上式,舍去含高于口2的项,得_y BS/Q方1 + 2. -1.8.6式说明,正常场地球模型垂线在O点的曲率矢量决定于该点的正常重力水平梯度,将4.4.11式、4.4.12式和正常重力公式4.3.15式代入1.8.6式,化简得n 3 .方=口 + 2&1/? + 3osin'Hsin2应|其中,P为正常场地球模型垂线的曲率半径,n为指向垂线弯曲方向的单位矢量.4.5正常大地位的球函数展开地球在其外部空间产生的引力位称为它的大地位.大地位的球函数展开是大地位的重要表示方法、随着空间技术的开展和地面重力测量结果不断积累、确定大地位球函数展开的阶数及其系数的精度越来越高、
19、为了与地球的大地位球函数展开进行比照,需要知道正常大地位的球函数展开.选取地心直角坐标系 OX1X2X3,坐标原点选在正常场地球模型的质心,OX3轴沿它的旋 转轴,OX1X2在赤道平面内,根据3.3.25式,正常大地位与经度无关,且对赤道面对称,用缶表示空间点的地心余纬,那么正常场大地位球函数展开中只应有cos 8 0的偶阶勒让德多项式P2n(cos%),根据(2.2.18)式,正常大地位 V(r)的形式应为:V(r)- r1 +Jl = l r I 其中,M、a为正常场地球模型的质量和赤道半径,用A、C分别表示正常场地球模型对Ox轴和其自转轴的转动惯量,贝U根据(2.3.4)式,有A - C
20、 Ma(4. 5由于C aA,所以A-C为一负值,为了使正常大地位球函数展开中的二阶项系数为一正数, 习惯上常把(4.5.1)式写成咎Tr=lV (r)=(4*5*3)J 2称为地球的动力学形状因子.将q(u)的表达式(3.3.19)iff、 kM kM .V(F)= + £习(I即M(_g' II其中,ktvT = &式代入(3.3.26)式化简,得出大地位表达式:2n + LI & jL _叩- in l u _矿财% Ipr计I.1 - 1南质1- 3C27T3)翁财她)3、54(4. 5. 5)e'为参考椭球子午椭圆的第二偏心率.根据正常场大地
21、位的表达式(4.5.4)式,可以求出它的大地位球函数展开(4.5.3)式中的系数J2n.在两极处,即当地心余纬等于0时,此时改化余纬也应等于0,且椭球坐标U等于r , (4.5.3)式、(4.5.4)式变为(4- 5. 6)1 - 5、一 ) + 】I W 2n + 14n比照(4.5.6)式、(4.5.7)式,得出正常大地位球函数展开系数:=(-IL -'2n + 11.一 地":U2« + 3) q(c) J其中,e为参考椭球子午椭圆的第一偏心率.当n=1时,有4 rnef j15g)!从上式得出次-151' J27; r 1、3 7q<c) 4
22、I, /将4.5.10式代入4.5.8式,化简得八=(一】广一'(2« + 1)(23)| 1 一 此 + 5理*(4. 5- 9)(4. 5 10)(4.5.11)4.5.11式说明,正常大地位球函数闸门开系数J2n随着其阶数n的增加按子午椭圆扁率的2n次藉迅速减小.根据3.3.19式,得将4.5.12式代入4.5.9式,化简,舍去含高于二2的项,得(4. 5.12?"当1 + ¥亦(4. 5- 13)4.5.13式说明,正常大地位球函数展开二阶项系数J2与子午椭圆的扁率 "和参数m有简单的代数关系,根据4.5.13式,可以根据动力形状因子J2
23、确定参考椭球的扁率 a .4.6正常重力公式正常场地球模型有四个独立参数:地心引力常数kM、参考椭球的赤道半径 a、扁率a和它的旋转角速度 仁,给定这四个参数,就可以根据4.3.7式、4.3.15式,计算出参考椭球在它外表上的重力分布.地球的旋转角速度们可以精确地确定,由于其他三个参数的选择不同,历史上曾出现过很多正常重力公式,下面给出我国采用的两个正常重力公式:1赫尔默Helmert正常重力公式,2 1930国际正常重力公式,以及与 1980大地参 考系对应的正常重力公式和大地位系数.1.赫尔默Helmert正常重力公式德国人赫尔默于1901年根据当时波斯坦系统的几千个重力测量结果,计算出赤
24、道上的正常重力;'e,重力扁率 臼和系数61,由这三个参数决定的正常重力公式为:(4- 6 1)7 = "8 030(1 + 0. 005 302 疝/ 8 0. 000 007 sit? 2B) (Gal)(4.6.1)式称为赫尔默正常重力公式.根据重力扁率E,利用克雷诺定理(4.3.17),可以计算出与赫尔默正常场地球模型相对应的参考椭球的扁率a ,它等于1/298.3,这个扁率与我国大地坐标系采用的克拉索夫参考椭球的扁率相等,所以我国、原苏联、东欧一些国家均采用过赫尔默正常重力公式,与其相对应的克拉索夫参考椭球的赤道半径a和扁率a分别为<4. 6-2a = 6 3
25、78 24S m 仁=1/298. 32.国际参考椭球及1930国际正常重力公式美国人海福特(Hayford )于1909年根据美国当时的大地测量结果给出了一个参考椭球,它的赤道半径 a和扁率ot分别为(4.札3)1 = 6 378 388 e 仃=3/297. 0国际大地测量和地球物理联合会于1924年将上述参考椭球定义为国际参考椭球.芬兰人海斯卡宁(Heiskanen)于1928年根据当时的重力测量结果计算出正常场地球模型赤道上的重 力'4 ,它的值为兀=978- 049 Gal并将正常场地球模型的自转角速度取为地球的自转角速度,它的值为m = 0. 729 211 51 X 10
26、一侦"把上述由实际观测结果确定的四个独立参数a、ot、七、与取为正常地球模型的参数,此时与正常场地球模型相对应的参考椭球的其他导出参数c、E、e、m、U、kM可以根据这四个独立参数利用本章相应公式计算出来,它们分别为356 91L 9 m参考椭球的极半径匕=5跛976. 1 m参考棉球的焦距006 768 17/为参考椭球的第二偏心率m=0. 003 449 86263 97& 7 n?/"正常场地球模型在参考椭球面上的引力位砧986 329X地心引力常数& = 6.67X10-5%-%万有引力常数财=5"X "kg地球的质量根据(4.3
27、.15)式,重力扁率 6和系数用分别为8=0. CO5 288 色=0. 000 005 9相对应的正常重力公式为Z = 978- 049(1 + 0. 005 288 4 sin】8 - 0. 000 005 9 sin2 2 8) (Gal)(牝 6. 4)国际大地测量与地球物理联合会于1930年将(4.6.4)式定位国际正常重力公式.3.1980大地参考系及与其相对应的正常重力公式随着空间技术的开展,可以根据卫星轨道根数及其变化确定地心引力常数kM及地球的动力形状因子J 2这两个参数,因而近代正常场地球模型多用地心引力常数kM、动力形状因子J2、地球的赤道半径 a、旋转角速度co四个独立
28、参数给出.国际大地测量和地球物理联合会于1979年通过了 1980大地参考系 四个独立参数为o = 6 378 147m= 3. 986 005 X mS 2L = 108 263 X小=0. 729 211 51 X 0一-】与1980大地参考系相对应的正常场地球模型的参考椭球的赤道半栓地心引力常数动力形状因子I"MM;地球的自转角速度,参考椭球的极半径参考桶球子午椭圆的焦距,为参考椭球子午椭圆的第偏心率/为参考椭球子午椭圆的第二偏心率参考椭球的扁室参考椭球扁率的倒数根据(4.6.5)式给出的正常场地球模型的四个独立参数,可以导出参考椭球的有关几何参数和正常场地球模型的物理参数,参
29、数椭球的导出几何参数为< = 6 356 752. 314 1 mE = 521 584 009 7 m小0, 006 691022 9.t?f = 0* 006 739 4% 775 48 a = 0. 003 352 810 681 18 1/.= 29& 257 222 101正常场地球模型的导出物理参数为b" = 6 263 68A 058 0“h = 一 0. 000 002 370 912 22 Ji = 6. 000 000 006 083 47 孔=-0. 000 000 000 014 27) 梆=0- 003 449 786 003 OS L = 9
30、78- 032 677 15 Gal ,p %3, 218 636 85 Gal fl = 0,005 302 440 112 ft = 0, 000 005 851E常场地球模型在参考椭球面上的重力位大地位系数= 2ac/kM赤道上的正常重力两极的正常重力重力扁率与1980大地参考系相对应的正常重力公式为7 = 978, 032 7(1 + 0. 005 302 44 sin- B - 0, 000 005 85 sin2 2B) (Gal) (4. 6. G与1980大地参考系相对应的平均重力丫.为儿=979. 764 5 (Gal)(农 6. 7:1980大地参考系相对应的正常重力公式(
31、4.6.6)式与国际正常重力公式(4.6.4)式之间的换算公式为1 做 】如=(16-3 + 13-7 sin? B) (mGal)(4* & 8)这两个正常重力公式之间的差异主要有两个原因:(1)计算1930国际正常公式的参数时,利用了当时的波斯坦重力系统重力测量数据,而于18891905年利用可倒摆在波斯坦所作的重力测量比真值大了 14mGal,即当时的波斯坦绝对重力测量有-14mGal的绝对误差,(2)1930国际参考椭球的扁率略大于 1980大地参考椭球的扁率.这三个正常重力公式的参数如表4.6.1所示,表4.6.2为与1980大地参考系相对应的正常重力值.表4.血1正常密力公
32、谈表式名林林尔默诉正常重力公式商不标琳一19011敬0 i-屐""一一 _正常重力公式_97fi.(1+0. OO& 302 ,tin0.000 007 sih19£> (葺 一0-003 J_5_5j= J竺83g 049 lE而顽4种A明55 9枷恕言7gS>tf -=0. W3 ()- 7297, oo如& " ? t i +0. 005 302 44 sinF 夕项疏 005 B sin耳而.=吹 003 352 810=L/2M. 257大地位寒敖/ =0, 00£ 083 153人=S 00.002 37
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