专题一等腰三角形的存在性问题

1、专题练习一等腰三角形的存在性问题专题攻略如果 ABC是等腰三角形,那么存在 AB= AC,BA= BC,CA = CB三种情况.腰长(两定一动)：分别以两腰的顶点为圆心,腰长为半径画圆；底边(两定一动：)画底边的垂直平分线.解等腰三角形的存在性问题,有几何法和代数法,把几何法和代数法相结合, 可以使得解题又好又快.几何法一般分三步：分类、画图、计算.代数法一般也分三步：罗列三边长,分类列方程,解方程并检验.针对练习1、如图,在平面直角坐标系xOy中,点D在坐标为(3, 4),点P是x轴正半轴上的一个动点,如果 DOP是等腰三角形,求点 P的坐标.2、如图,直线y=3x+3交x轴于A点,交y轴于

2、B点,过A、B两点的抛物线交x轴于另一点C (3,0).(1)、求A B的坐标；(2) 、求抛物线的解析式；(3) 在抛物线的对称轴上是否存在点.,使 ABQ是等腰三角形？假设存在,求出符合条件的Q点坐标；假设不存在,请说明理由.3、如图,在矩形 ABCD中,AB = 6, BC = 8,动点P以2个单位/秒的速度从点 A出发,沿AC向点C移 动,同时动点Q以1个单位/秒的速度从点 C出发,沿CB向点B移动,当P、Q两点中其中一点到达终点 时那么停止运动.在 P、Q两点移动过程中,当 PQC为等腰三角形时,求 t的值.4、如图,直线y= 2x+ 2与x轴交于点A,与y轴交于点B,点P是x轴正半

3、轴上的一个动点,直线 PQ 与直线AB垂直,交y轴于点Q,如果 APQ是等腰三角形,求点 P的坐标.A D C上的一个动点(点 E与点A不5、如下图,矩形 ABCD中,AB=4 , BC=4占,点E是折线段重合),点P是点A关于BE的对称点.在点 E运动的过程中,使 PCB为等腰三角形的点 E的位置共有()个.A、2 B、3 C、4 D、56、如图,在 ABC中,AB= AC = 10, BC = 16, DE = 4.动线段 DE (端点D从点B开始)沿BC以每秒1个单位长度的速度向点 C运动,当端点E到达点C时运动停止.过点E作EF/AC交AB于点F (当点E 与点C重合时,EF与CA重合

4、),联结DF,设运动的时间为t秒(t > 0).(1) 直接写出用含t的代数式表示线段 BE、EF的长；(2) 在这个运动过程中, DEF能否为等腰三角形？假设能,请求出 t的值；假设不能,请说明理由；(3) 设M、N分别是DF、EF的中点,求整个运动过程中,MN所扫过的面积.7、如图,点 A在x轴上,OA = 4,将线段OA绕点.顺时针旋转120°至OB的位置.(1) 求点B的坐标；(2) 求经过A、O、B的抛物线的解析式；(3)在此抛物线的对称轴上,是否存在点P,使得以点P、O、B为顶点的三角形是等腰三角形？假设存在,求点P的坐标；假设不存在,请说明理由.5. 11湖州24

5、如图1,正方形 OABC的边长为2,顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上,M是BC 的中点.P0,m是线段OC上一动点C点除外,直线PM交AB的延长线于点 D.1求点D的坐标用含 m的代数式表示；2当 APD是等腰三角形时,求 m的值；3 设过P、M、B三点的抛物线与 x轴正半轴交于点 E,过点O作直线ME的垂线,垂足为H 如图2.当 点P从O向C运动时,点H也随之运动.请直接写出点H所经过的路长不必写解答过程.£6. (10南通27)如图,在矩形 ABCD中,AB= m ( m是大于0的常数),BC = 8, E为线段BC上的动点(不与B、C重合).连结DE,作EF ± D

6、E, EF与射线BA交于点F,设CE=x, BF = y.(1) 求y关于x的函数关系式；(2) 假设m= 8,求x为何值时,y的值最大,最大值是多少？12(3) 右y 一,要使 DEF为等腰三角形,m的值应为多少?两年模拟7. (2021年福州市初中毕业班质量检查第21题)如图,在 ABC中,AB = AC= 10, BC= 16, DE = 4.动线段 DE (端点D从点B开始)沿 BC以每秒1 个单位长度的速度向点 C运动,当端点E到达点C时运动停止.过点 E作EF/AC交AB于点F (当点E 与点C重合时,EF与CA重合),联结DF,设运动的时间为t秒(t > 0).(1) 直接

7、写出用含t的代数式表示线段 BE、EF的长；(2) 在这个运动过程中, DEF能否为等腰三角形？假设能,请求出 t的值；假设不能,请说明理由；(3) 设M、N分别是DF、EF的中点,求整个运动过程中,MN所扫过的面积.析式；线交y轴于点使 EFG为等8. (宁波七中2021届保送生推荐测试第 26题)如图,在平面直角坐标系 xoy中,矩形ABCD的边AB在x轴上,且AB = 3, BC = 2区,直线y = <3x 凶3 经过点C,交y轴于点G.(1) 点C、D的坐标分别是C (), D ()3(2) 求顶点在直线 y= 扇 2 J3上且经过点c、D的抛物线的解(3) 将(2)中的抛物线

8、沿直线 y= <3x 2*弓平移,平移后的抛物F,顶点为点E (顶点在y轴右侧).平移后是否存在这样的抛物线, 腰三角形？假设存在,请求出此时抛物线的解析式；假设不存在,请说明理由.白编原创9. 如图, ABC中,AB= AC= 6, BC= 8,点D是BC边上的一个动点,点 E在AC边上,/ ADE =Z B.设BD的长为x, CE的长为y.(1)当D为BC的中点时,求CE的长；(2) 求y关于x的函数关系式,并写出 x的取值范围;(3) 如果 ADE为等腰三角形,求 x的值.备用图参考答案:1.由于 D (3, 4),所以 OD = 5, COS DOP 如图1,当PD = PO时,

9、作PEL OD于E.OE 3 _ 5 一 在 Rt OPE 中,cos DOP 亦-,OE 所以 OO此时点P的坐标为与0.6 如图2,当OP= OD = 5时,点P的坐标为5, 0.25"6P的坐标为6, 0. 如图3,当DO = DP时,点D在OP的垂直平分线上,此时点3在 PQC 中,CQ = t, CP = 10-2t.如图1,当CP CQ时,t 10 2t,解得t如图2,当QP QC时,过点Q作QM ±AC于M,那么CM = 1 PC 5 t2在 Rt QMC 中,cos QCM 4 甄 J,解得 t 25秒.5 CQ t9如图3,当PQ PC时,过点P作PNL

10、BC于N,那么CN = 1QC 1t .221t在 Rt PNC 中,cos PCN 4 丝 一2,解得 t 80 秒.5 CP 10 2t21综上所述,当t为 四秒、距秒、80秒时,APQC为等腰三角形.39213. 由 y= 2x+ 2 得,A(- 1 , 0), B(0 , 2).所以 OA = 1, OB= 2. 如图,由 AOBs QOP 得,OP : OQ = OB : OA = 2 ： 1 .设点Q的坐标为(0, m),那么点P的坐标为(2m, 0).4 -,-.所以付合条件的点P不存因此 AP2= (2m + 1)2, AQ2= m2+ 1, PQ2= m2 + (2m)2 =

11、 5m2.当 AP = AQ 时,AP2 = AQ2,解方程(2m+ 1)2= m2 + 1,得 m 0或 m在.2赔.所以P(4 2必,0).当 pa= PQ 时,PA2= PQ2,解方程(2m +1)2= 5m2,得 m1当 QA = QP 时,QA2= QP2,解万程 m2+ 1= 5m2,得 m .所以 P(1,0) 第3题图第4题图4. (12 临沂 26)(1) 如图,过点 B作BOX y轴,垂足为C.在 Rt OBC 中,/ BOC = 30° , OB = 4,所以 BC = 2, OC 2很.所以点B的坐标为(2, 2炳.(2) 由于抛物线与x轴交于O、A(4, 0

12、),设抛物线的解析式为y= ax(x-4),代入点B( 2, 2捐),2焰2a ( 6) .解得a .6所以抛物线的解析式为 y Vx(x 4)寸3 x2 2：旧x .663(3) 抛物线的对称轴是直线 x= 2,设点P的坐标为(2, v).当 OP = OB= 4时,OP2= 16.所以 4+y2= 16.解得 y2J3 .当P在(2, 2构时,B、O、P三点共线. 当 BP = BO= 4 时,BP2=16.所以42(y3)216 .解得y1y220 当 PB = PO 时,PB2= PO2.所以 42 (y 2右)2 22 y2 .解得 y 2旧.综合、,点 P的坐标为(2, 2构.5.

13、 (11湖州24) (1)由于PC/DB,所以竺现 匹 1 .因此PM = DM , CP = BD = 2-m.所以AD BD DM MB=4- m.于是得到点 D的坐标为(2, 4-m).(2)在 APD 中,AD2 (4 m)2 , AP2 m2 4, PD2 (2PM)2 4 4(2 m)2. 当AP = AD时,(4 m)2 m2 4 .解得m 3 (如图1)2 当 PA= PD 时,m2 4 4 4(2 m)2.解得m 4 (如图2)或m 4 (不合题意,舍去).3 当 DA = DP 时,(4 m)2 4 4(2 m)2.解得m -(如图3)或m 2 (不合题意,舍去).3综上所

14、述,当 APD为等腰三角形时,m的值为3 , 4或2 .233第5题图1第5题图2第5题图3另解第(2)题解等腰三角形的问题,其中、用几何说理的方法,计算更简单： 如图1,当AP= AD时,AM垂直平分 PD,那么 PCMs MBA.所以 PC MB 1.因此 pc 1, m 3.CM BA 222 如图2,当PA= PD时,P在AD的垂直平分线上.所以DA = 2PO.因此4 m 2m .解得m -3(3)点H所经过的路径长为 恒 .思路是这样的：4如图4,在Rt OHM中,斜边OM为定值,因此以 OM为直径的.G经过点H,也就是说点 H在圆弧上运动.运动过的圆心角怎么确定呢？如图5, P与

15、.重合时,是点H运动的起点,Z COH = 45° , Z CGH = 90°第5题图4第5题图6. (10 南通 27)(1)由于Z EDC与Z FEB都是Z DEC的余角,所以/ EDC = Z FEB.又由于/ C =Z B= 90° ,所以 DCEs EBF.DC EB * m因此,即CE BF x整理,得y关于x的函数关系为1 2(2)如图1,当m= 8时,y -x 8x = 4时,y取得最大值为2.y号那么专1 28x x.mm12x(x 4)82.因此当x .整理,得x2 m8x12 0.解得x = 2或x = 6. 要使 DEF为等腰三角形, 由于

16、 DCEs EBF,所以 CE= BF ,即12m12将x = y = 2代入y将x = y = 6代入y第6题图1只存在ED = EF的情况.x = y.m= 6 (如图2)；m= 2 (如图3) .第6题图2第6题图3BE t 4, EF 5(t 4)-8所以平行四边形的高为 3 - 9,面积为-2 -7. (1)(2)如图1 ,当DE = DF时,DE也即4AB BC 1016A.解得t如图2,当ED = EF时,54 -(t 4)-8解得t第7题图1第7题图2第7题图3(3) MN是 FDE的中位线,MN/DE , MN = 2, MN扫过的形状是平行四边形. 如图4,运动结束,N在A

17、C的中点,N到BC的距离为3;如图5,运动开始,第7题图4第7题图58. (1) C(4,2/3) , D(1,2V3).(2)顶点E在AB的垂直平分线上,横坐标为 5,代入直线y= J3x 2际,得y 史.22A DEF 中,Z DEF =/ C是确定的.15625125如图3,当FD = FE时,10史.解得t160,即D与B重合.D与B重合,M到BC的距离为34DE BC4FE AC即吉4)设抛物线的解析式为y a(x 5)2爽,代入点C(4,2 73),可得a 丛22368所以物线的解析式为y L3x 52 -3.3223由顶点E在直线y= V3x 2构上,可知点G的坐标为0, 2后,

18、直线与y轴正半轴的夹角为 30° , 即 Z EGF = 30° .设点E的坐标为m,必m 2炳,那么EG= 2m,平移后的抛物线为 y 2.3 x m2 J3m 习3 .所以点F 的坐标为0,*3m2思m 2响. 如图 1,当 GE= GF 时,yF yG = GE= 2m,所以 翌3m2 J3m 2m -3解得m= 0或右 3 . m = 0时顶点E在y轴上,不符合题意. 2此时抛物线的解析式为 y 登x 3 32 3 三. 322 如图2,当EF = EG时,FG = 2很左,所以 3m2 网 20m .解得m= 0或| .此时抛物线的解析式为 y Hx 32 -2 .322 当顶点E在y轴右侧时,/ FEG为钝角,因此不存在 FE = FG的情况.第8题图1第8题图289.(1)当 D 为 BC 的中点时,AD ± BC, DE ± AC, CE -.3(2) 如图 1,由于Z ADC =Z ADE + Z 1, Z ADC = Z B+Z