微积分(下)期末复习题完整版

1、期末复习题一、填空题f cos2 tdtlim I.X2、假设/(X)在.,用上连续,那么?厂/(x)dx=.dx x3、p(x)是/(*)的原函数,那么Jo-/(V7+a)dr (x0)等于, 假设e-/是/(x)的一个原函数,那么r(x)dr= 5、dx =1 +妒6、7、f(x)= . X ,那么/(*)在0, 2的平均值为_ Vl+x2设J：/(*)心+ sinx =/(*),且/(x)连续,那么 f(x) =8、设曲线),=x*(& 0,x 0)与直线J = 1及),轴围成的图形面积为那么A =9、设 f(x,y) = (x-2)2 j2 -(j-l)arcsinJ-,那么孕V j

2、Qy(0.1)12、设Z = xe2,那么 - =dxdy交换积分次序J：djJ；/(3)dy = 交换积分次序J*2dxj7/(x,j)dj =13、交换积分次序/(x,j)dx =二、选择题dn2x ln(l + /)dZ1、极限lim 等于()x-M) 1-COSX(A) 1(B) 2(C) 4(D) 82、设?j； /(Odr = ex,那么/(x)=()dx J.(A) (B)(C)e-(D) -e-2x3、设/(x)是连续函数,Kj/(x)dx = F(x) + C,那么必有()B(A) J7(0dr = F(x)(B) )df怜 F(x)(C) Jra)dr = /(x)(D)

3、Jj0)df = /(x)-/(q)4、设/(X)在0上连续,那么/(x)在.0上的平均值是()/俗)+/0)(A)2(B)J a(C) -fhf(x)dxb-a Ja(D)1 fbJ /(g a-bJas5、积分 I = tf(tx)dx 与()有关.(A) S,t,X(B) S,t(c) X,t(D) s6、以下方程中变量可别离的是(),、心,(a) -= xr + r dr(B) x - = e/+x sinZ(c) = x2+t2 dr(D) = In(xZ) df7、()是微分方程ylnxdx + xlnyd, = 0满足条件yL=e 2的特解.(A) Inx2 +lnj2 = 0(

4、B) Inx2 + lnj2 = 2(C) ln2x + ln2 j = 0(D) n2 x + n2 y =-2三、计算题1、计算以下不定积分：(1)(心/ (2) f xlnxdx(3) f In2 xdxJ (2-x)lxJf dxf 1 jf 2x ,(4) -i=(5) I dr (6) |- dxJ 1 + Vx + lJ x2a/x2-1j 1 + cos2x2、计算以下定积分：r22(1) |o2 ex sinxdx (2) 11 | dx (3) J. arctan xdx(4) f,n 7ex -1 dx(5) fl(6) f1 xarctan y/l-x2 dxJo ex

5、 + 3J.f VI-A：2 ,XI i3心| / 口12+xJ xJ.后TT0x2,求 J：/(x_l)dx 一2x0e-x , x 2 034、设 f(x) = l,求 j /(x-2)dx.1 + x2, x = ,J7,W 1.D XIK计算二重积分JJ Jl一 *2dxdy ,其中D是以(0,0),(1,0),(1,1)为顶点的三角形区域.D12、计算 J * dr j *e_j2dj .13、计算可；侦二3如14、计算J：dj焰罕dx.15、求微分方程满足初始条件的特解：+ = 0,火3) = 4.y x16、求微分方程 W + y-ex= 0的通解.17、求方程/ = -2xy

6、+ 2xex2的通解.18、求微分方程2+1)7,+ 2勺一4/=0的通解.19、求解微分方程 xlnxdj + (j-lnx)dx = O, jlx.c=l.四、应用题1、求y = A；?与x = y2所围成的图形的面积及它绕x轴旋转而成的旋转体体积.2、求J=-X2与)=X所围成的图形的面积,并求此图形绕X轴旋转一周所形成的旋转体的体积.3、过曲线y =上的点4作切线,使该切线与曲线及X轴所围成的平面图形D的面积S为;.4(1)求点A的坐标；(2)求平面图形D绕x轴旋转一周而成的旋转体体积.4、为销售某种产品,需要作两种方式的广告,当两种广告的费用分别为x和),时,销售利润的增加是 当+

7、寒上(万元).现花25万元用于广告,问怎样分配两种方式的广告费用,可使利润的增加到达 5+ x 10 +j最大？5、某厂生产产量分别为x和),的两种产品,总本钱c(x) = x2 + j2 + 4xj-10x + 10j + 500,需求函 数分别为x = 70-0.25p, _y = 12O-O.5q,(p,0为产品单价),且产品需求要受限制x + 2j = 50,求工厂获最大利润时的产量和单价.6、设某企业的总产量函数为P(x,j) = 0.005x2j (吨),为两种投入要素,其单价分别为1万元/ 吨和2万元/吨,且该企业拥有资金150万元,试求使产量最大.7、生产某种产品需要4/,.三

8、种原料,且产量与A,B,C原料的用量的关系为.= 0.005/以, 三种原料莒价分别为12,3(万元),今用2400(万元)购置材料,问应如何进料才能使产量最大？五、证实题K 设/在0,1上连续,证实：/(sinOk = 2jj/(sinr)d/ .2、设/(x)在0,1上连续,证实：J/(sinx)(Lr = y J/(sinx)(Lr .3、证实 J：x(l-x)dx =.解答：一、填空题1.12. -2f(2x)3. 2F(4x +a)-2F(a) 4. -2e-1 5.In2 6. -(V5-1)27. sinx+ y 8. ?9. 810、2e2y 11.f(x,y)dx12-y)d

9、x+fMi/(x)dxfl f X2f J 2-/、JoJo心J.f(x,y)dyHIS、近律题l.C 2.B3、解选B利用变上限积分函数的导数J7(r)dr = /(x),结合Fx)= f(x)f得(A) JV(0d/ = F(x)-F(a), (C) VFt(t)dt = F(x)-F(a), (D) F(f)df = F(x)=/(x), J aJ aJ a应选(B).4、解选C假设函数/(*)在.0上连续,那么称 一f f(x)dxf(x)在,A上的平均值,应选(C).b-aJa5、解选D设 u-tx 9 那么 X = , dx = -du,tts于是/=r J；/ax)dx=Jo7(

10、w)dw,故积分与$有关.应选(D).6、解选8由于x = e/+xsint可写成=-er sin/ ,故应选(B). drdr x7、解选O将原方程别离变量并两边积分,得到通解为|ln2x + |ln2j = C,代入初始条件| =e-i ,得C = i 所求特解为ln2x + ln2j = l.42三、计算题计算以下不定积分:解令t = y/l-x f 那么x = l-t2t dx = -2/dr,于是r drfp (1/-I ,= 1 =-2l = -2arctanf + C = -2arctan y/l-x +C.J(2-x)Vl J(l + f2)U J1 +尸Jxlnxdx = |

11、lnxd(-) = -Inx-dx = -Inx-x2 +C.(3)xdx = xln2 x Jx-21nxdx = xIn2 x-2|Inxdx=xIn2 x-2xInx + 2j x*dx = xIn2 x-2xInx + 2x + C令lx + l = t, x + l = t3 , dr = 3Z2dZ ,=3fdr = 3r1 + 1dr =3fa-l+)dfi+VTTT Ji+f J i+i J i+f= -r2_3Z + 31nlr + ll+C =-V(x + l)2 -3Vx + l + 31nlVx + l + ll+C解 令 x = secZ , dr = sec/tan

12、/dZ ,sec/tan/f 1. c sec/tan/ , f 八1 八I . dx = f d/ = | cos/ d/ = sinZ + C =+ CJ x2Jx2-1 J se/tanr Jx2x2x解 Idx = dx = fxsec2 xdx = | xdtan xJ l + cos2x J 2cos2x JJ2、=xtanx Jtanxdx = xtanx In I secx l+C 计算以下定积分：K IT解：|o2 ex sinxdx = R sinxdex = ex sinx|J J2 eA cosxdx = e2 . cosxdex=e2 - ex cosx|J + |o

13、2 ex sinxdx = e2 +1 - jex sinxdx 解得 fo exsinxdx = -(e2 +1). 解：原式=-j；ln JjTdx +J： InJdxe2=一- J x d In y/x + x -j； x dln/x-e2 e2zTr.一 Z Z 寸 Z xusXIffi + 一 K-I I K 一 Z7 +一 .飞寸r7 + 1rqrl JP JP I 71K3JB J 一 一+ 飞-J - x - -J - -一 z -二 H 右 ZRIqEXIWJ =Mcn ZHIIr 佥 是(9) 0 f -HJPQJEH apfi;H-pQLi;=祁幽 =cn 74 唾(s)

14、 klH y38MI7)z n蚤见寸乖打T普=&c唾寻) - - 寸 ZS 0 f 0-,i Hkd I w ImrJ 5一 j 角二 NLtel岐 一二小 7pdJ H JP 匚 JIPLMS7 J n JpalJSM P)e 街yd f x -y7、解： = 2x arctany , rdxxdxdy x +y8、解：方程两边关于x求偏导,3x2+3z2-J+j-J = 0 = 冬dx dxdx 3z +j方程两边关于?求偏导,3尸套+ ,些=0 n =dy dy dx 3z2 +j9、解)h=e (2x + 2y +4j + l) = 01J/；=e2jr(2j + 2) = 022A

15、= /(i -l) = 2e0, 8 = /；G,_l) = 0, C = /；(；,_ 1) = 2e , 1 粉 所以(万1)为极小值点,极小值为/(万1) = .10、解 原式=drj 2= J.(sinx-xsinx)dx =(-cosx + xcosx-sinx)= 1-sinl.11、解 |J71-x2db = J：dxj：ll-x2 dy = jxy/l-x2 dx = 0d000312、解交换积分次序,原式=J(蛆：* = e dy = _顼=*_ .40 t13、解交换积分次序,原式=fdjf-zdr = |f1 2.+j3 =把：.J. J.序 2人序况 3、 o 314、

16、解 交换积分次序,原式=J：dx里F(iy =j,sinxdr =sinl-cosl.15、解别离变量,xdr +jdy = 0,积分得x2 +j2 = C ,将火3) = 4代入,得C = 25,所求特解为x2 + j2 = 25.16、解 方程改写为yf + -y = 9 (1分)x xj = eTf.eTdx + C (3分)=-(exdx4-C = e +C . J XX JX17、解 原方程为yf + 2xy = 2xe/ ,y = e 2xdr(J 2xe-x e2xtLvdx + C) = ex2 (J2xdx + C) = ex? (x2 +C)18、解 原方程为：矿+ 半=半

17、),X +1 x +1. dr2 (-dr1 A,=e e (f-eJ+1 dx + C) = -(-x3+C)J x +1x + l 319、解 原方程改写为？ +、一?=上,通解为 xinx xj = e inx (jLjxmx 心 + c) =j给dx + C = -(In2 x + C),xIn xxIn x 2将火e) = l代入,得C = i,故所求特解为y = ：(lnx +!一).2 2 Inx四、应用题1、解 S = jV-X2)dX = -, K =时(&)2一(*2)2心=混2、解 S=(-x2-x)dx = L, V = x2-(-x2)2dr = J-16J-1153

18、、解Q)设4(.3,做0,贝彻线的斜率A=?2,切线方程：y = La-2xa切线与x轴交点3 33为(-&3,0), 8=/-(-23) = 4 = ,解得“ =1, 4(1,1).(2)切线方程：j =+ r.Vx = 2(ix + )2dx-(Vx)2dx = J JJ JQ4、解：目标函数为匕3=浩+*p约束条件f = 2550x25j5+x 10+j250 (5+x)250(10+x)2x + y = 25解得唯一驻点x = 15, j = 10 由实际意义,此时利润的增加最大5、解：目标函数为 L(x,y) = px qy -C = -5x2 - 3y2 + 290x + 230j -4xj - 500, 约束条件x + 2j = 50F = -5x2 -3j2 + 290x + 230j-4xy-500 + 2(x + 2j 50)令 F； = -lOx + 290 - 4j + 2 = 0 , F； = -6y + 230- 4x + 22 = 0 , x + 2j = 50解得唯一驻点